2025九年级上学期深圳期中题

如图，在菱形ABCD中，AB=5,AC=8,点P从点A出发沿对角线AC匀速移动，到达点C时停止，连接DP，将DP绕点D逆时针旋转得到DQ，使∠PDQ=∠ADC，PQ与CD交于点E，连接CQ。

当△CEQ为直角三角形时，求AP的长？

解题思路

菱形中提取出等腰三角形，属于三角形的旋转相似类型的题。只说某三角形是直角三角形，没有说哪个角是直角时，要分3种情况讨论。

解题过程

∵∠PDQ=∠ADC，减去公共角∠PDC

∴∠ADP=∠CDQ

∵菱形中AD=DC,DP绕点D逆时针旋转得到DQ,DP=DQ

∴△ADP≌△CDQ，∠DAC=∠DCA

∴∠DAP=∠QCD=∠DAC

∴∠DCA=∠QCD

∵AD=DC,DP=DQ，∠PDQ=∠ADC

∴△ADC∽△PDQ ∠DAC=∠DCA=∠DPQ=∠DQP

∴∠DPQ=∠DCA=∠QCD

∵对顶角∠DEP=∠QEC

∴△DEP∽△QEC，∠CDP=∠CQE

∴△CEQ∽△CDP，后续通过三角形相似把直角从菱形外映射到菱形内去求解

△CEQ有3个角，分三种情况讨论：

∠QCE为直角？

∵菱形的∠DCB＜180°

∴∠DCA=½∠DCB＜90°

∴∠QCD=∠DCA＜90°，这种情况不存在

∠CQE为直角

则∠CDP=∠CQE=90°，做DO⊥AC于O

∴CO=½AC=4，CD=AB=5，DO=3

∵∠DCP为公共角，Rt△CDO∽Rt△CPD

∴CD/CP=CO/CD,5/(8-AP)=4/5

∴AP=7/4

∠CEQ为直角

则∠DPC为直角，DP⊥AC于P，菱形对角线互相平分垂直

∴AP=½AC=4

答案

AP的长为4或7/4