一、选择题（每小题3分，共计30分）
1．（3分）如图，数轴上表示数2的相反数的点是（ ）
A．点N B．点M C．点Q D．点P
2．（3分）下列运算中，结果正确的是（ ）
A．2a+3b＝5ab B．a2•a3＝a6
C．（a+b）2＝a2+b2 D．2a﹣（a+b）＝a﹣b
3．（3分）下列图形中，是轴对称图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（3分）下列几何体的主视图、左视图、俯视图都相同的是（ ）
A．圆柱 B．圆锥 C．球 D．长方体
5．（3分）如图，已知直线m∥n，直角三角板ABC的顶点A在直线m上，则∠α等于（ ）
A．21° B．30° C．58° D．48°
6．（3分）如图，点P为⊙O外一点，PA为⊙O的切线，A为切点，PO交⊙O于点B，∠P＝30°，OB＝3，则线段OP的长为（ ）
A．3 B．
C．6 D．9
7．（3分）方程
＝
的解为（ ）
A．x＝﹣1 B．x＝0 C．x＝
D．x＝1
8．（3分）对于双曲线y＝
，当x＜0时，y随x的增大而减小，则k的取值范围是（ ）
A．k＜4 B．k≤4 C．k＞4 D．k≥4
9．（3分）如图，AD∥BE∥CF，直线l1、l2与这三条平行线分别交于点A、B、C和点D、E、F．若AB＝4.5，BC＝3，EF＝2，则DE的长度是（ ）
A．
B．3 C．5 D．
10．（3分）△ABC中，O是∠ABC、∠ACB的角平分线的交点，过点O作EF∥BC分别交AB、AC于点E、F，已知BC＝a（a是常数），设△ABC的周长为y，△AEF的周长为x，在下列图象中，大致表示y与x之间的函数关系的是（ ）
A．
B．
C．
D．
二、填空题（每小题3分，共计30分）
11．（3分）某市常住人口约为5240000人，数字5240000用科学记数法表示 ．
12．（3分）在函数y＝
中，自变量x的取值范围是 ．
13．（3分）计算：
＝ ．
14．（3分）分解因式：a2b﹣9b＝ ．
15．（3分）不等式组
的解集为 ．
16．（3分）一个袋子中装有6个球，其中4个黑球2个白球，这些球除颜色外，形状、大小、质地等完全相同．搅匀后，在看不到球的条件下，随机从这个袋子中摸出两个球为白球的概率是 ．
17．（3分）抛物线y＝3（x﹣1）2+2的顶点坐标是 ．
18．（3分）一个扇形的半径为6cm，面积为3πcm2，则此扇形的圆心角为 度．
19．（3分）已知：等腰三角形ABC的面积为30m2，AB＝AC＝10m，则底边BC的长度为 ．
20．（3分）如图，在Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点D在线段AC上，AD＝3CD，点E在线段BA的延长线上，BD＝DE，连接CE，若△BCE的面积等于10，则CE的长为 ．
三、解答题（共60分）
21．先化简，再求代数式
÷（a﹣2﹣
）的值．其中a＝2sin60°﹣3tan45°．
22．如图，在每个小正方形的边长均为1的方格纸中有线段AB和点D，其中点A、B、D均在小正方形的顶点上．
（1）在方格纸中画出锐角等腰三角形ABC，点C在小正方形的顶点上，且△ABC的面积为10；
（2）连接CD，以CD为边在方格纸中画出正方形CDEF，点E、F在小正方形的顶点上；在（1）（2）条件下，连接AF，并直接写出线段AF的长．
23．学习成为现代入的时尚，某市有关部门统计了最近6个月到图书馆的读者的职业分布情况，并做了下列两个不完整的统计图．
（1）在统计的这段时间内，共有 万人次到图书馆阅读，其中商人占百分比为 ；
（2）将条形统计图补充完整；
（3）若5月份到图书馆的读者共28000人次，估计其中约有多少人次读者是职工？
24．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，连接AD，E为AD的中点，过A作AF∥BC交BE延长线于F，连接CF．
（1）求证：四边形ADCF是菱形；
（2）在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出与△ACD面积相等的三角形（不包含△ACD）．
25．某中学为奖励在艺术节上取得好成绩的班级，计划购买甲、乙两种奖品，若购买甲种奖品5件，乙种奖品15件，需花费650元，若购买甲种奖品4件，乙种奖品5件，需花费310元．
（1）求甲、乙两种奖品每件多少元；
（2）如果购买甲、乙两种奖品共20件，总花费不超过700元，求该中学购买甲种奖品最多多少件．
26．已知：如图1，AC为⊙O的直径，B为⊙O上一点，连接AB、BC，过点O作AC的垂线交⊙O于点D，连接BD．
（1）求∠ABD的度数；
（2）如图2，延长DO交⊙O于点M，F是弧MC上一点，连接CF、CM、AF，CM、AF分别与AF、BC交于点H、N，若∠FCM＝2∠ACB，求证：NH＝CH；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接MN、AM，AM交BC于点E．若
，求MN的长．
27．如图，抛物线
与x轴交于A、B两点，与y轴的负半轴交于点C，直线
经过点A，连接AC、BC，若OB＝OC，△ABC的面积为
．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P为y轴右侧抛物线上一点，连接PA交y轴于点D，设点P的横坐标为t，△ACD的面积为S，求S与t的函数解析式；
（3）在（2）的条件下，过点D作BC的平行线交直线于点E，过点P作BC的平行线交x轴于点F，连接EF，若EA＝EF，求点P的坐标．
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共计30分）
1．（3分）如图，数轴上表示数2的相反数的点是（ ）
A．点N B．点M C．点Q D．点P
【分析】先求出2的相反数是﹣2，再找出数轴上表示﹣2的点即可．
【解答】解：∵2的相反数是﹣2，点N表示﹣2，
∴数轴上表示数2的相反数的点是点N．
故选：A．
【点评】本题考查的是数轴，熟知数轴上表示相反数的特点是解答此题的关键．
2．（3分）下列运算中，结果正确的是（ ）
A．2a+3b＝5ab B．a2•a3＝a6
C．（a+b）2＝a2+b2 D．2a﹣（a+b）＝a﹣b
【分析】利用同底数幂的乘法，合并同类项，去括号与添括号及完全平方公式判定即可．
【解答】解：A、2a+3b不是同类项不能相加减，故本选项错误，
B、a2•a3＝a5，故本选项错误，
C、（a+b）2＝a2+2ab+b2，故本选项错误，
D、2a﹣（a+b）＝a﹣b，故本选项正确，
故选：D．
【点评】本题主要考查了同底数幂的乘法，合并同类项，去括号与添括号及完全平方公式，解题的关键是熟记同底数幂的乘法，合并同类项，去括号与添括号及完全平方公式的法则．
3．（3分）下列图形中，是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称图形的意义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴；据此判断即可．
【解答】解：A．该图形是轴对称图形，故此选项合题意；
B．该图形不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C．该图形不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
D．该图形不是轴对称图形，故此选项不合题意．
故选：A．
【点评】此题主要考查了轴对称图形，判断是不是轴对称图形的关键是找出对称轴，看图形沿对称轴对折后两部分能否完全重合．
4．（3分）下列几何体的主视图、左视图、俯视图都相同的是（ ）
A．圆柱 B．圆锥 C．球 D．长方体
【分析】根据几何体的三视图，可得答案．
【解答】解：A、该圆柱的主视图和左视图都是矩形，俯视图是圆，故A不符合题意；
B、该圆锥的主视图、左视图都是等腰三角形，俯视图是圆（带圆心），故B不符合题意；
C、球主视图、左视图、俯视图都是圆，故C符合题意；
D、该长方体的三视图都是矩形，但矩形的长与宽不一定相等，故D不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了简单几何体的三视图，熟练掌握每一个几何体的三种视图是解题的关键．
5．（3分）如图，已知直线m∥n，直角三角板ABC的顶点A在直线m上，则∠α等于（ ）
A．21° B．30° C．58° D．48°
【分析】过C作CD与m平行，由m与n平行得到CD与n平行，利用两直线平行得到两对内错角相等，再由∠ACB为直角，即可确定出∠α的度数．
【解答】解：过C作CD∥m，
∵m∥n，
∴CD∥n，
∴∠ACD＝42°，∠BCD＝∠α，
∵AC⊥BC，即∠ACB＝90°，
∴∠ACD+∠BCD＝90°，
∴∠α＝90°﹣42°＝48°．
故选：D．
【点评】本题考查的是平行线的性质，根据题意作出辅助线，构造出平行线是解答此题的关键．
6．（3分）如图，点P为⊙O外一点，PA为⊙O的切线，A为切点，PO交⊙O于点B，∠P＝30°，OB＝3，则线段OP的长为（ ）
A．3 B．
C．6 D．9
【分析】直接利用切线的性质得出∠OAP＝90°，进而利用直角三角形的性质得出OP的长．
【解答】解：连接OA，
∵PA为⊙O的切线，
∴∠OAP＝90°，
∵OB＝3，
∴AO＝OB＝3，
∵∠P＝30°，
∴OP＝2OA＝6，
故选：C．
【点评】本题主要考查了切线的性质以及直角三角形的性质，连接OA利用切线的性质构造直角三角形是解题关键．
7．（3分）方程
＝
的解为（ ）
A．x＝﹣1 B．x＝0 C．x＝
D．x＝1
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：去分母得：x+3＝4x，
解得：x＝1，
经检验x＝1是分式方程的解，
故选：D．
【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
8．（3分）对于双曲线y＝
，当x＜0时，y随x的增大而减小，则k的取值范围是（ ）
A．k＜4 B．k≤4 C．k＞4 D．k≥4
【分析】先根据函数的增减性得出关于k的不等式，求出k的取值范围即可．
【解答】解：∵双曲线y＝，当x＜0时，y随x的增大而减小，
∴k﹣4＞0
∴k＞4
故选：C．
【点评】本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数的图象与系数的关系是解答此题的关键．
9．（3分）如图，AD∥BE∥CF，直线l1、l2与这三条平行线分别交于点A、B、C和点D、E、F．若AB＝4.5，BC＝3，EF＝2，则DE的长度是（ ）
A．
B．3 C．5 D．
【分析】根据平行线分线段成比例得到比例式，代入数据即可得到结论．
【解答】解：∵AD∥BE∥CF，
∴
即：
∴DE＝3，
故选：B．
【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理的应用，能根据定理得出比例式是解此题的关键，注意：一组平行线截两条直线，所截得的对应线段成比例．
10．（3分）△ABC中，O是∠ABC、∠ACB的角平分线的交点，过点O作EF∥BC分别交AB、AC于点E、F，已知BC＝a（a是常数），设△ABC的周长为y，△AEF的周长为x，在下列图象中，大致表示y与x之间的函数关系的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】由于点O是△ABC的内心，根据内心的性质得到OB、OC分别平分∠ABC、∠ACB，又EF∥BC，可得到∠1＝∠3，则EO＝EB，同理可得FO＝FC，再根据周长的所以可得到y＝x+a，（x＞0），即它是一次函数，即可得到正确选项．
【解答】解：如图，∵点O是△ABC的内心，
∴∠1＝∠2，
又∵EF∥BC，
∴∠3＝∠2，
∴∠1＝∠3，
∴EO＝EB，
同理可得FO＝FC，
∵x＝AE+EO+FO+AF，
y＝AE+BE+AF+FC+BC，
∴y＝x+a，（x＞0），
即y是x的一次函数，
所以B选项正确．
故选：B．
【点评】本题考查了一次函数y＝kx+b（k≠0，k，b为常数）的图象和性质以及内心的性质和平行线的性质，正确得出函数关系式是解题关键．
二、填空题（每小题3分，共计30分）
11．（3分）某市常住人口约为5240000人，数字5240000用科学记数法表示 5.24×106 ．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：5240000＝5.24×106，
故答案为：5.24×106．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
12．（3分）在函数y＝
中，自变量x的取值范围是 x≠
．
【分析】由分式的分母不为0，列出关于x的不等式，即可求出x的范围．
【解答】解：根据题意得，﹣2x+3≠0，
解答x≠
故答案为x≠．
【点评】此题考查了函数自变量的取值范围，掌握分式有意义的条件：分母不为0是解本题的关键．
13．（3分）计算：
＝ 
．
【分析】利用二次根式的减法的法则进行运算可．
【解答】解：
＝2
＝．
故答案为：．
【点评】本题主要考查二次根式的加减法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
14．（3分）分解因式：a2b﹣9b＝ b（a+3）（a﹣3） ．
【分析】首先提取公因式b，进而利用平方差公式分解因式即可．
【解答】解：a2b﹣9b
＝b（a2﹣9）
＝b（a+3）（a﹣3）．
故答案为：b（a+3）（a﹣3）．
【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，熟练掌握公式法分解因式是解题关键．
15．（3分）不等式组
的解集为 x≤﹣1 ．
【分析】分别求出两个不等式的解集，即可求解．
【解答】解：
解不等式①得：x≤3，
解不等式②得：x≤﹣1，
∴原不等式组的解集为x≤﹣1．
故答案为：x≤﹣1．
【点评】本题主要考查了解一元一次不等式组，熟练掌握解不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）是解题的关键．
16．（3分）一个袋子中装有6个球，其中4个黑球2个白球，这些球除颜色外，形状、大小、质地等完全相同．搅匀后，在看不到球的条件下，随机从这个袋子中摸出两个球为白球的概率是 
．
【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与其中2个球的颜色是白球的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．
【解答】解：如图：
共30种情况，摸出两个白球的情况有2种，摸出两个球为白球的概率为：
＝
．
故答案为：．
【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．注意列表法或树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件，正确画出树形图是解题关键．
17．（3分）抛物线y＝3（x﹣1）2+2的顶点坐标是 （1，2） ．
【分析】已知抛物线的顶点式，可直接写出顶点坐标．
【解答】解：由y＝3（x﹣1）2+2，根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（1，2）．
【点评】考查将解析式化为顶点式y＝a（x﹣h）2+k，顶点坐标是（h，k），对称轴是直线x＝h．
18．（3分）一个扇形的半径为6cm，面积为3πcm2，则此扇形的圆心角为 30 度．
【分析】设扇形的圆心角是n°，根据扇形的面积公式即可得到一个关于n的方程，解方程即可求解．
【解答】解：设扇形的圆心角是n°，根据扇形的面积公式得：3π＝
解得n＝30．
故答案为：30．
【点评】本题考查了扇形的面积公式，正确理解公式是关键．
19．（3分）已知：等腰三角形ABC的面积为30m2，AB＝AC＝10m，则底边BC的长度为 2
或6 ．
【分析】作CD⊥AB于D，则∠ADC＝∠BDC＝90°，由三角形的面积求出CD，由勾股定理求出AD；分两种情况：①等腰△ABC为锐角三角形时，求出BD，由勾股定理求出BC即可；②等腰△ABC为钝角三角形时，求出BD，由勾股定理求出BC即可．
【解答】解：作CD⊥AB于D，
则∠ADC＝∠BDC＝90°，△ABC的面积＝
AB•CD＝×10×CD＝30，
解得：CD＝6，
∴AD＝
＝8m；
分两种情况：
①等腰△ABC为锐角三角形时，如图1所示：
BD＝AB﹣AD＝2m，
∴BC＝
＝2
；
②等腰△ABC为钝角三角形时，如图2所示：
BD＝AB+AD＝18m，
∴BC＝＝6；
综上所述：BC的长为2或6．
故答案为：2或6．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质、三角形的面积公式及勾股定理，解题的关键画出图形，分两种情况讨论．
20．（3分）如图，在Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点D在线段AC上，AD＝3CD，点E在线段BA的延长线上，BD＝DE，连接CE，若△BCE的面积等于10，则CE的长为 
．
【分析】过D点作DF⊥AB于F，过点C作CG⊥AB于点G，先证明AF＝3FG，设FG＝a，则AF＝3a，AG＝4a，再根据△BCE的面积等于10列方程，解方程可求解a值，利用勾股定理可求解．
【解答】解：过D点作DF⊥AB于F，过点C作CG⊥AB于点G，
∴DF∥CG，
∴
∴AF＝3FG，
在Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，
∴AG＝BG＝CG＝4a，BF＝5a，
∵BD＝DE，
∴EF＝BF＝5a，BE＝10a，EG＝6a，
∴S△BCE＝
BE•CG＝
×10a×4a＝10，
解得a＝
在Rt△EGC中，CE＝
．
故答案为：
．
【点评】本题主要考查等腰直角三角形，勾股定理，平行线分线段成比例定理，掌握数形结合及转化思想是解题的关键．
三、解答题（共60分）
21．先化简，再求代数式
÷（a﹣2﹣
）的值．其中a＝2sin60°﹣3tan45°．
【分析】先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．
【解答】解：÷（a﹣2﹣）
＝÷（
﹣）
＝÷
＝×
＝
．
当a＝2sin60°﹣3tan45°＝2×
﹣3×1＝
﹣3时，
原式＝
＝
＝
．
【点评】本题主要考查了分式的化简求值，在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．
22．如图，在每个小正方形的边长均为1的方格纸中有线段AB和点D，其中点A、B、D均在小正方形的顶点上．
（1）在方格纸中画出锐角等腰三角形ABC，点C在小正方形的顶点上，且△ABC的面积为10；
（2）连接CD，以CD为边在方格纸中画出正方形CDEF，点E、F在小正方形的顶点上；在（1）（2）条件下，连接AF，并直接写出线段AF的长．
【分析】（1）利用数形结合的思想画出三角形即可；
（2）根据正方形的定义画出图形．利用勾股定理求出AF．
【解答】解：（1）如图所示，△ABC即为所求；
（2）如图所示，正方形CDEF即为所求，连接AF，
AF＝
＝
．
【点评】本题考查作图﹣应用与设计作图，勾股定理，三角形的面积等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
23．学习成为现代入的时尚，某市有关部门统计了最近6个月到图书馆的读者的职业分布情况，并做了下列两个不完整的统计图．
（1）在统计的这段时间内，共有 16 万人次到图书馆阅读，其中商人占百分比为 12.5% ；
（2）将条形统计图补充完整；
（3）若5月份到图书馆的读者共28000人次，估计其中约有多少人次读者是职工？
【分析】（1）利用到图书馆阅读的人数＝学生的人数÷学生的百分比求解，商人占百分比＝商人数÷总人数求解即可，
（2）求出职工到图书馆阅读的人数，作图即可，
（3）利用总人数乘读者是职工的人数的百分比求解即可．
【解答】解：到图书馆阅读的人数为4÷25%＝16万人，
其中商人占百分比为
＝12.5%，
故答案为：16，12.5%．
（2）职工到图书馆阅读的人数为16﹣4﹣4﹣2＝6万人
（3）若5月份到图书馆的读者共28000人次，估计其中的读者是职工的人数为28000×
＝10500人．
【点评】本题主要考查了条形统计图与扇形统计图，解题的关键是读懂统计图，从统计图中得到准确的信息．
24．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，连接AD，E为AD的中点，过A作AF∥BC交BE延长线于F，连接CF．
（1）求证：四边形ADCF是菱形；
（2）在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出与△ACD面积相等的三角形（不包含△ACD）．
【分析】（1）首先根据题意画出图形，由E是AD的中点，AF∥BC，易证得△AFE≌△DBE，即可得AF＝BD，又由在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，可得AD＝BD＝CD＝AF，证得四边形ADCF是平行四边形，继而判定四边形ADCF是菱形；
（2）根据等高模型即可解决问题；
【解答】（1）证明：如图，∵AF∥BC，
∴∠AFE＝∠DBE，
∵E是AD的中点，AD是BC边上的中线，
∴AE＝DE，BD＝CD，
在△AFE和△DBE中，
∴△AFE≌△DBE（AAS）；
∴AF＝DB．
∵DB＝DC，
∴AF＝CD，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∵∠BAC＝90°，D是BC的中点，
∴AD＝DC＝
BC，
∴四边形ADCF是菱形；
（2）与△ACD面积相等的三角形有：△ABD，△ACF，△AFB．
【点评】此题考查了菱形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等高模型等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
25．某中学为奖励在艺术节上取得好成绩的班级，计划购买甲、乙两种奖品，若购买甲种奖品5件，乙种奖品15件，需花费650元，若购买甲种奖品4件，乙种奖品5件，需花费310元．
（1）求甲、乙两种奖品每件多少元；
（2）如果购买甲、乙两种奖品共20件，总花费不超过700元，求该中学购买甲种奖品最多多少件．
【分析】（1）设甲种奖品每件x元，乙种奖品每件y元，利用“购买甲种奖品5件，乙种奖品15件，需花费650元，若购买甲种奖品4件，乙种奖品5件，需花费310元”列方程组，然后解方程组计算即可；
（2）设甲种奖品购买了a件，乙种奖品购买了（20﹣a）件，利用“总花费不超过700元”列出不等式并解答．
【解答】解：（1）设甲种奖品每件x元，乙种奖品每件y元，
依题意，得
．
解得
．
答：甲种奖品每件40元，乙种奖品每件30元；
（2）设甲种奖品购买了a件，乙种奖品购买了（20﹣a）件，
依题意，得40a+30（20﹣a）≤700．
解得a≤10．
答：该中学购买甲种奖品最多10件．
【点评】本题考查了一元一次不等式组的应用：对具有多种不等关系的问题，考虑列一元一次不等式组，并求解；一元一次不等式组的应用主要是列一元一次不等式组解应用题，
26．已知：如图1，AC为⊙O的直径，B为⊙O上一点，连接AB、BC，过点O作AC的垂线交⊙O于点D，连接BD．
（1）求∠ABD的度数；
（2）如图2，延长DO交⊙O于点M，F是弧MC上一点，连接CF、CM、AF，CM、AF分别与AF、BC交于点H、N，若∠FCM＝2∠ACB，求证：NH＝CH；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接MN、AM，AM交BC于点E．若
，求MN的长．
【分析】（1）根据垂直的定义及圆周角定理求解即可；
（2）根据垂径定理及圆周角定理求出∠AMC＝90°，AM＝CM，根据等腰直角三角形的性质推出∠MAC＝∠ACM＝45°，设∠ACB＝α，则∠NCH＝45°﹣α，根据圆周角定理及三角形外角性质求出∠HNC＝45°﹣α＝∠NCH，根据等腰三角形的判定即可得解；
（3）根据等腰直角三角形的性质推出
，连接BM，根据勾股定理求出MH＝3
，则CH＝NH＝＝4，根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理推出∠AMB＝∠CMN，利用AAS证明△ABM≌△CNM，根据全等三角形的性质得出AB＝CN，设AB＝CN＝a，BN＝b，根据勾股定理求出a＝4，b＝8，据此求解即可．
【解答】（1）解：∵AC是⊙O直径，OD⊥AC，
∴∠AOD＝90°，
∵AD＝AD，；
（2）证明：连接AM，
∵AC是⊙O直径，MD⊥AC，
∴∠AMC＝90°，AM＝CM，
∴∠MAC＝∠ACM＝45°，
设∠ACB＝α，
则∠NCH＝∠ACM﹣∠ACB＝45°﹣α，
∵MF＝MF，
∴∠MAF＝∠MCF，
∵∠FCM＝2∠ACB＝2α，
∴∠NAC＝∠MAC﹣∠MAF＝45°﹣2α，
∴∠HNC＝∠NAC+∠ACB＝45°﹣2α+α＝45°﹣α＝∠NCH，
∴NH＝CH；
（3）解：∵△ACM是等腰直角三角形，AC＝4
∴
连接BM，
∵BM＝BM，
∴∠BAM＝∠BCM，
在Rt△AMH 中，
∴
∴AN＝AH﹣NH＝5
﹣＝4
∴AN＝AM，
∵∠MAN＝2α，
∴∠AMN＝∠ANM＝90°﹣α，
∴∠CMN＝∠AMC﹣∠AMN＝90°﹣（90°﹣α）＝α，
∵AB＝AB，
∴∠AMB＝∠ACB＝α，
∴∠AMB＝∠CMN＝α，
又∠BAM＝∠BCM，AM＝CM，
∴△ABM≌△CNM（AAS），
∴AB＝CN，
设AB＝CN＝a，BN＝b，
∵AC为直径，
∴∠ABC＝90°，
在Rt△ABC中，AC2＝AB2+BC2，
∴
在Rt△ABN 中，AN2＝AB2+BN2，
∴
＝a2+b2，
解得，a＝4，b＝8，
∴BN＝8，
∴
．
【点评】此题是圆的综合题，考查了圆周角定理、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握圆周角定理、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理并作出合理的辅助线是解题的关键．
27．如图，抛物线
与x轴交于A、B两点，与y轴的负半轴交于点C，直线
经过点A，连接AC、BC，若OB＝OC，△ABC的面积为
．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P为y轴右侧抛物线上一点，连接PA交y轴于点D，设点P的横坐标为t，△ACD的面积为S，求S与t的函数解析式；
（3）在（2）的条件下，过点D作BC的平行线交直线于点E，过点P作BC的平行线交x轴于点F，连接EF，若EA＝EF，求点P的坐标．
【分析】（1）由一次函数y＝
x+
与x轴交于A，求得A（﹣2，0），因为OB＝OC，根据三角形ABC面积求得B（5，0），C（0，﹣5），代入二次函数解析式，利用待定系数法求得二次函数解析式即可；
（2）根据题意得P（t，），A（﹣2，0），求得AP解析式，AP交y轴于D，得D点坐标（0，t﹣5）；
C（0，﹣5）故CD＝t，根据S△ACD＝
CD×OA即可得s＝t；
（3）由B点及C点坐标求得BC解析式为y＝x﹣5，由于DE∥BC∥PF，两直线平行比例系数相等，可以求得DE及PF 的解析式，进而求的E点、F点坐标分别为：（
）、（﹣t2
，0），因为AE＝EF，所以xA+xF＝2xE，利用中点坐标公式建立方程﹣2﹣
＝2×
，解得：t1＝4，t2＝7（舍），即可得P（4，﹣3）．
【解答】解：（1）当y＝0时，
∴x＝﹣2，
∴A（﹣2，0），
∴OA＝2，
设OB＝OC＝a（a＞0），
（a+7）（a﹣5）＝0，
a1＝﹣7 （舍去），a2＝5；
∴OB＝OC＝5，
∴B（5，0），C（0，﹣5），
把A（﹣2，0）和C（0，﹣5）代入抛物线 
中，
得 b＝﹣
＝﹣5；
所以二次函数解析式为：y＝
x2﹣x﹣5
（2）设直线AP的解析式为y＝kx+b，
把 A（﹣2，0）和 
代入y＝kx+b，注意：（t＞0），
得﹣2k+b＝0；
kt+b＝t2﹣t﹣5；
解得：k＝
＝t﹣5；
解得
当x＝0时，y＝t﹣5，
∴D（0．t﹣5），
∴DC＝t﹣5﹣（﹣5）＝t，
∴S＝t （t＞0）；
（3）设BC的解析式为y＝mx+n，
把B（5，0）和C（0，﹣5）代入y＝kx+b（k≠0）得：
解之得：m＝1，n＝﹣5
∴BC：y＝x﹣5，
∵D（0，t﹣5），BC：y＝x﹣5，
且DE∥BC，
∴DE：y＝x+t﹣5，
∵y＝x+t﹣5与
交于E点，
联立解方程组的E点坐（
），
又∵PF∥BC：y＝x﹣5，
∴PF：y＝x+
t2﹣
t﹣5，
∵PF交x轴于F点，
令y＝0，得F（
t2+ 
t+5，0），
∵AE＝EF，
∴xA+xF＝2xE，
即：﹣2﹣
t2+t+5＝2×
；
解得：t1＝4，t2＝7（舍），
当P（7，7）时，可作图知与题意不符，
∴P（4，﹣3）．
【点评】本题考查二次函数与一次函数的综合题目，待定系数法求函数解析式，平面直角坐标系中中点坐标公式的应用，体现了数形结合的思想及推理能力．
