高考数学题中的＂逆向问题＂

                                                      逆向问题

   问题提出： 求出一个数学问题的正确结论后，将其作为条件之一，提出与原来问题有关的新问题，我们把它称为原来问题的一个“逆向”问题．（此题选自上海2007春季高考卷）  
  例：给出问题“在平面直角坐标系xoy中，求点P（2，1）到直线3x+4y=0的距离．”的一个有意义的“逆向”问题，并解答你所给出的“逆向”问题．

解：逆向”问题（答案不唯一）可以是：

（1）求到直线3x+4y=0的距离为2的点的轨迹方程．

或者（2）已知点P（2，1）到直线l：ax+by=0的距离为2，求直线l的方程．

逆向问题（1）解答：

逆向问题（2）解答：

练习1：解答一个问题后，将结论作为条件之一，提出与原问题有关的新问题，我们把它称为原问题的一个“逆向问题”．例如：原问题是“若矩形的边长为3和4，则其周长为14“，它的一个逆向问题是“若矩形的周长为14，一边长为3，求另一边长”．已知全集S={1，2，a²-2a+3}.

（1）若A={1，a}，={3}，则实数a=       .
（2）请对（1）提出一个“逆向问题”：                   .

答案：（1） a=2     

    （2） 

练习2：托马斯•贝叶斯（ThomasBayes）在研究“逆向概率”的问题中得到了一个公式：    

这个公式被称为贝叶斯公式（贝叶斯定理），其中

称为B的全概率．假设甲袋中有3个白球和2个红球，乙袋中有2个白球和2个红球．现从甲袋中任取2个球放入乙袋，再从乙袋中任取2个球．已知从乙袋中取出的是2个白球，则从甲袋中取出的也是2个白球的概率为（　　）

练习3： 圆O的方程为x²+y²=1，斜率为k的直线l与圆O交于两点A，B，与x轴交于圆内点F（c,0），其中c≠0，点M（m,0）为x轴上一点．

（1）当c＝1/2, k=2时，若有∠OMA=∠OMB，求m的值；
（2）就本问题，请你尝试提出有意义的问答并解答（请注意完整、清晰、简洁地叙述你所提出的问题、本题视所提问题的意义及解答给分）．

  （2）问题：已知圆O的方程为x²+y²=1，斜率为k的直线l与圆O交于两点A，B，与x轴交于圆内点F（c,0），其中c≠0，点M（m,0）为x轴上一点，若∠OMA=∠OMB，求证：mc=1．

练习4. 如数学命题一般由“条件”和“结论”两部分组成，正确的命题揭示了“条件”与“结论”之间的必然联系，如果我们把命题中的“条件”和“结论”互换身份，就有可能得到一个有意义的逆向命题；把一个数学命题中的某些特殊的条件一般化（比如取消某些条件过强的限制），从而得到更普遍的结论，叫做数学命题的推广．这两种方式都是发现数学新知识的重要途径．下面，给出个具体问题，请你先解答这个问题，并尝试按上面提示的思路，提出有意义的问题．

答案：

（解答略）

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