考点：二次函数含参问题
分级考点：二次函数增减性求参
【考点】
二次函数解析式；二次函数图象性质.
【来源】
选自中考冲刺教材《中考冲刺十招》第七招 比翼双飞看“数形”
【题干】
已知二次函数 ，其中 ．
（1）若二次函数的图象经过 ，求二次函数表达式；
（2）若该二次函数图象开口向下，当 时，二次函数图象的最高点为，最低点为，点的纵坐标为，求点和点的坐标；
（3）在二次函数图象上任取两点，，
当时，总有，求的取值范围．
【解题技巧】
待定系数法求函数解析式；
二次函数图象特征；
二次函数图象性质；
数形结合、以形助数；
函数增减性在高中数学中的定义.
【解题思路】
（1）将点代入函数解析式：
化简得：，
解得：
因此，二次函数的表达式为
（2）对称轴：直线
∵ 图象开口向下，
∴
对称轴,如图所示：
因此，顶点即为该区间内的最高点M，
即顶点坐标为
代入可得：，
解得：
此时，二次函数的表达式为，
，
开口向下，
在对称轴左侧随增大而增大，
右侧随增大而减小
当时，；
当时，
∵ ，
∴ 最低点N的坐标为
（3）由且可知，随的增大而减小
二次函数对称轴为直线，
① 时, 图象开口向上
函数在对称轴左侧（）随增大而减小
因此，
解得：
② 时，图象开口向下
函数在对称轴右侧（）随增大而减小，
因此，
综上，的取值范围为或
【延伸高中】
高中单调性的严格定义，我们先来看课本上的标准定义：
单调递增：一般地，设函数的定义域为，区间。 如果对区间内的任意两个数，都有， 那么就称函数在区间上单调递增，区间为的单调递增区间。 单调递减：同样地，设函数的定义域为，区间。 如果对区间内的任意两个数，都有， 那么就称函数在区间上单调递减，区间为的单调递减区间。
几个关键概念的理解
1.单调性是“局部性质”
一个函数可以在某些区间单调递增，在另一些区间单调递减，比如二次函数就是典型的例子。我们不能说“这个函数是增函数”，而要说“这个函数在哪个区间上是增函数”。
2.“任意”两个字很重要
定义里说的是“任意”，而不是“存在”某两个数。这是高中数学严谨性的体现，要证明一个函数单调，必须保证区间里的每一对数都满足条件。
3.常数函数没有严格单调性
如果一个函数的函数值永远不变，比如，那么对任意，都有，既不满足，也不满足，所以常数函数不具有严格的单调性。
举个例子
例如：一次函数
初中结论：， 随 增大而增大。
高中描述：函数在全体实数上单调递增。
验证定义：任取，则 所以，满足单调递增的定义。
