2021年北京市中考数学试卷
一､选择题（共16分，每题2分）第1－8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．
1. 如图是某几何体的展开图，该几何体是（ ）
A. 长方体 B. 圆柱 C. 圆锥 D. 三棱柱
2. 党的十八大以来，坚持把教育扶贫作为脱贫攻坚的优先任务．
年，中央财政累计投入“全面改善贫困地区义务教育薄弱学校基本办学条件”专项补助资金1692亿元，将169200000000用科学记数法表示应为（ ）
3. 如图，点
在直线
上，
，则
的大小为（ ）
A. 30° B. 
C. 
D. 
4. 下列多边形中，内角和最大的是（ ）
A. 
B. 
C. 
D. 
5. 实数
在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ）
A. 
B. 
C. 
D. 
6. 同时抛掷两枚质地均匀的硬币，则一枚硬币正面向上､一枚硬币反面向上的概率是（ ）
A. 
B. 
C. 
D. 
7. 已知
．若
为整数且
，则的值为（ ）
A. 43 B. 44 C. 45 D. 46
8. 如图，用绳子围成周长为
的矩形，记矩形的一边长为
，它的邻边长为
，矩形的面积为
．当
在一定范围内变化时，
和
都随的变化而变化，则与
与满足的函数关系分别是（ ）
A. 一次函数关系，二次函数关系
B. 反比例函数关系，二次函数关系
C. 一次函数关系，反比例函数关系
D. 反比例函数关系，一次函数关系
二､填空题（共16分，每题2分）
9. 若
在实数范围内有意义，则实数的取值范围是_______________．
10. 分解因式：
______________．
11. 方程
的解为______________．
12. 在平面直角坐标系
中，若反比例函数
的图象经过点
和点
，则
的值为______________．
13. 如图，
是
___．
14. 如图，在矩形
中，点
分别在
上，
．只需添加一个条件即可证明四边形
是菱形，这个条件可以是______________（写出一个即可）．
15. 有甲､乙两组数据，如表所示：
甲､乙两组数据
方差分别为
（填“＞”，“＜”或“＝”）．
16. 某企业有
两条加工相同原材料的生产线．在一天内，
生产线共加工
吨原材料，加工时间为
小时；在一天内，
生产线共加工
吨原材料，加工时间为
小时．第一天，该企业将5吨原材料分配到两条生产线，两条生产线都在一天内完成了加工，且加工时间相同，则分配到生产线的吨数与分配到生产线的吨数的比为______________．第二天开工前，该企业按第一天的分配结果分配了5吨原材料后，又给生产线分配了吨原材料，给生产线分配了吨原材料．若两条生产线都能在一天内加工完各自分配到的所有原材料，且加工时间相同，则
的值为______________．
三､解答题（共68分，第17－20题，每题5分，第21－22题，每题6分，第23题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27－28题，每题7分）解答应写出文字说明､演算步骤或证明过程．
17. 计算：
．
18. 解不等式组：
19. 已知
，求代数式
的值．
20. 《淮南子･天文训》中记载了一种确定东西方向的方法，大意是：日出时，在地面上点处立一根杆，在地面上沿着杆的影子的方向取一点，使
两点间的距离为10步（步是古代的一种长度单位），在点处立一根杆；日落时，在地面上沿着点处的杆的影子的方向取一点
，使
两点间的距离为10步，在点处立一根杆．取
的中点
，那么直线
表示的方向为东西方向．
（1）上述方法中，杆在地面上的影子所在直线及点
的位置如图所示．使用直尺和圆规，在图中作的中点（保留作图痕迹）；
（2）在如图中，确定了直线表示的方向为东西方向．根据南北方向与东西方向互相垂直，可以判断直线表示的方向为南北方向，完成如下证明．
证明：在△ABC中，
______________，是的中点，
CA⊥DB（______________）（填推理的依据）．
∵直线表示的方向为东西方向，
∴直线表示方向为南北方向．
21. 已知关于的一元二次方程
．
（1）求证：该方程总有两个实数根；
（2）若
，且该方程的两个实数根的差为2，求的值．
22. 如图，在四边形中，∠ACB=∠CAD=90°，点
在
上，
，EF⊥AB垂足为
．
（1）求证：四边形
是平行四边形；
（2）若
平分∠BAC，
，求
和
的长．
23. 在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b(k≠0）的图象由函数
的图象向下平移1个单位长度得到．
（1）求这个一次函数的解析式；
（2）当
时，对于的每一个值，函数y=mx(m≠0)的值大于一次函数
的值，直接写出的取值范围．
24. 如图，圆O是△ABC的外接圆，是圆O的直径，AD交BC于点．
（1）求证：∠BAD=∠CAD；
（2）连接
并延长，交
于点，交圆O于点
，连接
．若圆O的半径为5，，求和
的长．
25. 为了解甲､乙两座城市的邮政企业4月份收入的情况，从这两座城市的邮政企业中，各随机抽取了25家邮政企业，获得了它们4月份收入（单位：百万元）的数据，并对数据进行整理､描述和分析．下面给出了部分信息．
．甲城市邮政企业4月份收入的数据的频数分布直方图如下（数据分成5组：6≤x＜8，8≤x＜10，10≤x＜12，12≤x＜14，14≤x＜16)：
．甲城市邮政企业4月份收入的数据在
这一组的是：10.0，10.0，10.1，10.9，11.4，11.5，11.6，11.8
．甲､乙两座城市邮政企业4月份收入数据的平均数､中位数如下：
| 平均数 | 中位数 |
甲城市 | 10.8 |
|
乙城市 | 11.0 | 11.5 |
根据以上信息，回答下列问题：
（1）写出表中的值；
（2）在甲城市抽取的邮政企业中，记4月份收入高于它们的平均收入的邮政企业的个数为
．在乙城市抽取的邮政企业中，记4月份收入高于它们的平均收入的邮政企业的个数为
．比较
的大小，并说明理由；
（3）若乙城市共有200家邮政企业，估计乙城市的邮政企业4月份的总收入（直接写出结果）．
26. 在平面直角坐标系中，点
和点
在抛物线
上．
（1）若
，求该抛物线的对称轴；
（2）已知点
在该抛物线上．若
，比较
的大小，并说明理由．
27. 如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=α，M为的中点，点在
上，以点为中心，将线段顺时针旋转α得到线段，连接
．
（1）比较∠BAE与∠CAD大小；用等式表示线段
之间的数量关系，并证明；
（2）过点
作的垂线，交
于点
，用等式表示线段
与
的数量关系，并证明．
（1）如图，点
的横､纵坐标都是整数．在线段
中，圆O的以点为中心的“关联线段”是______________；
（2）△ABC是边长为1的等边三角形，点
，其中t≠0．若是圆O的以点为中心的“关联线段”，求
的值；
（3）在△ABC中，
．若是圆O以点为中心的“关联线段”，直接写出
的最小值和最大值，以及相应的长．
