先澄清三个容易搞错的地方
老卷里藏的，都是学数学的实在道理
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四季读书网
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一套只有8道题的高考试卷背后,却藏着学数学最实在的道理
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一套只有8道题的高考试卷背后,却藏着学数学最实在的道理最近，看到一个QQ群里在讨论：1955年的高考数学卷。有人看了说“就8道题？放现在我能考满分”，也有人试着做了一下，摇头表示“看着题少，每道都藏着弯儿，根本没送分题”。 于是，我们团队做了一些深入研究，核对了三份独立的题目转录本，查阅了当年的高考分科政策，并逐题验算了解法。今天跟大家聊点实在的：这张卷子到底是什么水平，以及对现在学数学、教数学有什么参考意义。 很多人对这张卷子的第一印象不准，先掰扯清楚。 第一，这不是所有考生都要考的卷子，而是理工类专属的。 1955年是新中国高考首次将考试科目分为三类：文史、政法、财经类的考生根本不考数学；医农类大概率也不考；只有报考理工类的学生，才需要做这张数学卷。 说白了，这不是给全体高中生出的基础卷，而是给已经选了理科、有一定理科基础的学生出的选拔卷。拿它和现在面向所有高中生的高考卷比难易，本身就不太公平。 第二，题少不代表好拿分，每一道都错不起。 不少人觉得“8道题肯定简单”，但一看分值就不是那么回事。全卷共有4道简答题，每题7分，合计28分；剩下4道解答大题，每题18分，合计72分。 18分一道题是什么概念？差不多相当于现在高考一道压轴题的分值。全卷只有4道这种大题，错一道直接丢掉近五分之一的分数，根本没有“错一道还有救”的余地。哪怕是默写“二面角的平面角定义”这种看似最容易的题，也只值7分，没有那种随便写写就给分的送分题。 第三，题量逐年减少，不代表难度一直在涨。 往前翻两年，1952年高考数学有24道题，1954年是6道小题加4道大题，到1955年变成4小题加4大题，题量确实在减。但这不等于难度一年比一年高。 更合理的解释是：分科之后，考数学的考生范围收窄，大家的理科基础更接近，不需要用大量基础题来分层。命题因此可以少出几道，每道题挖得更深，靠思维的深浅来拉开差距。 这张卷子的知识点，放在今天的中学课本里确实算不上难。但真上手做就会发现，它考的从来不是“你有没有刷过同款题”，而是你到底有没有真的学明白。 第一，概念不是背下来就行，得会在题目里“用”。 有一些同学学数学，就是背公式、背定义，以为背会了就完事了。比如有道题：以一个二次方程两根的平方为根，构造一个新的二次方程。 韦达定理大家都熟悉，两根之和、两根之积张口就来，对“两根平方的和与积”怎么求，不少人就卡住了。其实只需把学过的公式变个形，背得滚瓜烂熟，不等于会灵活运用。 还有正四棱锥求高的题，没有现成的公式给你套。你得先知道正四棱锥顶点在底面的投影是底面正方形的中心，再结合侧棱和底面的夹角去算。这些都是概念里藏的细节，光背定义没用。 第二，数学的分水岭，在于一步步推导的能力。 全卷最费功夫的是一道平面几何证明题。这道题不是算个数就完事，得一步步推：先连辅助线，利用“直径对直角”的性质得到直角三角形，再用射影定理得出第一组关系；接着证明两个直角三角形相似，得到第二组关系；最后通过等量代换，才能证出最终结论。 中间哪一步想不通，整道题就卡壳了。现在很多孩子习惯了“一步套公式”的题型，遇到这种需要多步推导的证明题就发怵，本质上还是逻辑推理能力练得不够。 第三，学会把“大白话”翻译成数学式子，是一项硬本事。 有道多项式的题，给了三个文字条件：被 x-1 整除、被 x-3 除余 2、被 x+2 和 x-2 除余数相等。解题的第一步，就是把这三句话准确转换成三个数学等式。 这还不算完，第三个条件如果老老实实展开计算，会耗时很久；但只要仔细看式子的结构，就会发现有两项直接抵消，一步就能算出结果。数学好的孩子，不光会把题意翻译成式子，还能一眼看出式子的巧处，少走很多弯路。 第四，做题要会找简便方法，更要记得回头检查。 解三角方程那道题，关键一步是把 cos2x 拆开变形，因式分解之后就好做很多。我们也验算了，用辅助角公式换元的方法也能解，步骤甚至更短。说白了，做题灵不灵活，就看你对公式熟不熟，能不能想到不同的用法。 但比找简便方法更实在的，是检查的习惯。比如变形的时候有没有默认了什么前提、方程的通解有没有写全、算出来的结果代回去对不对。很多孩子考完觉得自己全做对了，成绩出来却丢了不少分，大多栽在这些细节上。 第五，知识点一直在变，但核心能力没变。 整张卷子看下来，没有现在常考的函数大题、解析几何、向量、概率统计等内容，毕竟是七十多年前的卷子了。虽然知识范围、题型和题量都在变，但高考数学选人的核心其实没怎么变：代数会不会变形、逻辑会不会推导、问题会不会转化。这些能力，不是靠刷题量堆出来的。 最后说几句实在话。 对学生来说，别总盯着自己刷了多少本题、做了多少道题。一道题做完，多花两分钟想想：这道题考的是什么知识点？最关键的是哪一步？有没有别的做法？把一道题琢磨透，比稀里糊涂刷十道题有用。 对家长来说，不用纠结“现在题难还是以前题难”，也别光盯着分数高低。更该看看孩子做题，是靠死记套路套出来的，还是真的一步步想明白的。后者才是能走得远的本事。 对老师来说，上课别光教解题模板，多问问学生“这一步为什么可以这么做”。带着孩子把逻辑理清楚，把概念讲透彻，比直接给答案、教技巧管用得多。 其实一张七十多年前的老卷子，没什么好神化的，每个时代的高考都有自己的情况。但学好数学的道理一直很简单：把概念吃透，把逻辑理顺，踏踏实实把每道题想明白。不管什么时候，这都是最管用的办法。 附校验后的试题 关注胜宇英，学习不迷路！
