2024年新高考第19题之伯努利不等式

四季读书网 1 0

2024年新高考第19题之伯努利不等式 第1张

[引言]全国新高考数学试卷第19题的议论众多。进入3月以来,各地纷纷组织了高三的一模考试,现将酝酿后的典型题目整理如下。
[题目](2013年,湖北高考,理数22)n为正整数,r为正有理数。
I)求函数

2024年新高考第19题之伯努利不等式 第2张

的最小值;
II)证明:

2024年新高考第19题之伯努利不等式 第3张

III)设xR,记[x]不小于x的最小整数,例如[2]=2[π]=4[-3/2]=-1。令

2024年新高考第19题之伯努利不等式 第4张

[S]的值。
[解析]1)函数f(x)的定义域为:x-1
对函数f(x)求导,有

2024年新高考第19题之伯努利不等式 第5张

f(x)=0,解得

2024年新高考第19题之伯努利不等式 第6张

x变化时,f(x)f(x)变化情况如下
x
(-,0)
0
(0,+)
f(x)
0
g(x)
极小
因此,函数f(x)(-,0)上单调递减,在(0,+)上单调递增。即在x=0处取得最小值,

2024年新高考第19题之伯努利不等式 第7张

即值为0
2)由1)可知,当x-1时,f(x)f(0),当且仅当x=0时取等号。
于是,有

2024年新高考第19题之伯努利不等式 第8张

)(*)式中,令x=1/n,其中nN*,则

2024年新高考第19题之伯努利不等式 第9张

两边同时乘以nr+1,得

2024年新高考第19题之伯努利不等式 第10张

整理,得

2024年新高考第19题之伯努利不等式 第11张

2024年新高考第19题之伯努利不等式 第12张

从而,原不等式右侧得证。
)n1时,在(*)式中,令x=-1/n,其中nN*,则

2024年新高考第19题之伯努利不等式 第13张

两边同时乘以nr+1,得

2024年新高考第19题之伯努利不等式 第14张

整理,得

2024年新高考第19题之伯努利不等式 第15张

2024年新高考第19题之伯努利不等式 第16张

又当n=1时,有

2024年新高考第19题之伯努利不等式 第17张

即当n=1时,上式也成立。
从而,原不等式左侧得证。
综上,原不等式得证。
3)根据2)的结论,令r=1/3n分别取818283、…、125,有

2024年新高考第19题之伯努利不等式 第18张

将上面各式分别相加,得

2024年新高考第19题之伯努利不等式 第19张

代入数据,有

2024年新高考第19题之伯努利不等式 第20张

根据[x]的定义,[S]=211
[后记]本题是2013年湖北高考理科数学的压轴解答题,时至今日仍熠熠生辉,让很多所谓的新高考第19题创新题黯然失色。其中第三问的答案为211,颇有预祝各位考生考上“211”高校的深刻寓意,令人唏嘘。
本题实际上由伯努利不等式演变而来。所谓伯努利不等式是指:
对于x-1,且xR,当n1时,有

2024年新高考第19题之伯努利不等式 第21张

0n1时,有

2024年新高考第19题之伯努利不等式 第22张

其中,若n为正整数,则不等式右侧就是二项展开式的前两项,显然成立。若n为实数的情况,可以用微分证明,本文从略。

伯努利不等式形式简洁,可以将高次幂变为低次幂,极大的简化运算。它常被用作证明其它不等式的关键步骤,在数学分析中有着广泛的应用。

关注请扫码:
2024年新高考第19题之伯努利不等式 第23张

抱歉,评论功能暂时关闭!