(40)2025年重庆市中考
渝北区一模数学第26题
在等边三角形ABC中，线段CA绕点C
顺时针旋转α度至CD(0<α<180°)，
连接BD, AD，交CA于点G .
图1
(1）如图1，当旋转角α为75°时，
已知AB=√5，求△BCD的面积，
图2
(2）如图2，点F是线段AD上一点，
连接CF与BD相交于点E，
若∠CEB=60°．猜想线段EB，EC，EF
之间的数关系，并证明你的猜想，
图3
(3）如图3，在⑴的条件下，点P为平面内，所在直线上方一动点，
满足∠APB=60°，点K为射线AP上一点，
使得BP=2AK，请直接写出BK的最小值．【解析】(1）如图4，作BE⊥CD ，
交DC的延长线于E ,
图4
∴∠E=90°,
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=60°,
AC=BC=AB=√5 ,
∵线段CA绕点C顺时针旋转75°至CD ,
∴ CD=BC=√5,
∠ACD=75°,
∴∠BCE=180°-∠ACB-∠ACD
=45°,
∴BE=√2/2BC=√10/2,
∴ S△BCD=1/2CD·BE
=1/2x√5x√10/2
=5√2/4，
(2）如图5，连接 AE ，
在BE上截取EH=CE ,
图5
∵∠CEB=60°,
∴△CEH是等边三角形，
∴∠CEH=60°,
CE=CH ,
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=∠BAC=60°,
AC=BC ,
∴∠CEB=∠BAC ,
∠ECH=∠ACB ,
∴点A，B，C，E共圆，
∠ACE=∠BCH ,
∴∠CBE=∠CAE ,
∠AEF=∠CAB=60°,
∴△BCH≌△ACE (ASA),
∴BH=AE ,
∠AEF=180°-∠CEB-∠AEB
=60°,
∵∠CDB=∠CBD ,
∠CED=∠CHB=120°,
CE = CH ,
∴△BCH≌△DCE ( SAS )
∴△ACE≌△DCE ,
∴∠ACE=∠DCE ,
∴ CF⊥AD ，
∴BH=AE=2EF，
∴EB=EH+BH=CE+2EF，
(3）如图6，作∠BAQ=120°，
截取AQ=1/2AB=√5/2，连接KQ ,
∵∠ABP+∠PAB=180°-∠APB
=120°，
∴∠QAK=∠ABP ,
∵AQ/AB=AK/BP=1/2，
∴△AKQ∽△BPA ,
∴∠AKQ=∠APB=60°,
作等腰△AOQ ，
使 OA=OQ,
∠AQO=∠OAQ=30°,
∴∠AOQ=120°,
∴点K在以O为圆心，
OA为半径的圆上，
连接OB ，交⊙O于K ，
当点K在K处时，BK最小，
∵∠BAO=∠BAQ-∠QAO
=120°-30°
=90°,
AB=√5,
OK=OA=AQ/(2sin∠AKQ)
=(√5/2)/(2x√3/2)
=√15/6，
∴OB =√[(√5)²+(√15/6)²]
=√165/6
∴BK最小=OB-OK
=(√195-√15)/6 .
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