初一基础篇 | 整式：单项式·多项式·整式，系数与次数一次分清（12题精练）

初中数学 · 七上第4章 整式的加减 · 基础篇

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📌 本讲导读
前两讲我们一直在"写字母、算数值"，从这一讲起要给这些式子分类、登记、编号——这就是整式。全讲只解决四个问题：①这串式子叫什么（单项式？多项式？整式？）；②它的系数是多少（含不含符号？含不含 π？）；③它的次数是几（字母指数加起来，跟数字无关）；④怎么给它起全名（四次三项式、三次二项式）。别小看这几个名词，整式的加减、合并同类项、后面的方程，全都要靠"系数"和"次数"这两把尺子。
⚠️ 最容易翻车的三个坑：−a 的系数是 −1 不是 1；π 是数字不是字母；1/x 分母有字母，压根不是整式。

一、知识清单

1. 单项式：只有乘法的式子
表示数或字母的积的式子叫单项式。它包括三种：① 数字与字母相乘（3a、−5xy）；② 字母与字母相乘（ab、x²y）；③ 单独的一个数或一个字母（7、−1、0、m）。
两条判据：
① 不能含加减——3a+1 是两个单项式的和，不是单项式；
② 分母不能含字母——1/x、3/(a+b) 都不是单项式（π 是数字，π/2 仍是单项式）。

2. 系数：数字因数，连符号一起拿
单项式中的数字因数叫系数，包括前面的符号。
· 3a → 系数 3；−5ab → 系数 −5
· a → 系数 1；−a → 系数 −1（这两个最容易写错）
· 2πr² → 系数 2π（π 是数字，要跟着走）
· −(2/3)πr² → 系数 −(2/3)π（分数系数别把分母丢了）

3. 次数：所有字母指数相加
一个单项式中所有字母的指数之和叫这个单项式的次数；次数是几就叫"几次单项式"。
· −5ab → 1+1 = 2 次；−xy²z³ → 1+2+3 = 6 次
· 3x²y → 2+1 = 3 次（系数 3 完全不参与）
· −7 的次数是 0（没有字母，0 次单项式）
⚠️ 只有数字的项（常数项）次数记 0；次数只看字母头上的指数，与系数大小无关。

4. 多项式：几个单项式的和
几个单项式的和叫多项式，其中每一个单项式叫项（带上前面的符号），不含字母的项叫常数项。
· 3x²−2x+5 的项是 3x²、−2x、5（不是 2x，是 −2x）
次数：各项中次数最高的那一项的次数，就是整个多项式的次数；
命名：按"次数 + 项数"，叫几次几项式。
· 5ab²−2a²bc−1：各项次数 3、4、0 ⇒ 四次，共 3 项 ⇒ 四次三项式。

5. 整式：单项式 + 多项式
单项式和多项式统称整式。一句话判据：分母中不含字母就是整式。
· 是整式：x²+5、−1、−3x+2、π、5x、0
· 不是整式：1/x、3/(a+b)、x+1/x（分母有字母）
· 还要排除：不等式、等式（如 x>1、x=2）都不是整式。

⚠️ 三句话记牢：① 系数连符号，a 是 1，−a 是 −1；② 次数只加字母的指数，数字不算；③ 分母见字母，立刻不是整式。

二、题型精讲（5 类必考）

题型一判断：单项式 / 多项式 / 整式

例：下列式子中，是单项式的是（　）
A. 3x+1　B. −xyz²　C. 1/x　D. p−q

解：A 含加减（两项的和）✗；B 是数与字母的积 ✓；C 分母含字母 ✗；D 是差 ✗。选 B。

💡 三步筛：先看分母有没有字母（有就淘汰）→ 再看有没有加减（有就是多项式）→ 都不是才是单项式。整式＝单项式＋多项式，所以 A、B、D 都是整式，C 不是。

题型二求系数与次数

例：单项式 −xy²z³ 的系数和次数分别是（　）
A. 0，5　B. 1，6　C. −1，5　D. −1，6

解：系数是 −1（只有一个负号，数字因数是 −1）；次数 = 1+2+3 = 6。选 D。

💡 两个陷阱：① 没有数字时系数是 1 或 −1，绝不是 0；② 次数是"指数相加"，不是"字母个数"，x 的指数 1 也要算进去。

题型三由"几次单项式"反求字母

例：已知 (m−3)xy^|m|+1 是关于 x、y 的五次单项式，则 m 的值是______。

解：次数条件是 1 + (|m|+1) = 5 ⇒ |m| = 3 ⇒ m = ±3；
系数条件：m−3 ≠ 0 ⇒ m ≠ 3。
两条件一起筛：m = −3。

💡 这类题一定有两个条件：次数列等式，系数不为 0 做筛选。只解方程不筛，就会多写一个错答案——这是本章最高频的失分点。

题型四多项式的项、次数与"不含某项"

例：多项式 2x⁴ − (a+1)x³ + (b−2)x² − 3x − 1 不含 x³ 项和 x² 项，则 ab = ______。

解："不含"就是这一项的系数为 0：
−(a+1) = 0 ⇒ a = −1；b−2 = 0 ⇒ b = 2。
所以 ab = (−1)×2 = −2。

💡 顺带记住：写"项"必须带符号（−3x 是一项，不是 3x）；常数项也带符号（这里是 −1）。

题型五按某个字母升幂 / 降幂排列

例：将 4a²b + 3ab² − 2b³ + a³ 按 a 的升幂排列。

解：先看每项里 a 的指数：4a²b → 2；3ab² → 1；−2b³ → 0（没有 a）；a³ → 3。
从小到大排：−2b³ + 3ab² + 4a²b + a³。

💡 两条铁律：① 只按指定的那个字母看指数，别的字母当"配角"不管；② 移动时符号跟着项一起搬，−2b³ 搬到最前面还是 −2b³。

三、考点速查表

四、巩固练习（12 题）

1. 下列式子中，是单项式的是（　）
   A. 3x+1　B. −xyz²　C. 1/x　D. p−q
2. 单项式 −(2πr²)/3 的系数是______，次数是______。
3. 单项式 −xy²z³ 的系数是______，次数是______。
4. 已知 (m−3)xy^|m|+1 是关于 x、y 的五次单项式，则 m 的值是______。
5. 多项式 1 + 2xy − 3xy² 的次数是______，最高次项的系数是______。
6. 下列关于多项式 5ab² − 2a²bc − 1 的说法中，正确的是（　）
   A. 它是三次三项式　B. 它是四次两项式　C. 它的最高次项是 −2a²bc　D. 它的常数项是 1
7. 若 (|k|−2)x³ − (k−2)x² + 7 是关于 x 的二次多项式，则 k 的值是______。
8. 多项式 2x⁴ − (a+1)x³ + (b−2)x² − 3x − 1 不含 x³ 项和 x² 项，则 ab = ______。
9. 在 x²+5，−1，−3x+2，π，1/x，x²+1/x，5x 中，整式有______个。
10. 将 4a²b + 3ab² − 2b³ + a³ 按 a 的升幂排列，结果是（　）
    A. −2b³+3ab²+4a²b+a³　B. a³+4a²b+3ab²−2b³
    C. 4a²b+3ab²−2b³+a³　D. 4a²b+3ab²+a³−2b³
11. 把多项式 3x²y − 2xy² + 5x³y³ − y⁴ 按 x 的降幂排列：______。
12. 观察下面一列单项式：x，−3x²，9x³，−27x⁴，…
    (1) 第 8 个单项式是______；
    (2) 当 x = −1 时，前 8 个单项式的和是______。

五、逐题解析

1. B
   。A 含加减，是多项式；C 分母含字母，不是整式；D 是差，是多项式；只有 −xyz² 是数与字母的积。
2. −(2/3)π；2
   。数字因数是 −(2/3)π（π 是数字，必须带上）；字母只有 r，指数 2 ⇒ 次数 2。
3. −1；6
   。没有数字因数时系数是 −1（负号算进系数）；次数 = 1+2+3 = 6。
4. −3
   。次数：1 + (|m|+1) = 5 ⇒ |m| = 3 ⇒ m = ±3；系数 m−3 ≠ 0 ⇒ m ≠ 3。两条件合并得 m = −3。
5. 3；−3
   。三项的次数分别是 0、2、3，最高是 3 次；最高次项是 −3xy²，系数为 −3。
6. C
   。各项次数为 3、4、0 ⇒ 四次三项式（A、B 错）；最高次项是 −2a²bc（C 对）；常数项是 −1（D 错）。
7. −2
   。是"二次"多项式 ⇒ x³ 项必须消失：|k|−2 = 0 ⇒ k = ±2；又 x² 项要保留 ⇒ k−2 ≠ 0 ⇒ k ≠ 2。故 k = −2。
8. −2
   。不含 x³ ⇒ −(a+1) = 0 ⇒ a = −1；不含 x² ⇒ b−2 = 0 ⇒ b = 2；ab = (−1)×2 = −2。
9. 5
   。整式有 x²+5、−1、−3x+2、π、5x 共 5 个；1/x 与 x²+1/x 分母含字母，不是整式。
10. A
    。各项中 a 的指数依次为 2、1、0、3，从小到大是 −2b³(0)、3ab²(1)、4a²b(2)、a³(3)。
11. 5x³y³ + 3x²y − 2xy² − y⁴
    。各项 x 的指数为 2、1、3、0，从大到小排：5x³y³(3)、3x²y(2)、−2xy²(1)、−y⁴(0)，符号随项一起搬。
12. (1) −2187x⁸；(2) −3280
    。
    (1) 规律：第 n 个为 (−3)ⁿ⁻¹xⁿ，n = 8 时系数 (−3)⁷ = −2187，字母 x⁸，即 −2187x⁸。
    (2) x = −1 时各项为 −1、−3、−9、−27、−81、−243、−729、−2187，全部为负，和 = −(1+3+9+27+81+243+729+2187) = −3280。

🎯 方法速记卡
① 分类三筛：分母有字母 → 出局；有加减 → 多项式；只有乘法 → 单项式；整式＝前两类之和；
② 系数三看：看符号、看分数、看 π（π 是数不是字母）；a 是 1、−a 是 −1；
③ 次数一加：只加字母的指数，系数再大也不算；常数项 0 次；
④ 多项式的项带符号，命名 = 最高次项次数 + 项数（四次三项式）；
⑤ 反求字母两条件：次数等式 + 系数≠0，解完必须筛；
⑥ "不含某项" ⇒ 系数 = 0；升降幂 ⇒ 只看指定字母，符号跟着项走。

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