行程问题总也列不对方程？一张线段图分清"相遇"和"追及"，三类题型一次讲透
数海领航工作室·每日指导
本周是开学第十周，七上第 5 章《一元一次方程》已经进入 5.4 一元一次方程与实际问题阶段。前面我们已经学会了怎样设未知数、怎样按规范步骤列方程解方程；这一阶段最容易卡住同学们的，是行程问题——题目里两个人、两辆车，谁先出发、朝哪个方向走、在哪里碰上，读完一遍脑子是乱的，方程自然列不出来。
其实行程问题并不难，它只依赖一个最朴素的关系：路程 = 速度 × 时间。真正的难点不在计算，而在读懂运动过程、找准等量关系。这篇文章把初一最常考的三类行程问题——相遇、追及、环形跑道——用线段图拆开讲清楚：每一类先看清"两个人的路程是什么关系"，再列方程。学会画图，这类题就从"看运气"变成"有套路"。
先回到根基：路程、速度、时间三者知二求一
所有行程问题都建立在下面这组基本关系上：
路程 = 速度 × 时间；速度 = 路程 ÷ 时间；时间 = 路程 ÷ 速度。 |
设未知数时，我们通常设"经过 x 小时（或 x 分钟）后发生相遇、追上"，那么每个人走过的路程就是各自速度乘上这个 x。列方程的关键，是在题目描述里找到两段路程之间的等量关系：到底是两段加起来等于全程，还是两段相减等于一开始相距的距离。方向不同，等量关系就不同，这正是相遇和追及的根本区别。
相遇问题（相向而行）：两段路程相加等于全程
两个人（或两辆车）分别从一条路的两端出发，面对面朝中间走，直到碰上，这就是相遇问题。画一条线段表示全程，两端是两个出发点，两个人的箭头都指向中间。相遇那一刻，两人走过的路程拼起来正好等于整条线段的全长。
相遇问题等量关系：甲走的路程 + 乙走的路程 = 两地之间的全程。 |
相遇问题线段模型：两人相向而行，路程之和等于全程。
如果两人同时出发，到相遇时所用的时间相同，都是 x；那么甲的路程是 甲速度 × x，乙的路程是 乙速度 × x，直接把它们相加等于全程，方程就列出来了。
追及问题（同向而行）：快者比慢者多走"拉开的那段距离"
两个人朝同一个方向走，后面快的人去追前面慢的人，这就是追及问题。这时候两个人走的方向相同，路程不能相加，而要看路程之差：快者之所以能追上，是因为他比慢者多走了两人一开始相距的那段距离（也可能是慢者先走出去的一段距离）。
追及问题等量关系：快者走的路程− 慢者走的路程 = 两人最初相距的距离（或慢者先走的路程）。 |
追及问题线段模型：同向而行，快者路程与慢者路程之差等于初始距离。
这里要特别注意出发时间：如果两人同时同地出发追及，路程差就是需要补上的距离；如果慢者先走了一段时间，那么在快者追赶的这段时间里，慢者仍然在向前走，列方程时慢者的总路程要包含"先走的路程"和"追赶期间又走的路程"，这一点在后面题 2 会专门练。
画好线段图：把"文字过程"翻译成"数量关系"
考试时遇到行程题，不要急着设 x 列方程，先花一分钟把图画出来，按下面四步走：
1.画主线段：相遇题画一条完整线段表示全程；追及题先标出两人出发点之间的距离。
2.标方向：在每个出发点旁画箭头，相向就箭头指向中间，同向就箭头朝同一方向，方向一看就明白该用加法还是减法。
3.标速度与路程：把各自速度写在出发点旁边，在对应线段上标出速度× x 这一段路程；谁先走，就把先走的那一段单独分出来标注。
4.圈出等量关系：相遇看两段相加是否等于全程，追及看两段相减是否等于初始距离，环形问题看路程差是否等于一圈。等量关系一旦找到，设未知数列方程就是水到渠成的事。
习惯建议：作业本上行程题一律先画线段图再列式。图画清楚了，题目里"同时、先后、相向、同向、距某地多远"这些条件才不会看漏。 |
五个高频易错点，做题前逐条对照
易错 1：方向看错，把相遇做成追及。相向而行用路程相加，同向而行用路程相减；题目里"面对面""相对而行""相向"是相遇，"同向""追赶""追上"是追及，审题时先在方向词下面画线。
易错 2：慢者先走的路程漏掉。晚出发的追及题里，被追的人在快者出发前已经走了一段，这一段也要算进他的总路程；只按两人同时出发列减法，方程必然出错。
易错 3：时间不统一。题目速度用的是每分钟多少米，时间却用小时；列方程前先统一单位，速度单位和时间单位必须配套。
易错 4：环形跑道方向混为一谈。同时同地同向出发，快者第一次追上慢者，路程差是一整圈；同时同地反向出发第一次相遇，路程和才是一整圈，两种情况方程左右两边一个是减、一个是加。
易错 5：求出解后不检验实际意义。行程问题的时间、路程都不能为负数；解出结果要回到题目看是否符合实际，单位和答句要写完整。
三道典型题目精练
题 1（基础 · 相遇问题，同时出发相向而行）
题目：甲、乙两地相距 300 km。一辆快车从甲地出发，速度为 90 km/h；一辆慢车从乙地出发，速度为 60 km/h。两车同时开出，相向而行，经过几小时两车相遇？
题 1 线段图：快车、慢车分别从两端相向开出，相遇点按路程比标出。
解析：设经过 x 小时两车相遇。相遇时快车行驶 90x km，慢车行驶 60x km；两车路程之和正好等于全程 300 km。列方程：
90x + 60x = 300
150x = 300，解得 x = 2。答：经过 2 小时两车相遇。
检验：2 小时快车行驶 90 × 2 = 180 km，慢车行驶 60 × 2 = 120 km，180 + 120 = 300 km，与全程相符。
易错提醒：相遇问题用加法列路程和；两车同时出发，时间都是 x，不要把其中一人的时间写成别的数。相遇点偏向速度快的一方，与图中两段长短一致。
题 2（中档 · 追及问题，慢者先走、快者晚出发）
题目：哥哥从家步行去学校，速度为 80 m/min。哥哥出发 5 分钟后，弟弟骑自行车从家出发沿同一路线同向追赶，速度为 180 m/min。弟弟出发几分钟后能追上哥哥？
题 2 线段图：哥哥先走 5 分钟，弟弟晚出发同向追赶，追上时两人路程相等。
解析：设弟弟出发 x 分钟后追上哥哥。弟弟骑行路程为 180x m；哥哥比弟弟多走 5 分钟，一共走了 (x + 5) 分钟，路程为 80(x + 5) m。追上时两人走的是同一段路程，相等关系为：
180x = 80(x + 5)
180x = 80x + 400，100x = 400，解得 x = 4。答：弟弟出发 4 分钟后追上哥哥。
检验：弟弟骑行 180 × 4 = 720 m；哥哥一共走了 4 + 5 = 9 分钟，80 × 9 = 720 m，两人路程相等，追上成立。
易错提醒：这是"先后出发"的追及，不要漏掉哥哥先走的 5 分钟；追上时两人路程相等，不是路程相减等于某段距离。列方程前先画两条平行线段，分别表示两人轨迹，谁先走、走了多久就一目了然。
题 3（技巧 · 环形跑道，同向追及与反向相遇对比）
题目：环形跑道一圈长 400 m。甲每分钟跑 110 m，乙每分钟跑 90 m，两人同时从同一起点出发。
（1）若两人同向出发，经过几分钟甲第一次追上乙？
（2）若两人反向出发，经过几分钟两人第一次相遇？
题 3 环形跑道示意图：同时同地同向出发，快者比慢者多跑一圈才能第一次追上。
解析：（1）同向出发，甲比乙快。甲第一次追上乙时，甲正好比乙多跑一整圈 400 m。设经过 x 分钟追上：
110x − 90x = 400
20x = 400，解得 x = 20。答：同向出发，经过 20 分钟甲第一次追上乙。
（2）反向出发，两人面对面跑动，第一次相遇时两人路程之和正好是一整圈 400 m。设经过 y 分钟相遇：
110y + 90y = 400
200y = 400，解得 y = 2。答：反向出发，经过 2 分钟两人第一次相遇。
检验：同向时 20 分钟甲跑 2200 m、乙跑 1800 m，2200 − 1800 = 400 m，正好多一圈；反向时 2 分钟两人共跑 110 × 2 + 90 × 2 = 400 m，正好一圈。
易错提醒：环形跑道最容易在"同向用减、反向用加"上弄反。抓住一句话：同向是拉开后再补上一圈，路程差等于一圈；反向是面对面共同跑完一圈，路程和等于一圈。做题先判断方向，再决定方程用加号还是减号。
写在最后
行程问题看着情境千变万化，骨架其实非常固定：先认方向，相遇列路程和，追及列路程差；再借助线段图把谁先走、走了多久标清楚，等量关系就会自己浮现出来。建议同学们今天先把这三道题不看答案独立做一遍，自己动手画出三张线段图，再把"同向相减、反向相加、先后出发补上先走路程"这三句话默写成检查清单。方程是工具，读懂过程才是能力，把画图的习惯坚持下来，后面学习工程问题、销售问题时这套"先分析关系、再列式"的思路同样适用。
—— 数海领航工作室 · 与你一起把每一步走扎实 ——
