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数图形的学问
【教材分析】
本节教学内容安排了”鼹鼠钻洞”与“菜地旅行”两个教学情境；在教学过程中，通过学生自己动手画一画与数一数等教学活动，逐步、有序地帮助学生在解决问题的过程中发现并总结数图形的规律。
【设计理念】
《数图形的学问》是属于北师大版教材中的“综合与实践部分”内容。针对这部分内容，《课标》中明确指出：“综合与实践是一类以问题为载体、以学生自主参与为主的学习活动。”《数图形的学问》是一节“数形结合”类型的知识，在教学设计中，主要利用学生主动观察——积极动手——自己尝试总结的模式进行教学。
【学情分析】
四年级学生对线段图有了一定的了解，但很多学生不知道数线段图也存在一定的规律。对于数图形的个数，很多学生还是比较喜欢用数的方法来计算。因此在教学中制作课件，让学生充分体现数的过程以及方法，自主参与找规律的过程，最终达到能列式并计算出图形的个数。
【教学内容】北师大版四年级数学上册第93页-94页。
【教学目标】
1、利用生活中的情境发现数学问题，并引导探究，培养学生对数学学习的兴趣。
2、让学生体会有序的去数，可以做到不重复不遗漏，发展学生的有序思维。
3、在活动中培养学生自主探究数学问题的能力与习惯。
【教学重难点】
重点：在数图形的活动中，发现一定的规律并培养学生的有序思维。
难点：在数图形过程中做到不重复不遗漏。
【教学准备】
1、教师准备：教学课件、直尺、学生作业纸。
2、学生准备：直尺。
【教学过程】
一、游戏激趣：教师与学生进行握手游戏。
【设计意图：利用教师与上台学生进行握手游戏，有两个目的：一是激发学生学习的兴趣；二是让学生明白老师与他们握手时，如何才能做到不重复、不遗漏。培养学生有序思考能力。】
二、新授新知：
（一）、同学们，我们通过刚才的握手的游戏知道平时的生活中就存在一些数学知识，那么你们想研究一下《数图形的学问》吗？（想）
1、（出示课题）森林里有一只小鼹鼠遇到一些数学问题，不会解决，想请你们帮助它，你们愿意吗？
（出示主题图）同学们，请仔细观察，你能从图中提出哪些数学问题？（一共多少条不同的路线？）那么小朋友们，你能用自己的方法画出洞口吗？请同学们拿出作业纸1，自己画一画。
【设计意图：通过观察与思考，让学生用自己喜欢的方式表示鼹鼠的洞口。目的是通过展示与交流，学生自己找出一种简单的方法来表示洞口。这个活动，培养了学生的动手能力和想象力。】
2、展示学生画的图，画圆圈是不是很麻烦，能不能用更好的方法来表示洞口呢？（用点）点与点之间该怎么办呢？（连接起来）。
同学们，你发现没有这些点都是一样的，用什么区分呢？（给这些点标上正在做字母）小朋友，你们真棒！不知不觉中你们自己画出了线段图。
【设计意图：通过学生的动手操作与思考，教师有效地问题设置，让学生不知不觉中学到画线段图。这个教学活动，学生体验到学习数学成功的喜悦。】
3、那好吧！你们拿出作业纸2，画一画，数一数，一共有多少条不同的路线？
（小组内可以合作完成）（反馈学生完成情况）谁能说一说自己是怎么数的？
（引出两种数法：一是按起点的不同；二是按线段的长短）
【设计意图：通过学生自己探究与小组合作探究相结合的方法，让学生明白同一条线段图，可以采用不同的数法，渗透同一数学问题，可以采用不同的数学方法去解决的数学思维。】
4、孩子们，该怎么数不会数乱呢？（按照顺序的数）
那么有序的数有什么好处呢？（不重复、不遗漏）回答的真好！
你能用一个算式表示出来吗？（3+2+1=6）
【设计意图：一是进一步渗透有序地数线段图的好处；二是前面所有教学活动都是为了提炼出数学算式。】
（二）、同学们，我们已经帮助小鼹鼠解决了问题，它想带我们到它的菜地去旅行，你们想去吗？（出示第二个主题图）
1、仔细观察，有几个站台？你能数出单程需要多少种不同的车票吗？该怎么数呢？
请拿出作业纸3，画一画线段图，有序的数一数。
（反馈学生数的情况）谁能说一说是怎么数的吗？
2、如果有6个站台呢？你会画吗？单程会有多少种不同的车票呢？（反馈）
3、如果有7个站台，你能算出单程会有多少种不同的车票？8个站台呢？仔细观察，你有什么发现？小组内交流一下。
4、小结：票数=（站台数-1）+（站数-2）+……+1
【设计意图：这一教学环节主要目的是：让学生自己利用上一个教学活动探索出得数学方法进一步探究数图形的规律。在这个环节中，培养了学生的自主探究能力和合交流能力。】
三、巩固新知：
1、试一试自己的本领。（学生试着解决）
2、闯关练习。第一关：数角。（学生独立完成）
第二关：数长方形。
第三关：数有几个平行四边形。（让学生试着用算式计算出来）
3、拓展与延伸。
同学们，我们是一个相亲相爱的班级，加上数学老师一共有31位成员，如果每2人握一次手，请同学们算一算一共要握多少次？
【设计意图：题目的设置具有层次性，有易到难。第三题是一道拓展延伸题，主要目的：①让学生意识到数学知识来源生活，应用于生活。②进一步提升学生应用所学知识
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《分式方程的应用》逐字稿
谢谢各位评委老师，我试讲的题目是《分式方程的应用》，下面开始我的试讲。
一、复习导入
师：上节课我们学习了解分式方程，步骤是什么呢。这位同学你来说。
生：哦是1.先化简。2.去分母3.解整式方程。4.检验。
师：如何去分母？又是如何检验的呢？同桌你来说。
生：方程两边同乘最简公分母得到整式方程。将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原方程的解，否则，这个解不是原方程的解，是增根。
师: 这两位同学回答的即全面又准确，对上节课知识掌握的很扎实。
分式方程在我们实际生活中如何的应用呢？本节课我们一起来探究。请同学们看大屏幕。
二、新知探究
有甲乙两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工一个月完成总工程的1/3, 这时增加了乙队，两队又共同完成了半个月，总工程全部完成，哪个队的施工速度更快呢？
请同学们以四人为一组进行讨论，讨论时间为5分钟。老师在巡视的过程中发现有小组边讨论边记录，这个习惯非常好，希望大家继续保持。时间到，哪个小组愿意为大家分享你们组讨论的结果呢？
三组代表举手最快，那你来说。
生: 他通过题目分析，这时一道工程问题，解决实际问题的步骤是审-设-列-解-验-答。
师：你能具体的说一说吗。
生：题目中告诉我们，甲队单独施工一个月完成总工程的1/3,如果能知道乙队单独施工一个月所完成的工作量，就可以比较两队的施工速度。因此可以设乙队单独施工一个月所完成总工程量的1/x，知道甲队一个月完成总工程的1/3，那么甲队半个月完成总工程的1/6，乙队半个月完成总工程的1/2x。两队半个月完成总工程的（1/6+ 1/2x）。进而列出方程。
师：问题中的哪个等量关系可以用来列方程？
生：三组找的是甲队单独做的工作量+两队共同完成的工作量=工作总量。
师：三组的方法很好，谁还有补充呢？好五组代表你来说。
生：他们组找的等量关系是甲队完成的工作量+乙队完成的工作量=工作总量。
甲队一个月完成总工程的1/3，工作时间为1+1/2个月，因此甲队的工作量是1/3*（1+1/2）。
设乙队单独施工一个月完成总工程的1/x，工作时间是1/2个月，乙队的工作量是1/2x，因此就可以列出方程。
师：这两位同学的回答条理清晰，表达准确，能够从不同的角度观察思考。下面请同学们选择一种思路解决这个实际问题。我请两位同学到黑板上进行板演，其他同学练习本上独立完成。注意步骤的规范性。
我们一起看看他们的过程和你们的是否是一样的呢？
解设乙队单独施工一个月完成总工程的1/x，记工作总量为1，根据工程的实际进度，得
1/3+1/6+ 1/2x=1
方程两边乘6x，得2x+x+3=6x
解得x=1，
检验：当x=1时，6x≠0.
所以，原分式方程的解为x=1。
因为乙队单独做一个月完成，甲队1个月完成总工程的1/3，所以乙队施工速度更快。
这位同学的步骤既规范又完整。解分式方程实际问题必须进行两步检验：既要检验方程的解是否是原方程的解，又要验方程的解是否符合题意，本题，x=1，是原分式方程的解，并且符合题意。
第二位同学的解法正确吗？
恩，有不同意见，老师听到有同学说问题是哪个队的施工更快。要对两队的施工速度进行比较，一定要注意解题的完整性。
同学们你们都做对了吗？有问题的，请快速订正。
那同学们你们掌握了分式方程解决实际问题的步骤了吗？
一起说：审-设-列-解-验-答。在这里注意检验必须分两步，既要检验方程的解是否是原方程的解，又要验方程的解是否符合题意。
三、巩固练习
我们趁热打铁，看大屏幕的题目，请同学们找一找解题过程中的错误。
第一排的女生你来说。哦，甲乙两船的速度0.4km每小时，0.5km每小时不符合实际。没有对实际问题进行检验。
这位同学能快速的找出错误，真是火眼晶晶。在解决实际问题时，注意检验要分两步，少了实际问题的
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《正弦函数、余弦函数的周期性》逐字稿
尊敬的各位评委老师，大家好。我是今天的一号考生，我的试讲题目是《正弦函数、余弦函数的周期性》，下面开始我的试讲。
一、温故旧知，引出课题
上课，同学们好，请坐。请同学们看老师PPT上所出示的这两个函数:
y=sin x，（x∈R）；
y=cosx，（x∈R）。
正弦函数和余弦函数，我们已经学习过正弦函数和余弦函数的诱导公式、图象及图象的画法。那现在请同学们利用一分钟的时间画出这两个函数在x∈R内的图象。老师发现同学们都画好了，好，这位同学展示一下你画的图象，并说明一下你是利用什么方法画图的？这位同学说是利用五点法先画出（0，2π）内图象，在左右平移，得到最终图象，对我们之前的知识掌握的很扎实。老师已经把这位同学的成果投影到了ppt上。
二、层层深入，知识新授
1、图象规律感知周期性
先来看正弦函数图象，观察图象并思考图象具有什么规律？第一排的男生你来回答。他说自变量每2π个单位长度，它们之间的图象是相同的。表达的非常有条理。老师用一个词来说明，周而复始。请大家观察几何画板正弦函数的几幅动态演示图有什么特点呢？以任何一个点为起点，每隔2π个单位长度的图象完全重合。表达的非常清晰。
2、解析式规律深入理解周期性
这是图象所反映出的规律，那函数解析式是否也能表述出这种规律?请同学们回忆我们的诱导公式sin（x+2kπ）=sinx ，对，k∈Z，一定不能忽略。这个函数式用文字表达该怎么解释呢？请同学们同桌讨论3三分钟。老师发现同学们讨论的非常积极。一排的男生你来说你们的讨论结果。你说当自变量x值增加2π的整数倍时，函数值相同。回答的很准确。嗯，这位同学有补充，你来说，自变量增加2π的整数倍，函数值重复出现。在数学中不管是图像还是解析式，所体现出的这样周而复始的规律称为周期性。请同学们看我们PPT上所出示的概念，对于函数f（x），如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时都有，f（x+T）=f（x）那么函数f（x）就叫做周期函数，这个非零常数T就是这个函数的周期。在这个定义中f（x+T）=f（x），用文字语言怎么解释呢？好，你来。这位同学说对于任意自变量，它的值增加T时，函数值相同。解释的很到位。
3、最小正周期
那通过上述过程我们知道正弦函数是周期函数，那他的周期是多少呢？思考1分钟，大家抢答。嗯，2π、-2π、4π、-4π、π的非零整数倍等等。同学们们的回答都是正确的。有一位同学说它的周期是2π的非零整数倍，用数学式表达是？对，就是2kπ（k∈Z，k≠0）。从上述过程我们知道正弦函数的周期唯一吗？对，周期不止一个，但是在我们正弦函数中所有周期中，它存在一个最小的正数，大家抢答2π，那么这个最小正数就是它的最小正周期，因此我们知道正弦函数的最小正周期就是2π。所有的周期函数都有最小正周期吗？老师听到有的同学说有，有的同学说没有。请同学们写出我们常函数，y=k（k为常数），思考他是周期函数吗？如果是，有最小正周期吗？对，这个函数是周期函数，但没有最小正周期。老师补充一点，不是每个周期函数都可以写出周期，如我们的常函数是不是就是这样呢。
4.余弦函数周期性
接下来请同学们探究一下余弦函数，前后4人为小组进行讨论，第1个问题余弦函数是周期函数吗？并进行说明。第2个问题余弦函数的最小正周期是多少？请同学们把我们的讨论结果填写到导学案的表格中。在老师巡视的过程中发现同学们讨论的很积极，一组代表展示下你们的成果。一组代表说，他们利用余弦函数的图象及它的诱导公式cos（x+2kπ）=cosx，（k∈Z），发现他是周期函数，其最小正周期为2π。老师已经把表格展示到了ppt上，看余弦函数的动态演示图，发现他周而复始，的确是周期函数，且最小正周期为2π。
三、知识运用，巩固练习
接下来我们趁热打铁，请同学们看我们ppt上展示的正弦函数图象，找出与相重合的下一个点。老师听到有的同学说，有的同学说是。哪个答案是正确的呢，一起来看，虽然与函数值相同，但图象的上升下降趋势不一样，但
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