本篇为中考二轮复习核心干货讲义，全文4千多字，完整、系统梳理初中相似三角形六大必考压轴模型。
六道典题，六张"图形索引卡"——看见图形，想起模型，定位解法。中考这口气，咱不是单纯背模型，而是理解模型，最后一眼认出它。
模型一｜共角型（母子型）相似：大三角形里套着小三角形
长什么样：两个三角形共用一个角，顶点重合，小三角形"长"在大三角形里。考法就是再给一组角相等，用"两角对应相等"直接判定。
典题（题1）：在△ABC 中，P 是边 AB 上一点，连接 CP。若 ∠ACP＝∠B，求证：△ACP∽△ABC。
∠A 公共，题给 ∠ACP＝∠B，两组角对应相等，相似成立。这一步是"送分"？不——它是后面所有题的地基：凡是见到"公共角＋另一角相等"或"公共角＋两边对应成比例"，立刻想到共角型相似。
再上一个台阶（题2 第 2 问）：∠A＝60°，AC²＝AB·AD，BC＝BD，求 ∠ABC 的度数。
这里的 AC²＝AB·AD 是个乘积式。处理乘积式只有一招：拆成比例式。AC²＝AB·AD，即 AC:AB＝AD:AC，夹的是同一个 ∠A，于是 △ACD∽△ABC（两边成比例且夹角相等，注意这是"共角＋两边成比例"的用法）。
设 ∠ABC＝x°，则 ∠ACD＝x°；∠A＝60° ，用到三角形内角和，∠ADC＝∠ACB＝120°−x°。再看 BC＝BD，△BCD 等腰，∠BCD＝∠BDC。∴∠BCD＝∠ACB=∠ADC＝0.5x°＝120°−x°，解得： x＝80，∴∠ABC＝80°。
易错提醒：乘积式要看准"谁是谁的中项"。AC²＝AB·AD 里 AC 是比例中项，说明 AC 同时出现在两组对应比里——这正是共角型的本尊，别套成别的模型。
模型二｜手拉手旋转相似：绕着一个点转起来
长什么样：两个三角形共顶点（手拉手），各有一条"手臂"向同一个方向伸出，连接对应点。题目用【问题呈现】【类比探究】【拓展提升】给你搭好了三级台阶。
典题（题2）：△ABC 和 △ADE 都是等边三角形（图1），连接 BD、CE，求证：BD＝CE。
等边三角形共顶点 A，绕 A 转一个角，两组"手臂" BD 和 CE 就全等了——这叫旋转全等（共顶点＋等角＋等边，SAS）。同理可得 ∠BAD＝∠CAE。
【类比探究】把等边换成等腰直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°，求 BD/CE。全等升级成旋转相似：AB:AC＝1:
，AD:AE＝1:
，两边成比例且夹角相等，△ABD∽△ACE，所以 BD:CE＝AB:AC，即 BD:CE＝1:
＝
:2。
【拓展提升】换成一般直角三角形：AB:BC＝AD:DE＝5:12，∠ABC＝∠ADE＝90°。勾股出 5:12:13，AB:AC＝AD:AE＝5:13，同样 △ABD∽△ACE，BD:CE＝5:13。第②问延长 CE 交 BD 于 F、交 AB 于 G，求 cos∠BFC——旋转相似里对应线段的夹角等于旋转角，而 ∠BFC 恰好等于 ∠BAC：cos∠BFC＝cos∠BAC＝
。
易错提醒：①手拉手的结论"BD:CE＝相似比"，这个相似比是对应边长比 AB:AC，不是图形自身的边长比，别搞混；②旋转角恒等 ∠BAD＝∠CAE，是"两个大角减去公共小角"得到的，题目怎么改角都要能认出来。
模型三｜一线三等角（K 字型）：一条直线上三个角
长什么样：一条直线上排着三个相等的角，两边各挂一个三角形。90° 时是矩形、正方形里最常见的形态。
典题（题3）：四边形 ABCD 中，P 为 AB 上一点，∠DPC＝∠A＝∠B＝90°，求证：AD·BC＝AP·BP。
∠DPA＋∠DPC＋∠CPB＝180°，∠DPC＝90°，所以 ∠DPA＋∠CPB＝90°；△ADP 中 ∠A＝90°，∠DPA＋∠ADP＝90°。于是 ∠ADP＝∠CPB（都等于 90°−∠DPA），加上 ∠A＝∠B＝90°，△ADP∽△BPC。比例式 AD:BP＝AP:BC，交叉相乘即得 AD·BC＝AP·BP。
【探究】把 90° 改成锐角或钝角（图2），结论还成立吗？成立。缺的只是"互余"这个跳板，换成"用平角减三等角，∠DPA＝∠CPB"照样转过来（你会证吗？） —— 这正是它叫"一线三等角"的原因：三个角相等，中间那个角把两侧角的互补关系钉死了。这道探究问题最值钱的地方就在这里：你要的不是记住"90° 结论"，而是能把"换掉条件"之后的图形重新认出来。
【应用】∠B＝45°（图3），以 A 为直角顶点作等腰直角三角形 ADE，∠EFD＝45°……一路设参建方程，一次三等角，一次共角型，把 CD 求出来。压轴题里"一线三等角"常以 45° 角的隐藏版本出现。
易错提醒：用角代换时牢记三只角仍然相等；换了条件先验证"三个角还相等吗"，不相等模型就散了，别硬套。
模型四｜平行线截三角形（A 字型 / 8 字型）：平行出比例
长什么样：一条线平行于三角形的一边，截出的小三角形与原三角形相似（A 字型）；两条平行线被斜线所截（8 字型）。相似比就是截出的比例。
典题（题4）：图1，△ABC 中，D、E、F 分别在 AB、AC、BC 上，DE∥BC，AF 交 DE 于 G，求证：DG:EG＝BF:CF。
DE∥BC 把图形切成两次 A 字型：在 △ABF 里，DG∥BF，得 DG:BF＝AG:AF；在 △ACF 里，EG∥CF，得 EG:CF＝AG:AF。两式一比：DG:BF＝EG:CF，根据基本性质，得： DG:EG＝BF:CF。
【尝试应用】D、E 是 BC 上两点，BD＝2DE＝4CE，一条平行于 AB 的直线分别交 AD、AE、AC 于 L、M、N，求 LM:MN。
辅助线是关键，过点M作GH∥BC（想想还可以怎么作辅助线？）：由前面结论得FM:FG＝1:2，MH:MG=1:4，又LN∥AB，根据平行线分线段成比例性质定理的推论，得：LM:AG=FM:FG＝1:2，MN:AG=MH:MG=1:4，∴ LM:MN＝2。
【拓展提高】边长为 3 的正方形 CD 边上动点 E，DF＝2DE，求 CG 的最小值——动点＋最值，设 DE＝x 把 CG 写成 x 的函数（或找垂线段最短），是这类题的常规收尾。
易错提醒：平行线分线段成比例，对应线段要找准——"上比下""左比右"要根据图形实际对应关系写，写反是这类题丢分的第一大原因。
模型五｜角平分线＋倍角：把角拆开，相似自己跳出来
长什么样：∠B＝2∠C，且 ∠B 被角平分线切开。切完两个小角各等于 ∠C——于是一组隐蔽的相等角现形，相似水到渠成。
典题（题5）：△ABC 中 ∠ABC＝2∠ACB，BD 平分 ∠ABC 交 AC 于 D。
（1）若 AB＝3，AC＝5，求 AD 的长。
BD 平分，∠ABD＝∠DBC＝∠ACB。∠ABD＝∠ACB、∠A 公共 → △ABD∽△ABC（共角型又出现了！）。AD:AB＝AB:AC，所以 AD＝
＝
。
一个平方就出来——倍角＋平分线的本质，是把"大角"切成两个"小角"，让隐蔽的相等角现形。不拆，∠B＝2∠C 就是个废条件；拆成"两个小角＝∠C"，一切才连起来。
（2）过 A 作 AC、BD 的垂线，分别交 BC、BD 于 E、F。①求证：∠ABC＝∠EAF；②求 AB:CE 的值。
①设 ∠ACB＝α，则三个小角都是 α，∠ABC＝2α。AE⊥AC、AF⊥BD，两条"垂直的手"把角的关系整体搬运：逐角代换可得 ∠EAF＝2α＝∠ABC。
②设 AB＝c，在 △ABD∽△ABC 的相似结论与 Rt△ACE（∠CAE＝90°，∠ACE＝α）中同时用锐角三角比，设参建式、消元：AB:CE 与所有边长无关，恒等于 
。
这道题最漂亮的地方就在②：结论与图形大小无关。出题人选 3:4:5、5:12:13 还是 8:15:17，答案都是 1:2——参数在推导中被消掉了。学会"设参→建式→消参"，你就看穿了一类题。
易错提醒：①倍角条件（∠B＝2∠C）一旦配合角平分线，第一动作永远是拆角找相等角，而不是硬列边比；②"设参→建式→消参"出现"与图形大小无关"的结论时，别怀疑算错——这正是这类题的出题套路；③垂直辅助线的"两步垂"（过同一点作两条垂线）非常规辅助线，认不出就卡壳，平时要专门练。
模型六｜折叠翻折：对称出相等，动点要分类
长什么样：折叠（翻折）的本质是对称：折痕是对称轴，对应点连线被折痕垂直平分。折叠前后相等的边、相等的角是解题的弹药库；再加"落在某条边上"的动点，就是压轴题的形态。
典题（题6）：矩形 ABCD 中 AB＝8、BC＝12，E 是 BC 中点，连接 AE。P 是 AD 上一动点，沿过 P 的直线折叠矩形，使点 D 落在 AE 上的 D′ 处，当 △APD′ 为直角三角形时，求 PD。
第一步认清折叠给了什么：对称轴过 P，所以 PD＝PD′——这就是列方程的抓手。
第二步分类：直角可能出现在三个顶点，逐一排查。（首选矩形建系法）
①∠APD′＝90°：AP 水平，PD′ 就竖直，D′ 在 AE 上、与 P 同横坐标。由 AE 的坡度（AE 斜率为 −2，水平 1 竖直 2）与 PD′＝PD 联立，得 PD＝8；
②∠AD′P＝90°：AD′⊥PD′，用斜率乘积＝−1 和 PD′＝PD 列方程组，解出 PD＝24
−48（约 5.67）；
③∠PAD′＝90°：只对应 D′ 与 A 重合的退化情形，三角形不成形，舍去。
所以答案是 PD＝8 或 24
−48。漏任何一种都比算错更可惜——分类讨论的分值就是为"不重不漏"设的。
【变式题】Rt△ABC 中 ∠C＝90°，AC＝12、BC＝5（AB＝13）。E 在 AB 上，DE⊥AB 交 AC 于 D，把 ∠A 沿 DE 翻折，A 落在 AB 上的 F 处（E 是 AF 中点），△BCF 为等腰三角形时，求 AE。
同样的三步：翻折给对称（AE＝EF）；等腰分类（BF＝BC、BF＝CF、CF＝BC 三种）；设 AE＝x 列方程。逐一解出 AE＝4 或 
或 
。与题6 一模一样的套路。
易错提醒：①一看到"折叠"两个字，先把对称性质写下来再读题；②一看到动点＋等腰/直角，习惯性先问自己"要分几种情况"。
最后，请再次对照六张"图形索引卡"，反思图形条件。
六大模型，不是六条要背的公式，而是六张"图形索引卡"：
看见图形 → 想起模型 → 定位解法，这就是"会做压轴题"和"看答案会做"的分界线。把这 6 道题从头到尾自己写一遍，六大模型基本就过关了。
你平时最容易被哪个模型卡住？欢迎在留言区聊聊，下一篇可以单独拆。
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