春季高考数学：集合与区间，到底怎么理解？
Sets and Intervals: Making Sense of the Symbols
看到 {x∈R｜－1＜x≤3}，有些同学还没开始做题，先被符号吓住了。
其实，它说的就是一句话：找出所有大于－1、不大于3的实数。
集合与区间这一部分，先别急着背符号。试着把数学翻译成人话，再把人话写回数学，思路就清楚了。
The symbols may look unfamiliar, but the idea is simple: find all real numbers greater than −1 and at most 3. Start by putting the mathematics into everyday words.
一、集合，就是把符合条件的对象放在一起
假设我们把“一个班里参加篮球队的同学”放在一起，就得到一个集合。每一名入选的同学，就是这个集合的一个元素。
换成数字也是一样。例如：
A＝{1，2，3}
意思是：集合A里有1、2、3这三个数。
2∈A，读作“2属于A”；5∉A，读作“5不属于A”。
判断一个数属不属于集合，就问：它在不在里面？
还要留意：集合里的元素不重复，排列顺序不影响集合。因此，{1，2，3}和{3，2，1}是同一个集合。
A set is a collection of distinct objects. Each object is an element. The symbol ∈ means “belongs to,” and the order of the elements does not matter.
二、看不懂集合表达式？逐个翻译
看看这个集合：
B＝{x∈R｜－1＜x≤3}
把它连起来：B是由所有大于－1、小于或等于3的实数组成的集合。
因此，0、1、2、3在里面，0.5、2.8也在里面；－1和4不在里面。
这里最容易错的地方是：题目没说整数，就不能只找整数。
如果改成{x∈Z｜－1＜x≤3}，Z表示整数集，这时才能写成{0，1，2，3}。
Read the condition carefully. R means real numbers, so decimals and fractions can qualify too. Z means integers; with that restriction, only 0, 1, 2 and 3 remain.
三、区间，就是把数轴上的一段范围写简短
“所有大于－1、小于或等于3的实数”，可以在数轴上表示成一段连续的范围，也可以简写成：
（－1，3]
它与{x∈R｜－1＜x≤3}表达的是同一个集合。
先看两个端点：左边是－1，右边是3。再看端点算不算在内：－1不算，3算。
圆括号表示不包括这个端点，方括号表示包括这个端点。
画数轴时，不包含的端点画空心圆，包含的端点画实心点。
记忆时可以说：有等号，端点能进来；没等号，端点留在外。注意，这句话适用于这种区间端点的判断。
An interval describes a continuous range of real numbers. Parentheses exclude an endpoint; square brackets include it. On a number line, use an open circle for an excluded endpoint and a filled dot for an included one.
四、无穷大那一边，为什么必须用圆括号？
如果题目是x≥2，且x∈R，意思是从2开始，所有更大的实数都要。
写成区间就是：[2，＋∞）。
“＋∞”表示向右无限延伸，不是一个能取到的实数，所以不能用方括号把它“收进来”。同理，－∞也必须搭配圆括号。
全体实数也可以写成（－∞，＋∞）。
Infinity is not a real-number endpoint that can be included. Always use a parenthesis next to +∞ or −∞.
五、交集和并集，先分清“同时满足”和“至少满足一个”
设A＝[－1，3]，B＝（1，5]。
交集A∩B：既在A里面，也在B里面。
A要求－1≤x≤3，B要求1＜x≤5。两边同时满足，留下的是：
A∩B＝（1，3]。
为什么不包括1？因为1不在B里。为什么包括3？因为3同时在A和B里。
并集A∪B：在A里面，或者在B里面，至少满足一边。
把两边的范围合起来，中间没有断开，因此：
A∪B＝[－1，5]。
不过，“合起来”不意味着把中间缺失的数补上。例如[－2，0]与[2，4]的并集，只能写成[－2，0]∪[2，4]，不能写成[－2，4]，因为1不在任何一个集合里。
The intersection contains elements in both sets. The union contains elements in at least one set. A union does not fill gaps between separate intervals.
六、这几个小地方，最容易丢分
1. 把{1，3}看成[1，3]。
{1，3}只有1和3两个元素；[1，3]包含从1到3的所有实数，包括1.5、2、2.9等。
2. 以为两个范围“碰到一起”就一定有交集。
[0，2]∩[2，4]＝{2}，因为两边都包含2。
但[0，2）∩[2，4]＝∅，因为前一个区间不包含2，两个集合没有共同元素。
∅表示空集，也就是没有任何元素的集合。∅和{0}不一样，后者有一个元素0。
3. 把元素与集合的关系，写成集合与集合的关系。
2∈{1，2，3}，表示一个数属于一个集合。
{2}⊆{1，2，3}，表示一个集合是另一个集合的子集。
先看两边是什么，再决定用哪个符号。
The set {1, 3} has only two elements, while [1, 3] contains every real number between them. Touching intervals share an endpoint only when both include it. The empty set ∅ is different from {0}.
七、做题时，按这四步走
第一步，看范围。题目说的是实数，还是整数？
第二步，读条件。先把符号翻译成一句话。
第三步，画数轴。标端点、画空心或实心点，再标出范围。
第四步，查端点。把临界值代回原条件，看它到底能不能取。
例如A＝{x∈R｜x＞－2}，B＝{x∈R｜x≤1}，求A∩B。
同时满足“大于－2”和“不大于1”，就是－2＜x≤1，所以答案为（－2，1]。
这道题没有复杂计算，关键是读懂“同时满足”。
Check the number system, translate the conditions, draw the ranges, and test the endpoints. These four steps turn unfamiliar notation into a clear picture.
八、读完做四道，看看自己是不是真懂了
以下涉及x的题目，均在实数范围内讨论。
把－3≤x＜2写成区间。
把（0，4]写成不等式。
A＝[－2，2]，B＝（0，5），求A∩B和A∪B。
[－1，1）∩[1，3]是什么集合？
参考答案
[－3，2）。
0＜x≤4。
A∩B＝（0，2]；A∪B＝[－2，5）。
∅。前一个区间不包含1，两个集合没有共同元素。
Try the questions before checking the answers. For every bracket, explain whether the endpoint is included and why.
写在最后
数学基础薄弱，遇到符号多的题，不必一上来就认定“我学不会”。
集合与区间这部分，可以先练一种能力：把符号读成话，把范围画出来，把端点查清楚。
今天能分清{1，3}和[1，3]，明天能判断一个端点要不要包含，复习就在向前走。先把这些小地方弄明白，再去练不等式、函数定义域，就更容易接得上。
留言区练一练：[0，2]∩（2，4]是什么？别只写答案，也说说理由。
Build understanding one small distinction at a time. Reading conditions and checking endpoints will also help with inequalities and function domains.
写于广东江门市蓬江区
