(32)2025年合肥市中考
多校联考一模数学第23题
如图1，在平面直角坐标系中，抛物线
y=ax²+bx+2
与x轴交于A(1，0)，于y轴交于B点，
以A为直角顶点， AB为腰作等腰直角
△ABC ，恰好C点落在抛物线上。
图1
【问题背景】
(1）直接写出点B坐标，并求抛物线的
函数表达式，
【初步探索】
(2）如图2所示，点D为线段AC的中点，
点M为线段BC上一动点(点M不与点B,
C重合)，连接AM，以A为旋转中心将
线段AM顺时针旋转90°得到线段AN，
连接DN，求DN的最小值：
图2
【深度探究】
(3）如图2所示，连接MN交AC于点E，
在满足⑵最值的条件下，
求 S△MEC/S△AEN ，
【解析】(1）抛物线与x轴交于A(1，0）
与y轴交于B点，
令 x=0，
则 y=2，
∴ B (0，2),
以A(1，0)为直角顶点，AB为腰
作等腰直角三角形ABC ,
∴OA=1, OB=2,
∠BAC=90°,
∴ AB=√5=AC ，
如图3，过点C作CF⊥x轴于点F,
图3
∴∠BAO+∠CAF=∠CAF+∠ACF
=90°
∴∠BAO=∠ACF ,
又∵∠BOA=∠AFC=90°,
AB=CA ,
∴△BAO≌△ACF (AAS),
∴CF=OA=1,
AF=OB=2,
∴OF=OA+AF
=1+2
=3,
∴ C(3，1),
把A(1，0), C(3，1)代入抛物线
y=ax²+bx+2
中得 a+b+2=0，
9a+3b+2=1，
解得： a=5/6，
b=-17/6，
故抛物线的表达式为
y=5/6x²﹣17/6x +2，
(2)如图4，连接CN，过点D作DG⊥CN
于点G，
当点M在线段BC(不含端点)上运动时，
图4
当DG⊥CN，即点N与点G重合时，
DN的值最小，
∵△ABC 是等腰直角三角形，
AM绕点A顺时针旋转90°得到线段 AN,
∴ AB=AC ,
∠BAC=∠MAN=90°,
AM=AN ,
∠ABC=∠ACB=45°,
∴∠BAM=90°-∠MAC
=∠CAN ,
∴△BAM≌△CAN (SAS)，
∴ BM=CN ,
∠ABM=∠ACN=45°,
∴∠ACB+∠ACB=45°+45°
=90°，
如图5，当点M在线段BC(不含端点)
上运动时，点N在CN上与运动，
当 DN⊥CN时，
DN的值最小，
∵AB=AC=√5，点D是AC中点，
∴DG=√2/2CD
=√2/2x√5/2
=√10/4，
故当点N于点G重合时，
DN的值最小，
最小值为DN=DG=√10/4，
(3）根据上述计算可得，
AB=BC=√5,
BC=√10,
由⑵可得，
△CDN是等腰直角三角形，
则 DN=CN=BM=√10，
∴ AH=CH=√10/2，
∴ MC=BC-BM
=√10-√10/4
=3√10/4，
如图6，过点E作EK⊥BC于点 K，
作ET⊥BC于点T ,
图6
由∠BCA=∠HCA=45°，
得四边形EKCT是正方形，
∵ DN⊥CH，BC⊥CH ,
∴DN//BC ,
∴△DEN∽△CEM ,
∴CE=3DE
且 DE+CE=CD=√5/2 ,
则 EK=ET=√2/2CE
=√2/2x3√5/8
=3√10/16 ,
则 S△CEN=1/2CN·ET
=1/2x√10/4x3√10/16
=15/64 ,
而 S△MCE=1/2MC·EK
=1/2x3√10/4x3√10/16
=45/64，
则 S△ACN=1/2CN·AH
=1/2x√10/4x√10/2
=5/8
则 S△AEN= S△ACN-S△CEN
=5/8-15/64
=25/64，
则 S△MEC/S△AEN=9/5 .
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