(18)2025年上海市中考
奉贤区一模数学第25题
如图1，矩形ABCD中， AB=2BC，
点E在射线BA上，点F在射线BC上，
且DF⊥DE，射线EF与对角线AC交
于点G，与射线DC交于点 M .
图1
(1）当点E在线段BA上时，
求∠DFM 的正切值，
(2）当G是AC中点时，
求CM/DM的值，
(3）当BC=3，且△DGM与△DCF
相似时，直接写出AE的长．
【解析】(1）∵四边形ABCD是矩形，∴∠DAE=∠ADC
=∠BCD
=90°,
∴∠DAE=∠DCF=90°,
∵ED⊥DF ,
∴∠EDM+∠FDC=90°,
∵∠EDM+∠ADE=90°,
∴∠ADE=∠FDC ,
∴△DAE∽△DCF ,
∴DE/DF=AD/CD，
∵AB=2BC,
∴tan∠DFM=DE/DF
=1/2，
(2）设 DA=x , CM=y ,
∴CD=2x=AB ,
BC=DA=x ,
∴DM=2x- y ,
∵G是AC的中点，
∴EB=DM=2x- y ,
AE=MC=y ,
∵△DCF∽△DAE ,
∴ FC/EA=2,
∴ FC=2y,
∵DC//AB ,
∴FC/MC=FB/EB，
∴2y/y=(x +2y)/(2x- y)，
∴ (x +2y)/(2x-y)=2,
∴y=3/4x，
∴ DM=2x-3/4x
=5/4x，
(3)①当点E在线段AB上，如图1，
∵△DGM∽△DCF .
∴∠GDM=∠FDC ,
∵∠ADE=∠FDC
∴∠GDM=∠ADE ,
∵∠GDM=∠BFE ,
∴∠ADE=∠BFE ,
∵ tan∠ADE=AE/AD ，
tan∠BFE=BE/BF，
∴AE/AD=BE/BF，
设 AE=x ，
则 BE =6-x, AD=3,
CF =2x，
∴BF=BC+CF
=3+2x,
∴x/3=(6-x)/(3+2x)，
解得： x=(-3+3√5)/2，
（负值舍去），
∴AE=(3√5-3)/2，
②当点E在BA延长线上时，如图2，
图2
同理： tan∠ADE=tan∠BEF，
∴ AE/AD=BF/BE ，
设 AE=x ，
则 BE=6+x , CF=2x,
∴BF=3-2x,
∴x/3=(3-2x)/(6+x)，
解得： x=3√5-6，（负值舍去）,
∴ AE=3√5-6,
综上所述：AE=(3√5-3)/2
或 3√5-6.
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