初二培优篇 | 等腰三角形进阶：分类讨论+三线合一综合+角度递推+两圆一线计数（12题精练）

初中数学 · 八上第15章 等腰三角形 · 培优篇

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📌 本讲导读
基础篇解决"会不会用"，培优篇解决"想不想得全"。等腰三角形是初中几何分类讨论的第一大户：已知两边要分腰/底，已知一角要分顶角/底角，一腰上的高还分
锐角、钝角两张图。本讲五大进阶：①分类讨论三把尺（两边 / 一角 / 腰上的高）；②三线合一综合（折叠、面积法求腰上的高）；③角度递推（连环等腰 + 外角，一题四解）；④等角对等边造等腰（角平分线 + 平行线、中线分周长）；⑤两圆一线计数（以端点为圆心画圆 + 中垂线，再排除重合点）。⚠️ 本讲最贵的一步：解完必须验证——腰 3、底 7 画不出来，答案写得再漂亮也是废纸。

一、知识清单

1. 分类讨论三把尺
① 已知两边 a、b：a 为腰（三边 a,a,b）、b 为腰（三边 b,b,a），都要验"两小边之和 > 最大边"；
② 已知一角 α：α 为顶角（底角 =(180°−α)/2）、α 为底角（顶角 = 180°−2α，须 >0）；已知两角比 1:4 这类，要按"谁是 1"分两路；
③ 已知一腰上的高：高落在腰上（锐角三角形）或腰的延长线上（钝角三角形），同一条件出两个答案。

2. 三线合一的三种进阶用法
① 折叠题：折叠出等线段 → 得等腰 → 用三线合一得到垂直、中点、角平分；
② 面积法：等腰三角形面积 S=½×底×底边上的高 = ½×腰×腰上的高，两种算法一联立，腰上的高就出来了；
③ 证垂直：只要证出"某线既是中线又是角平分线"，就能直接说它垂直于底边。

3. 角度递推：连环等腰 + 外角
题中出现"AB=BC=CD=DE…"或连续取点构等腰时，套路固定：
① 用等边对等角把已知角搬到底角；② 用三角形外角 = 不相邻两内角之和推出下一个顶角；③ 每转一圈角就"翻倍"或"减半"，写成式子找规律。
常见结论：若每次都以底角为新等腰的顶角外角，则底角依次为 α、2α、4α…；若顶角每次相同，底角按等差递减。

4. 等角对等边：把线段"搬家"
① 角平分线 + 平行线 ⇒ 等腰（∠1=∠2，内错角=∠1 ⇒ 两底角相等）；
② 中线分周长：一腰上的中线把三角形周长分成两段，设为 3x 与 2x+y（腰 2x、底 y），列方程后仍要验三边关系；
③ 双角平分线 + 平行线：DE = DB + EC，周长 = AB + AC（下一篇的常客）。

5. 两圆一线：数"能构成等腰的点"
已知线段 AB，要在某条直线 l 上找点 P 使 △PAB 为等腰三角形，只可能有三种情形：
① PA=AB：以 A 为圆心、AB 为半径画圆，与 l 的交点；
② PB=AB：以 B 为圆心、AB 为半径画圆，与 l 的交点；
③ PA=PB：作 AB 的垂直平分线，与 l 的交点。
⚠️ 数交点时要删掉与 A、B 重合的点（那样三角形退化），还要删掉三点共线的情况。答案常是 4 个或 6 个。

二、题型精讲（5 类必考）

题型一分类讨论：两边、一角、腰上的高

例1：等腰三角形一边长为 6，周长为 20，求另外两边。

解：6 为底 ⇒ 腰 =(20−6)÷2=7，三边 7、7、6 ✓；6 为腰 ⇒ 底 = 20−12=8，三边 6、6、8 ✓。答案：7、7 或 6、8。

例2：等腰三角形两个内角之比为 1:4，求顶角。

解：设小角为 x。若顶角 : 底角 = 1:4 ⇒ x+8x=180° ⇒ x=20° ⇒ 顶角 20°；若底角 : 顶角 = 1:4 ⇒ 4x+2x=180° ⇒ x=30° ⇒ 顶角 120°。

💡 比的问题先"设 x"，再用内角和列方程；两路都要走完，别走一路就交卷。

题型二三线合一 + 面积法求腰上的高

例：△ABC 中 AB=AC=5，BC=6，求 BC 边上的高 AD 与 AC 边上的高 BE。

解：三线合一 ⇒ BD=½BC=3 ⇒ AD=√(5²−3²)=4；
面积 S=½×6×4=12，又 S=½×AC×BE=½×5×BE ⇒ BE=24/5。

💡 同一个三角形算两次面积，是求"高"的通用武器，比作辅助线快得多。

题型三角度递推：连环等腰

例：△ABC 中 AB=AC，∠A=40°，点 D 在 AC 上且 BD=BC，求 ∠ABD。

解：∠ABC=∠C=(180°−40°)÷2=70°；
BD=BC ⇒ ∠BDC=∠C=70° ⇒ ∠DBC=180°−70°−70°=40°；
∠ABD=∠ABC−∠DBC=70°−40°=30°。

💡 递推三步：先用等边对等角搬角 → 再用内角和/外角算出新角 → 最后做减法（大角 − 小角）。

题型四角平分线 + 平行线 → 造等腰

例：△ABC 中 BD 平分 ∠ABC 交 AC 于 D，DE∥BC 交 AB 于 E，AE=3，DE=2，求 AB。

解：DE∥BC ⇒ ∠EDB=∠DBC；BD 平分 ⇒ ∠EBD=∠DBC ⇒ ∠EDB=∠EBD ⇒ EB=ED=2；
AB=AE+EB=5。

💡 口诀："角平分线 + 平行线，等腰自然现"。见到这组条件，先标出那两条相等的边，后面的长度就全通了。

题型五两圆一线：数等腰三角形的个数

例：点 A 在直线 l 上，点 B 在 l 外，AB=4。在 l 上找点 P，使 △PAB 为等腰三角形，这样的 P 有几个？

解：① PA=AB：以 A 为圆心、4 为半径画圆，与 l 交于 2 点（都不与 A 重合）；
② PB=AB：以 B 为圆心、4 为半径画圆，与 l 交于 2 点，其中一个是 A 本身（BA=4），舍去 ⇒ 1 点；
③ PA=PB：AB 的中垂线与 l 交于 1 点。
合计 2+1+1 = 4 个。

💡 三个来源分别画，画完逐个检查"是否和已知点重合""是否三点共线"。这一步不查，答案必然多算。

三、考点速查表

四、巩固练习（12 题）

1. 等腰三角形一边长为 6，周长为 20，则另外两边长为______。
2. 等腰三角形一腰上的高与底边的夹角为 20°，则它的顶角是______。
3. △ABC 中 AB=AC，∠A=40°，点 D 在 AC 上，且 BD=BC，则 ∠ABD=______。
4. 等腰三角形两个内角的度数之比为 1:4，则它的顶角是______。
5. △ABC 中 AB=AC=5，BC=6。则 BC 边上的高为______，AC 边上的高为______。
6. 等腰直角三角形 ABC 中 ∠ACB=90°，AC=BC，CD⊥AB 于 D，若 AB=8，则 CD=______。
7. △ABC 中 BD 平分 ∠ABC 交 AC 于 D，DE∥BC 交 AB 于 E，若 AE=3，DE=2，则 AB=______。
8. 点 A 在直线 l 上，点 B 在 l 外，AB=4。在 l 上找点 P，使 △PAB 为等腰三角形，这样的点 P 有______个。
9. 等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成 12 和 15 两部分，则它的腰长是______。
10. 等腰三角形的腰长为 10，底边长为 12，则腰上的高为______。
11. △ABC 中 AB=AC，AD 平分 ∠BAC 交 BC 于 D，DE⊥AB 于 E，DF⊥AC 于 F。则下列结论：①BD=CD；②AD⊥BC；③∠BAD=∠CAD；④DE=DF。其中正确的有（　）
    A. 1 个　B. 2 个　C. 3 个　D. 4 个
12. △ABC 中 AB=AC=5，BC=6，点 P 从 B 出发沿 BC 向 C 运动。当 △ABP 为等腰三角形时，BP=______。

五、逐题解析

1. 7、7 或 6、8
   。6 为底 ⇒ 腰 7（7+6>7 ✓）；6 为腰 ⇒ 底 8（6+6>8 ✓）。
2. 40°
   。设高 BD⊥AC，∠DBC=20° ⇒ Rt△BDC 中 ∠C=70° ⇒ 顶角 = 180°−2×70° = 40°。
3. 30°
   。∠ABC=∠C=70°；BD=BC ⇒ ∠BDC=∠C=70° ⇒ ∠DBC=40°；∠ABD=70°−40° = 30°。
4. 20° 或 120°
   。顶角 : 底角 = 1:4 ⇒ x+8x=180°，顶角 20°；底角 : 顶角 = 1:4 ⇒ 4x+2x=180°，顶角 120°。
5. 4；24/5
   。BD=½BC=3，AD=√(25−9)=4；S=½×6×4=12=½×5×BE ⇒ BE=24/5。
6. 4
   。等腰直角三角形斜边上的高 = 斜边的一半（三线合一 + 斜边中线）⇒ CD=½AB=4。
7. 5
   。DE∥BC ⇒ ∠EDB=∠DBC；BD 平分 ⇒ ∠EBD=∠DBC ⇒ EB=ED=2 ⇒ AB=3+2=5。
8. 4
   。①以 A 为圆心 4 为半径 ⇒ 2 点；②以 B 为圆心 4 为半径 ⇒ 2 点中 A 本身重合一个，取 1 点；③AB 中垂线 ⇒ 1 点。共 2+1+1=4。
9. 8 或 10
   。设腰 2x、底 y，中线分出 3x 与 2x+y：3x=12 且 2x+y=15 ⇒ x=4，y=11，三边 8、8、11 ✓；3x=15 且 2x+y=12 ⇒ x=5，y=2，三边 10、10、2 ✓。故腰长 8 或 10。
10. 48/5（即 9.6）
    。底边上的高 = √(10²−6²)=8，S=½×12×8=48=½×10×h ⇒ h=48/5。
11. D（4 个）
    。AB=AC 且 AD 平分 ∠BAC ⇒ 三线合一 ⇒ BD=CD、AD⊥BC、∠BAD=∠CAD 全对；又 AD 是角平分线，DE⊥AB、DF⊥AC ⇒ DE=DF。四个都正确。
12. 5、6 或 25/6
    。①BP=AB=5；②AB=AP 时 P 与 C 重合（B、C 关于底边高的垂足对称）⇒ BP=6；③AP=BP 时 P 在 AB 的中垂线上，设 BP=x，坐标法：B(0,0)、C(6,0)、A(3,4)，x²=(x−3)²+16 ⇒ 6x=25 ⇒ x=25/6。

🎯 方法速记卡
① 两边分类：腰、底各假设一次 + 三边检验，答案是"或"的两个值；
② 一角分类：顶角、底角各假设一次；两角比 1:4 → 设 x 走两路（20° / 120°）；
③ 腰上的高：锐角图 与 钝角图，顶角常成"和 180°"的一对（60° / 120°）；
④ 求腰上的高：两次算面积，½·底·h₁ = ½·腰·h₂；
⑤ 连环等腰：等边对等角 → 外角/内角和 → 大角减小角；
⑥ 角平分线 + 平行线：必出等腰，等量替换拼线段（DE = DB + EC）；
⑦ 两圆一线数点：三来源分别画，删重合、删共线；
⑧ 动点构等腰：三种相等关系逐一代，必要时代数式或坐标法解方程。

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