中考数学干货|初三中考数学真题100题精选(附答案)推荐收藏使用

初三中考数学真题100题精选（附答案）

一、中考真题

1．在△ABC中，AB＝BC，将△ABC绕点A沿顺时针方向旋转得△A₁B₁C₁，使点C₁落在直线BC上（点C₁与点C不重合），

（1）如图，当∠C＞60°时，写出边AB₁与边CB的位置关系，并加以证明；

（2）当∠C＝60°时，写出边AB₁与边CB的位置关系（不要求证明）；

（3）当∠C＜60°时，请你在如图中用尺规作图法作出△AB₁C₁（保留作图痕迹，不写作法），再猜想你在（1）、（2）中得出的结论是否还成立并说明理由．

【分析】（1）AB₁∥BC．因为等腰三角形，两底角相等，再根据平行线的判定，内错角相等两直线平行，可证明两直线平行．

（2）当∠C＝60°时，写出边AB₁与边CB的位置关系也是平行，证明方法同（1）题．

（3）成立，根据旋转变换的性质画出图形．利用三角形全等即可证明．

【解答】解：（1）AB₁∥BC．

证明：由已知得△ABC≌△AB₁C₁，

∴∠BAC＝∠B₁AC₁，∠B₁AB＝∠C₁AC，

∵AC₁＝AC，

∴∠AC₁C＝∠ACC₁，

∵∠C₁AC+∠AC₁C+∠ACC₁＝180°，

∴∠C₁AC＝180°﹣2∠ACC₁，

同理，在△ABC中，

∵BA＝BC，

∴∠ABC＝180°﹣2∠ACC₁，

∴∠ABC＝∠C₁AC＝∠B₁AB，

∴AB₁∥BC．（5分）

（2）如图1，∠C＝60°时，AB₁∥BC．（7分）

（3）如图，当∠C＜60°时，（1）、（2）中的结论还成立．

证明：显然△ABC≌△AB₁C₁，

∴∠BAC＝∠B₁AC₁，

∴∠B₁AB＝∠C₁AC，

∵AC₁＝AC，

∴∠AC₁C＝∠ACC₁，

∵∠C₁AC+∠AC₁C+∠ACC₁＝180°，

∴∠C₁AC＝180°﹣2∠ACC₁，

同理，在△ABC中，

∵BA＝BC，

∴∠ABC＝180°﹣2∠ACC₁，

∴∠ABC＝∠C₁AC＝∠B₁AB，

∴AB₁∥BC．（13分）

【点评】考查图形的旋转，等腰三角形的性质，平行线的判定．本题实质是考查对图形旋转特征的理解，旋转前后的图形是全等的．

2．我们学习了利用函数图象求方程的近似解，例如：把方程2x﹣1＝3﹣x的解看成函数y＝2x﹣1的图象与函数y＝3﹣x的图象交点的横坐标．如图，已画出反比例函数y＝在第一象限内的图象，请你按照上述方法，利用此图象求方程x²﹣x﹣1＝0的正数解．（要求画出相应函数的图象；求出的解精确到0.1）

【分析】根据题意可知，方程x²﹣x﹣1＝0的解可看做是函数y＝和y＝x﹣1的交点坐标，所以根据图象可知方程x²﹣x﹣1＝0的正数解约为1.1．

【解答】解：∵x≠0，

∴将x²﹣x﹣1＝0两边同时除以x，得

x﹣1﹣＝0，

即＝x﹣1，

把x²﹣x﹣1＝0的正根视为由函数y＝与函数y＝x﹣1的图象在第一象限交点的横坐标．

如图：

∴正数解约为1.1．

【点评】主要考查了反比例函数和一元二次方程之间的关系．一元二次方程的解都可化为一个反比例函数和一次函数的交点问题求解．

3．汽车产业的发展，有效促进我国现代化建设．某汽车销售公司2005年盈利1500万元，到2007年盈利2160万元，且从2005年到2007年，每年盈利的年增长率相同．

（1）该公司2006年盈利多少万元？

（2）若该公司盈利的年增长率继续保持不变，预计2008年盈利多少万元？

【分析】（1）需先算出从2005年到2007年，每年盈利的年增长率，然后根据2005年的盈利，算出2006年的利润；

（2）相等关系是：2008年盈利＝2007年盈利×每年盈利的年增长率．

【解答】解：（1）设每年盈利的年增长率为x，

根据题意得1500（1+x）²＝2160

解得x₁＝0.2，x₂＝﹣2.2（不合题意，舍去）

∴1500（1+x）＝1500（1+0.2）＝1800

答：2006年该公司盈利1800万元．

（2）2160（1+0.2）＝2592

答：预计2008年该公司盈利2592万元．

【点评】本题的关键是需求出从2005年到2007年，每年盈利的年增长率．等量关系为：2005年盈利×（1+年增长率）²＝2160．

4．如图，△ABC内接于⊙O，AB＝6，AC＝4，D是AB边上一点，P是优弧BAC的中点，连接PA、PB、PC、PD．

（1）当BD的长度为多少时，△PAD是以AD为底边的等腰三角形？并证明；

（2）在（1）的条件下，若cos∠PCB＝，求PA的长．

【分析】（1）根据等弧对等弦以及全等三角形的判定和性质进行求解；

（2）过点P作PE⊥AD于E．根据锐角三角函数的知识和垂径定理进行求解．

【解答】解：（1）当BD＝AC＝4时，△PAD是以AD为底边的等腰三角形．

∵P是优弧BAC的中点，

∴＝．

∴PB＝PC．

又∵∠PBD＝∠PCA（圆周角定理），

∴当BD＝AC＝4，△PBD≌△PCA．

∴PA＝PD，即△PAD是以AD为底边的等腰三角形．

（2）过点P作PE⊥AD于E，

由（1）可知，

当BD＝4时，PD＝PA，AD＝AB﹣BD＝6﹣4＝2，

则AE＝AD＝1．

∵∠PCB＝∠PAD（在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等），

∴cos∠PAD＝cos∠PCB＝，

∴PA＝．

【点评】综合运用了等弧对等弦的性质、全等三角形的判定和性质、锐角三角函数的知识以及垂径定理．

5．广安市某楼盘准备以每平方米6000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望，房地产开发商为了加快资金周转，对价格经过两次下调后，决定以每平方米4860元的均价开盘销售．

（1）求平均每次下调的百分率．

（2）某人准备以开盘价均价购买一套100平方米的住房，开发商给予以下两种优惠方案以供选择：①打9.8折销售；②不打折，一次性送装修费每平方米80元，试问哪种方案更优惠？

【分析】（1）根据题意设平均每次下调的百分率为x，列出一元二次方程，解方程即可得出答案；

（2）分别计算两种方案的优惠价格，比较后发现方案①更优惠．

【解答】解：（1）设平均每次下调的百分率为x，

则6000（1﹣x）²＝4860，

解得：x₁＝0.1＝10%，x₂＝1.9（舍去），

故平均每次下调的百分率为10%；

（2）方案①购房优惠：4860×100×（1﹣0.98）＝9720（元）；

方案②可优惠：80×100＝8000（元）．

故选择方案①更优惠．

【点评】本题主要考查一元二次方程的实际应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解，属于中档题．

6．如图，已知直径为OA的⊙P与x轴交于O、A两点，点B、C把三等分，连接PC并延长PC交y轴于点D（0，3）．

（1）求证：△POD≌△ABO；

（2）若直线l：y＝kx+b经过圆心P和D，求直线l的解析式．

【分析】（1）首先连接PB，由直径为OA的⊙P与x轴交于O、A两点，点B、C把三等分，可求得∠APB＝∠DPO＝60°，∠ABO＝∠POD＝90°，即可得△PAB是等边三角形，可得AB＝OP，然后由ASA，即可判定：△POD≌△ABO；

（2）易求得∠PDO＝30°，由OP＝OD•tan30°，即可求得点P的坐标，然后利用待定系数法，即可求得直线l的解析式．

【解答】（1）证明：连接PB，

∵直径为OA的⊙P与x轴交于O、A两点，点B、C把三等分，

∴∠APB＝∠DPO＝×180°＝60°，∠ABO＝∠POD＝90°，

∵PA＝PB，

∴△PAB是等边三角形，

∴AB＝PA，∠BAO＝60°，

∴AB＝OP，∠BAO＝∠OPD，

在△POD和△ABO中，

∴△POD≌△ABO（ASA）；

（2）解：由（1）得△POD≌△ABO，

∴∠PDO＝∠AOB，

∵∠AOB＝∠APB＝×60°＝30°，

∴∠PDO＝30°，

∴OP＝OD•tan30°＝3×＝，

∴点P的坐标为：（﹣，0）

∴，

解得：，

∴直线l的解析式为：y＝x+3．

【点评】此题考查了圆周角定理、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质、等边三角形的判定与性质以及待定系数法求一次函数的解析式．此题综合性较强，难度适中，注意准确作出辅助线，注意数形结合思想的应用．

7．如图1，在直角坐标系中，点A的坐标为（1，0），以OA为边在第四象限内作等边△AOB，点C为x轴的正半轴上一动点（OC＞1），连接BC，以BC为边在第四象限内作等边△CBD，直线DA交y轴于点E．

（1）试问△OBC与△ABD全等吗？并证明你的结论；

（2）随着点C位置的变化，点E的位置是否会发生变化？若没有变化，求出点E的坐标；若有变化，请说明理由；

（3）如图2，以OC为直径作圆，与直线DE分别交于点F、G，设AC＝m，AF＝n，用含n的代数式表示m．

【分析】（1）由等边三角形的性质知，OBA＝∠CBD＝60°，易得∠OBC＝∠ABD，又有OB＝AB，BC＝BD故有△OBC≌△ABD；

（2）由1知，△OBC≌△ABD⇒∠BAD＝∠BOC＝60°，可得∠OAE＝60°，在Rt△EOA中，有EO＝OA•tan60°＝，即可求得点E的坐标；

（3）由相交弦定理知1•m＝n•AG，即AG＝，由切割线定理知，OE²＝EG•EF，在Rt△EOA中，由勾股定理知，AE＝＝2，故建立方程：（）²＝（2﹣）（2+n），就可求得m与n关系．

【解答】解：（1）两个三角形全等．

∵△AOB、△CBD都是等边三角形，

∴OBA＝∠CBD＝60°，

∴∠OBA+∠ABC＝∠CBD+∠ABC，

即∠OBC＝∠ABD；

∵OB＝AB，BC＝BD，

△OBC≌△ABD；

（2）点E位置不变．

∵△OBC≌△ABD，

∴∠BAD＝∠BOC＝60°，

∠OAE＝180°﹣60°﹣60°＝60°；

在Rt△EOA中，EO＝OA•tan60°＝，

或∠AEO＝30°，得AE＝2，

∴OE＝

∴点E的坐标为（0，）；

（3）∵AC＝m，AF＝n，由相交弦定理知1•m＝n•AG，即AG＝；

又∵OC是直径，

∴OE是圆的切线，OE²＝EG•EF，

在Rt△EOA中，AE＝＝2，

（）²＝（2﹣）（2+n）

即2n²+n﹣2m﹣mn＝0

解得m＝．

【点评】命题立意：考查圆的相交弦定理、切线定理、三角形全等等知识，并且将这些知识与坐标系联系在一起，考查综合分析、解决问题的能力．

8．我国年人均用纸量约为28公斤，每个初中毕业生离校时大约有10公斤废纸；用1吨废纸造出的再生好纸，所能节约的造纸木材相当于18棵大树，而平均每亩森林只有50至80棵这样的大树．

（1）若我市2005年4万名初中毕业生能把自己离校时的全部废纸送到回收站使之制造为再生好纸，那么最少可使多少亩森林免遭砍伐？

（2）我市从2000年初开始实施天然林保护工程，大力倡导废纸回收再生，如今成效显著，森林面积大约由2003年初的50万亩增加到2005年初的60.5万亩．假设我市年用纸量的20%可以作为废纸回收、森林面积年均增长率保持不变，请你按全市总人口约为1000万计算：在从2005年初到2006年初这一年度内，我市因回收废纸所能保护的最大森林面积相当于新增加的森林面积的百分之几？（精确到1%）

【分析】（1）因为每个初中毕业生离校时大约有10公斤废纸，用1吨废纸造出的再生好纸，所能节约的造纸木材相当于18棵大树，而平均每亩森林只有50至80棵这样的大树，所以有40000×10÷1000×18÷80，计算出即可求出答案；

（2）森林面积大约由2003年初的50万亩增加到2005年初的60.5万亩，可先求出森林面积年均增长率，进而求出2005到2006年新增加的森林面积，而因回收废纸所能保护的最大森林面积＝1000×10000×28×20%÷1000×18÷50，然后进行简单的计算即可求出答案．

【解答】解：（1）4×10⁴×10÷1000×18÷80＝90（亩）．

答：若我市2005年4万名初中毕业生能把自己离校时的全部废纸送到回收站使之制造为再生好纸，那么最少可使90亩森林免遭砍伐．

（2）设我市森林面积年平均增长率为x，

依题意列方程得50（1+x）²＝60.5，

解得x₁＝10%，x₂＝﹣2.1（不合题意，舍去），

1000×10⁴×28×20%÷1000×18÷50＝20160，

20160÷（605000×10%）≈33%．

答：在从2005年初到2006年初这一年度内，我市因回收废纸所能保护的最大森林面积相当于新增加的森林面积的33%．

【点评】本题以保护环境为主题，考查了增长率问题，阅读理解题意，并从题目中提炼出平均增长率的数学模型并解答的能力；

解答时需仔细分析题意，利用方程即可解决问题．

9．一个不透明的口袋里有红、黄、绿三种颜色的球（除颜色外其余都相同），其中红球有2个，黄球有1个，任意摸出一个黄球的概率为．

（1）试求口袋里绿球的个数；

（2）若第一次从口袋中任意摸出一球（不放回），第二次任意摸出一球，请你用树状图或列表法，求出两次都摸到红球的概率．

【分析】（1）根据概率的求解方法，利用方程求得绿球个数；

（2）此题需要两步完成，所以采用树状图法或者列表法都比较简单，解题时要注意是放回实验还是不放回实验，此题为不放回实验．

【解答】解：（1）设口袋里绿球有x个，则，解得x＝1．故口袋里绿球有1个．

（2）

故，P（两次都摸到红球）＝．

【点评】（1）解题时要注意应用方程思想；

（2）列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．

10．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6，点P、Q分别是AB边和CD边上的动点，点P从点A向点B运动，点Q从点C向点D运动，且保持AP＝CQ．设AP＝x．

（1）当PQ∥AD时，求x的值；

（2）当线段PQ的垂直平分线与BC边相交时，求x的取值范围；

（3）当线段PQ的垂直平分线与BC相交时，设交点为E，连接EP、EQ，设△EPQ的面积为S，求S关于x的函数关系式，并写出S的取值范围．

【分析】（1）根据已知条件，证明四边形APQD是矩形，再根据矩形的性质和AP＝CQ求x即可；

（2）连接EP、EQ，则EP＝EQ，设BE＝y，列出等式（8﹣x）²+y²＝（6﹣y）²+x²然后根据函数的性质来求x的取值范围；

（3）由图形的等量关系列出方程，再根据函数的性质来求最值．

【解答】解：（1）当PQ∥AD时，则

∠A＝∠APQ＝90°，∠D＝∠DQP＝90°，

又∵AB∥CD，

∴四边形APQD是矩形，

∴AP＝QD，

∵AP＝CQ，

AP＝CD＝，

∴x＝4．

（2）如图，连接EP、EQ，则EP＝EQ，设BE＝y．

∴（8﹣x）²+y²＝（6﹣y）²+x²，

∴y＝．

∵0≤y≤6，

∴0≤≤6，

∴≤x≤．

（3）S_△BPE＝•BE•BP＝••（8﹣x）＝，

S_△ECQ＝＝•（6﹣）•x＝，

∵AP＝CQ，

∴S_BPQC＝，

∴S＝S_BPQC﹣S_△BPE﹣S_△ECQ＝24﹣﹣，

整理得：S＝＝（x﹣4）²+12（），

∴当x＝4时，S有最小值12，

当x＝或x＝时，S有最大值．

∴12≤S≤．

【点评】解答本题时，涉及到了矩形的判定、矩形的性质、勾股定理以及二次函数的最值等知识点，这是一道综合性比较强的题目，所以在解答题目时，一定要把各个知识点融会贯通，这样解题时才会少走弯路．

11．某公司经营杨梅业务，以3万元/吨的价格向农户收购杨梅后，分拣成A、B两类，A类杨梅包装后直接销售；B类杨梅深加工后再销售．A类杨梅的包装成本为1万元/吨，根据市场调查，它的平均销售价格y（单位：万元/吨）与销售数量x（x≥2）之间的函数关系如图；B类杨梅深加工总费用s（单位：万元）与加工数量t（单位：吨）之间的函数关系是s＝12+3t，平均销售价格为9万元/吨．

（1）直接写出A类杨梅平均销售价格y与销售量x之间的函数关系式；

（2）第一次，该公司收购了20吨杨梅，其中A类杨梅有x吨，经营这批杨梅所获得的毛利润为w万元（毛利润＝销售总收入﹣经营总成本）．

①求w关于x的函数关系式；

②若该公司获得了30万元毛利润，问：用于直销的A类杨梅有多少吨？

（3）第二次，该公司准备投入132万元资金，请设计一种经营方案，使公司获得最大毛利润，并求出最大毛利润．

【分析】（1）这是一个分段函数，分别求出其函数关系式；

（2）①当2≤x＜8时及当x≥8时，分别求出w关于x的表达式．注意w＝销售总收入﹣经营总成本＝w_A+w_B﹣3×20；

②若该公司获得了30万元毛利润，将30万元代入①中求得的表达式，求出A类杨梅的数量；

（3）本问是方案设计问题，总投入为132万元，这笔132万元包括购买杨梅的费用+A类杨梅加工成本+B类杨梅加工成本．共购买了m吨杨梅，其中A类杨梅为x吨，B类杨梅为（m﹣x）吨，分别求出当2≤x＜8时及当x≥8时w关于x的表达式，并分别求出其最大值．

【解答】解：（1）①当2≤x＜8时，如图，

设直线AB解析式为：y＝kx+b，

将A（2，12）、B（8，6）代入得：

，解得，

∴y＝﹣x+14；

②当x≥8时，y＝6．

所以A类杨梅平均销售价格y与销售量x之间的函数关系式为：

y＝；

（2）设销售A类杨梅x吨，则销售B类杨梅（20﹣x）吨．

①当2≤x＜8时，

w_A＝x（﹣x+14）﹣x＝﹣x²+13x；

w_B＝9（20﹣x）﹣[12+3（20﹣x）]＝108﹣6x

∴w＝w_A+w_B﹣3×20

＝（﹣x²+13x）+（108﹣6x）﹣60

＝﹣x²+7x+48；

当x≥8时，

w_A＝6x﹣x＝5x；

w_B＝9（20﹣x）﹣[12+3（20﹣x）]＝108﹣6x

∴w＝w_A+w_B﹣3×20

＝（5x）+（108﹣6x）﹣60

＝﹣x+48．

∴w关于x的函数关系式为：

w＝．

②当2≤x＜8时，﹣x²+7x+48＝30，解得x₁＝9，x₂＝﹣2，均不合题意；

当x≥8时，﹣x+48＝30，解得x＝18．

∴当毛利润达到30万元时，直接销售的A类杨梅有18吨．

（3）设该公司用132万元共购买了m吨杨梅，其中A类杨梅为x吨，B类杨梅为（m﹣x）吨，

则购买费用为3m万元，A类杨梅加工成本为x万元，B类杨梅加工成本为[12+3（m﹣x）]万元，

∴3m+x+[12+3（m﹣x）]＝132，化简得：x＝3m﹣60．

①当2≤x＜8时，

w_A＝x（﹣x+14）﹣x＝﹣x²+13x；

w_B＝9（m﹣x）﹣[12+3（m﹣x）]＝6m﹣6x﹣12

∴w＝w_A+w_B﹣3×m

＝（﹣x²+13x）+（6m﹣6x﹣12）﹣3m

＝﹣x²+7x+3m﹣12．

将3m＝x+60代入得：w＝﹣x²+8x+48＝﹣（x﹣4）²+64

∴当x＝4时，有最大毛利润64万元，

此时m＝，m﹣x＝；

②当x≥8时，

w_A＝6x﹣x＝5x；

w_B＝9（m﹣x）﹣[12+3（m﹣x）]＝6m﹣6x﹣12

∴w＝w_A+w_B﹣3×m

＝（5x）+（6m﹣6x﹣12）﹣3m

＝﹣x+3m﹣12．

将3m＝x+60代入得：w＝48

∴当x＞8时，有最大毛利润48万元．

综上所述，购买杨梅共吨，其中A类杨梅4吨，B类吨，公司能够获得最大毛利润，最大毛利润为64万元．

【点评】本题是二次函数、一次函数的综合应用题，难度较大．解题关键是理清售价、成本、利润三者之间的关系．涉及到分段函数时，注意要分类讨论．

12．⊙O₁与⊙O₂相交于A、B两点，如图（1），连接O₂O₁并延长交⊙O₁于P点，连接PA、PB并分别延长交⊙O₂于C、D两点，连接CO₂并延长交⊙O₂于E点．已知⊙O₂的半径为R，设∠CAD＝α．

（1）求CD的长（用含R、α的式子表示）；

（2）试判断CD与PO₁的位置关系，并说明理由；

（3）设点P’为⊙O₁上（⊙O₂外）的动点，连接P’A、P’B并分别延长交⊙O₂于C’、D’，请你探究∠C’AD’是否等于α？C’D’与P’O₁的位置关系如何？并说明理由．

（注：图（2）与图（3）中⊙O₁和⊙O₂的大小及位置关系与图（1）完全相同，若你感到继续在图（1）中探究问题（3），图形太复杂，不便于观察，可以选择图（2）或图（3）中的一图说明理由）．

【分析】（1）作⊙O₂的直径CE，连接DE．根据圆周角定理的推论，得∠E＝∠CAD＝α，再利用解直角三角形的知识求解；

（2）连接AB，延长PO₁与⊙O₁相交于点E，连接AE．根据圆内接四边形的性质，得∠ABP′＝∠C′，根据圆周角定理的推论，得∠ABP′＝∠E，∠EAP′＝90°，从而证明∠AP′E+∠C′＝90°，则CD与PO₁的位置关系是互相垂直；

（3）根据同弧所对的圆周角相等，则说明∠C’AD’等于α；根据（2）中的证明过程，则可以证明C’D’与P’O₁的位置关系是互相垂直．

【解答】解：（1）连接DE．

根据圆周角定理的推论，得∠E＝∠CAD＝α．

∵CE是直径，

∴∠CDE＝90°．

∴CD＝CE•sinE＝2Rsinα；

（2）CD与PO₁的位置关系是互相垂直．理由如下：

连接AB，延长PO₁与⊙O₁相交于点E，连接AE．

∵四边形BAC′D′是圆内接四边形，

∴∠ABP′＝∠C′．

∵P′E是直径，

∴∠EAP′＝90°，

∴∠AP′E+∠E＝90°．

又∠ABP′＝∠E，

∴∠AP′E+∠C′＝90°，

即CD与PO₁的位置关系是互相垂直；

（3）根据同弧所对的圆周角相等，则说明∠C’AD’等于α；根据（2）中的证明过程，则可以证明C’D’与P’O₁的位置关系是互相垂直．

【点评】此题综合运用了圆周角定理及其推论、直角三角形的性质、圆内接四边形的性质．

注意：连接两圆的公共弦、构造直径所对的圆周角都是圆中常见的辅助线．

13．已知⊙O₁与⊙O₂相交于A、B两点，点O₁在⊙O₂上，C为⊙O₂上一点（不与A，B，O₁重合），直线CB与⊙O₁交于另一点D．

（1）如图（1），若AD是⊙O₁的直径，AC是⊙O₂的直径，求证：AC＝CD；

（2）如图（2），若C是⊙O₁外一点，求证：O₁C丄AD；

（3）如图（3），若C是⊙O₁内的一点，判断（2）中的结论是否成立？

【分析】（1）连接C0₁，利用直径所对圆周角等于90度，以及垂直平分线的性质得出即可；

（2）根据已知得出四边形AEDB内接于⊙O₁，得出∠ABC＝∠E，再利用＝，得出∠E＝∠AO₁C，进而得出CO₁∥ED即可求出；

（3）根据已知得出∠B＝∠EO₁C，又∠E＝∠B，即可得出∠EO₁C＝∠E，得出CO₁∥ED，即可求出．

【解答】（1）证明：连接C0₁

∵AC为⊙O₂直径

∴∠AO₁C＝90°

即CO₁⊥AD，

∵AO₁＝DO₁

∴DC＝AC（垂直平分线的性质）；

（2）证明：连接AO₁，连接AB，延长AO₁交⊙O₁于点E，连接ED，

∵四边形AEDB内接于⊙O₁，

∴∠E+∠ABD＝180°，

∵∠ABC+∠ABD＝180°，

∴∠ABC＝∠E，

又∵＝，∴∠ABC＝∠AO₁C，

∴∠E＝∠AO₁C，

∴CO₁∥ED，

又AE为⊙O₁的直径，∴ED⊥AD，

∴O₁C⊥AD，

（3）（2）中的结论仍然成立．

证明：

连接AO₁，连接AB，延长AO₁交⊙O₁于点E，连接ED，

∵∠B+∠AO₁C＝180°，∠EO₁C+∠AO₁C═180°，

∴∠B＝∠EO₁C，

又∵∠E＝∠B，

∴∠EO₁C＝∠E，

∴CO₁∥ED，又ED⊥AD，

∴CO₁⊥AD．

【点评】此题主要考查了圆周角定理以及相交两圆的性质和圆内接四边形的性质，根据圆内接四边形的性质得出对应角之间的关系是解决问题的关键．

14．如图，已知△BEC是等边三角形，∠AEB＝∠DEC＝90°，AE＝DE，AC，BD的交点为O．

（1）求证：△AEC≌△DEB；

（2）若∠ABC＝∠DCB＝90°，AB＝2 cm，求图中阴影部分的面积．

【分析】（1）在△AEC和△DEB中，已知AE＝DE，BE＝CE，且夹角相等，根据边角边可证全等．

（2）由图可知，在连接EO并延长EO交BC于点F，连接AD之后，整个图形是一个以EF所在直线对称的图形．即△AEO和△DEO面积相等，只要求出其中一个即可，而三角形AEO面积＝•OE•FB，所以解题中心即为求出OE和FB，有（1）中结论和已知条件即可求解．

【解答】（1）证明：∵∠AEB＝∠DEC＝90°，

∴∠AEB+∠BEC＝∠DEC+∠BEC，即∠AEC＝∠DEB，

∵△BEC是等边三角形，

∴CE＝BE，

又AE＝DE，

∴△AEC≌△DEB．

（2）解：连接EO并延长EO交BC于点F，连接AD．由（1）知AC＝BD．

∵∠ABC＝∠DCB＝90°，∴∠ABC+∠DCB＝180°，

∴AB∥DC，AB＝＝CD，

∴四边形ABCD为平行四边形且是矩形，

∴OA＝OB＝OC＝OD，

又∵BE＝CE，

∴OE所在直线垂直平分线段BC，

∴BF＝FC，∠EFB＝90°．

∴OF＝AB＝×2＝1，

∵△BEC是等边三角形，

∴∠EBC＝60°．

在Rt△AEB中，∠AEB＝90°，

∠ABE＝∠ABC﹣∠EBC＝90°﹣60°＝30°，

∴BE＝AB•cos30°＝，

在Rt△BFE中，∠BFE＝90°，∠EBF＝60°，

∴BF＝BE•cos60°＝，

EF＝BE•sin60°＝，

∴OE＝EF﹣OF＝＝，

∵AE＝ED，OE＝OE，AO＝DO，

∴△AOE≌△DOE．∴S_△AOE＝S_△DOE

∴S_阴影＝2S_△AOE＝2וEO•BF＝2×××＝（cm²）．

【点评】考查综合应用等边三角形、等腰三角形、解直角三角形、直角三角形性质，进行逻辑推理能力和运算能力．

15．经统计分析，某市跨河大桥上的车流速度v（千米/小时）是车流密度x（辆/千米）的函数，当桥上的车流密度达到220辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0千米/小时；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为80千米/小时，研究表明：当20≤x≤220时，车流速度v是车流密度x的一次函数．

（1）求大桥上车流密度为100辆/千米时的车流速度；

（2）在交通高峰时段，为使大桥上的车流速度大于40千米/小时且小于60千米/小时，应控制大桥上的车流密度在什么范围内？

（3）车流量（辆/小时）是单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，即：车流量＝车流速度×车流密度．求大桥上车流量y的最大值．

【分析】（1）当20≤x≤220时，设车流速度v与车流密度x的函数关系式为v＝kx+b，根据题意的数量关系建立方程组求出其解即可；

（2）由（1）的解析式建立不等式组求出其解即可；

（3）设车流量y与x之间的关系式为y＝vx，当x＜20和20≤x≤220时分别表示出函数关系由函数的性质就可以求出结论．

【解答】解：（1）设车流速度v与车流密度x的函数关系式为v＝kx+b，由题意，得

，

解得：，

∴当20≤x≤220时，v＝﹣x+88，

当x＝100时，v＝﹣×100+88＝48（千米/小时）；

（2）由题意，得

，

解得：70＜x＜120．

∴应控制大桥上的车流密度在70＜x＜120范围内；

（3）设车流量y与x之间的关系式为y＝vx，

当0≤x≤20时

y＝80x，

∴k＝80＞0，

∴y随x的增大而增大，

∴x＝20时，y最大＝1600；

当20≤x≤220时

y＝（﹣x+88）x＝﹣（x﹣110）²+4840，

∴当x＝110时，y最大＝4840．

∵4840＞1600，

∴当车流密度是110辆/千米，车流量y取得最大值是每小时4840辆．

【点评】本题考查了车流量＝车流速度×车流密度的运用，一次函数的解析式的运用，一元一次不等式组的运用，二次函数的性质的运用，解答时求出函数的解析式是关键．

16．如图，菱形、矩形与正方形的形状有差异，我们将菱形、矩形与正方形的接近程度称为“接近度”．在研究“接近度”时，应保证相似图形的“接近度”相等．

（1）设菱形相邻两个内角的度数分别为m°和n°，将菱形的“接近度”定义为|m﹣n|，于是|m﹣n|越小，菱形越接近于正方形．

①若菱形的一个内角为70°，则该菱形的“接近度”等于　40　；

②当菱形的“接近度”等于　0　时，菱形是正方形．

（2）设矩形相邻两条边长分别是a和b（a≤b），将矩形的“接近度”定义为|a﹣b|，于是|a﹣b|越小，矩形越接近于正方形．

你认为这种说法是否合理？若不合理，给出矩形的“接近度”一个合理定义．

【分析】（1）根据相似图形的定义知，相似图形的形状相同，但大小不一定相同，相似图形的“接近度”相等．所以若菱形的一个内角为70°，则该菱形的“接近度”等于|m﹣n|；当菱形的“接近度”等于0时，菱形是正方形；

（2）不合理，举例进行说明．

【解答】解：（1）①∵内角为70°，

∴与它相邻内角的度数为110°．

∴菱形的“接近度”＝|m﹣n|＝|110﹣70|＝40．

②当菱形的“接近度”等于0时，菱形是正方形．

（2）不合理．

例如，对两个相似而不全等的矩形来说，它们接近正方形的程度是相同的，但|a﹣b|却不相等．

合理定义方法不唯一．

如定义为，

越接近1，矩形越接近于正方形；

越大，矩形与正方形的形状差异越大；

当时，矩形就变成了正方形，即只有矩形的越接近1，矩形才越接近正方形．

【点评】正确理解“接近度”的意思，矩形的“接近度”|a﹣b|越小，矩形越接近于正方形．这是解决问题的关键．

17．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，△ABC的顶点均在格点上，点B的坐标为（1，0）

①画出△ABC关于x轴对称的△A₁B₁C₁；

②画出将△ABC绕原点O按逆时针旋转90°所得的△A₂B₂C₂；

③△A₁B₁C₁与△A₂B₂C₂成轴对称图形吗？若成轴对称图形，画出所有的对称轴；

④△A₁B₁C₁与△A₂B₂C₂成中心对称图形吗？若成中心对称图形，写出所有的对称中心的坐标．

【分析】（1）将三角形的各顶点，向x轴作垂线并延长相同长度得到三点的对应点，顺次连接；

（2）将三角形的各顶点，绕原点O按逆时针旋转90°得到三点的对应点．顺次连接各对应点得△A₂B₂C₂；

（3）从图中可发现成轴对称图形，根据轴对称图形的性质画出对称轴即连接两对应点的线段，做它的垂直平分线；

（4）成中心对称图形，画出两条对应点的连线，交点就是对称中心．

【解答】解：如下图所示：

（3）成轴对称图形，根据轴对称图形的性质画出对称轴即连接两对应点的线段，作它的垂直平分线，

或连接A₁C₁，A₂C₂的中点的连线为对称轴．

（4）成中心对称，对称中心为线段BB₂的中点P，坐标是（，）．

【点评】本题综合考查了图形的变换，在图形的变换中，关键是找到图形的对应点．

18．如图，矩形ABCD的边AD、AB分别与⊙O相切于点E、F，

（1）求的长；

（2）若，直线MN分别交射线DA、DC于点M、N，∠DMN＝60°，将直线MN沿射线DA方向平移，设点D到直线的距离为d，当时1≤d≤4，请判断直线MN与⊙O的位置关系，并说明理由．

【分析】（1）连接OE、OF，利用相切证明四边形AFOE是正方形，再根据弧长公式求弧长；

（2）先求出直线M₁N₁与圆相切时d的值，结合1≤d≤4，划分d的范围，分类讨论．

【解答】解：（1）连接OE、OF，

∵矩形ABCD的边AD、AB分别与⊙O相切于点E、F，

∴∠A＝90°，∠OEA＝∠OFA＝90°

∴四边形AFOE是正方形

∴∠EOF＝90°，OE＝AE＝

∴的长＝＝π．

（2）如图，将直线MN沿射线DA方向平移，当其与⊙O相切时，记为M₁N₁，切点为R，交AD于M₁，交BC于N₁，

连接OM₁、OR，

∵M₁N₁∥MN

∴∠DM₁N₁＝∠DMN＝60°