初二(上)数学~最短路径(将军饮马)常考题型+进阶版题型(一文学会最短路径作图)

📚 核心理论依据

所有最短路径问题的底层逻辑都来自这两个公理：

1‌.两点之间，线段最短‌：是绝大多数路径求和类问题的核心原理，通过几何变换将折线路径转化为直线段求解。

2‌.垂线段最短‌：用于解决点到直线的最短距离问题，比如求PA+AB的最小值时，直接作对称点到目标直线的垂线段即可。

最最最常见的将军饮马模型‌为单直线2定1动（基本上求两线段相加最短，三角形周长最短的题目都是考察这个知识点，必须掌握）：

两点在直线同侧时，作其中一点关于直线的对称点，连接对称点与另一个定点，与直线的交点就是使PA+PB最小的点，最小值为对称点与定点的线段长度。

（以下4彩图来自网络，如有侵犯联系删除）

2定1动型：

2定2动型（考的不多）：

🛠️ 将军饮马（牧民饮水）解题三步法(能快速理清思路避免出错)：

定位三要素‌：找出题目中的定点、动点所在的直线（对称轴），明确要求最小化的路径和。

对称转化线段‌：动点在哪个直线上，就以哪条直线为对称轴作定点的对称点，将原本同侧的折线路径转化为异侧的直线路径。

连线求交点‌：连接转化后的两个点，与对称轴的交点就是所求的动点位置，线段长度即为路径最小值。

造桥选址模型‌：

两条平行河岸间建垂直于河岸的桥，将其中一个定点沿垂直河岸方向平移一个河宽的距离，连接平移后的点与另一个定点，与对岸的交点就是桥的一端，总路径最小值为平移后的线段长度加河宽。

立体图形蚂蚁爬行模型‌

将长方体、圆柱、台阶等立体图形的表面展开成平面，把蚂蚁的起点和终点放在同一平面内，用勾股定理计算两点间的线段长度，长方体需分3种展开情况计算后取最小值。