------从 1994 到 2026：一道关于 tan 的题，和它背后的那个人

摘要:

1994 年那道 tan 的不等式，当年考生写满两页纸；1906 年的一篇法语论文里，它只有一行。琴生不等式的前世今生、三种面孔、几道真题，还有一句最该记住的话：定理的名字不加分，定理的内容加分。

琴生不等式、凸函数、凹函数、凹凸性、Jensen 不等式、高考数学、导数压轴、新定义题、加权平均、

1906 年，一个电话工程师埋下的伏笔

      1994 年高考数学理科第 22 题，长这样：

      已知函数 ，，若  且 ，证明：

       当年的标准答案走的是和差化积：把  化成 ，再和  作差，通分，判断符号。过程不算难，但要写满两页，中间还得盯住  和  的大小关系，稍一走神就前功尽弃。

      换一条思路，这题解答只有一行： 

 在  上二阶导数为正，是下凸函数，所以函数值的平均不小于平均的函数值；又因为  严格下凸，等号只在  时成立，而题设恰好把它们排除了。

       就完了。

       这一句话解答背后站着一个丹麦人。他叫约翰·路德维希·琴生，一辈子没在大学里教过一天书，本职是哥本哈根电话公司技术部的主任。

一、那个人：白天修电话，晚上做分析

      琴生 1859 年生于丹麦小城纳克斯科夫。父亲是个有文化但做什么亏什么的人，家道中落，一度跑到瑞典北部替人管庄园。琴生后来回忆，那几年是他一生最好的日子。

       回丹麦念完中学，琴生1876 年进了哥本哈根技术学院，学数学、物理、化学。不久他发现自己只想做数学，最早的几篇论文就是那时候写的。

       1881 年，生活拐了个弯。为了糊口，他去国际贝尔电话公司的哥本哈根分部当助理；第二年公司改组为哥本哈根电话公司。他做事极其较真，很快成了电话技术方面的行家，1890 年升任技术部主任，一直干到 1924 年退休——也就是去世前一年。

       他没有博士学位，没有教师职称，高等数学基本靠自学。他的偶像是魏尔斯特拉斯，行文也学魏尔斯特拉斯：干净、精确、一句废话没有。1892 到 1903 年，他做了十一年丹麦数学会主席。

       他出名靠的不是这个不等式。1899 年，他给米塔格-列夫勒写了一封信，里面那个公式把“一个圆上模的对数的平均值”和“圆内零点的位置”连了起来，后来叫琴生公式，是复分析里的基本工具。他本来想拿它去攻黎曼猜想，没成。

       1906 年，他把另一篇文章投给了《数学学报》，第 30 卷，175 到 193 页，标题是《论凸函数与平均值之间的不等式》。

        这篇文章里他说了一句话：一大批经典不等式，都可以从一个关于凸函数的普遍不等式推出来。

       这句话的分量，比不等式本身重得多。

二、在他之前：一个个证；在他之后：一起证

       琴生不是第一个碰到这件事的人。

       1889 年，赫尔德在处理一类平均问题时就证过它的特殊情形。再往前，埃尔米特 1883 年给出了积分版本的一半，十年后阿达马补上了另一半，也就是今天说的埃尔米特–阿达马不等式。

       但那些都是“一个个证”。均值不等式证一遍，柯西证一遍，赫尔德再证一遍。每一条都对，可谁也说不清它们为什么长在同一片土上。

       琴生做的是另一件事。他没有造一个新不等式，他换了一个提问方式：

不问“这条不等式怎么证”，而问“这个函数，弯向哪边”。

       一旦这么问，事情就变了，豁然开朗。均值不等式是  的琴生，因为  上凸；赫尔德由杨氏不等式垫底，杨氏又出自  的凸性；幂平均不等式关于幂次单调，也是同一个动作。柯西走的是另一条路——二次型非负，但和  的下凸同源。

       一个定义，收编了一整支队伍。这就是为什么后来的教科书，把它摆在不等式家族的最上游，俯瞰众生。

三、它到底说了什么

       先说定义。设  在区间  上有定义，若对任意  和任意 ，都有

就称  在  上是下凸的。说人话就是：曲线在弦的下方。

       推广到  个点，取权重  且 ，则

       这就是琴生不等式。若  严格下凸，等号当且仅当 。

       它有三个面孔。中学里最常用的是第一个；最能说明它为什么无处不在的，是第三个。

       面孔一，加权平均。 上面的式子就是。权重全取 ，就是最常见的“平均”版本。换权重，就能处理  的二元问题，也能处理按  配比的三元问题。

       面孔二，积分。 把求和换成积分，权重换成 ，得到

这是埃尔米特–阿达马不等式的左半边。它说的还是那句话：曲线在弦的下方，所以曲线下的面积比中点为高的那个矩形大。

       面孔三，期望。 把权重看成概率，写成

方差非负，就是  的琴生。这一句在概率论里几乎是全部不等式的源头。

        三个面孔其实是同一句话：函数值的平均与平均的函数值，谁大谁小，取决于曲线弯向哪边。

       而它最本质的几何形态，是切线：

       曲线永远在自己切线的上方。记住这一句，比记住公式有用得多——因为定理可以从它三行推出来，后面会写。

四、“凹”和“凸”这两个字，一直在打架

       这里必须停一下，因为这是中学讲琴生最容易翻车的地方。

       你把  叫凹函数，还是叫凸函数？

       国内教材不统一。有的书把  叫凹函数（理由是曲线像只碗，凹口朝上），有的书叫凸函数（理由是曲线向下凸出）。工科教材和数学系教材的用字，恰好相反。国际惯例则是：convex 对应 ，concave 对应 。

       所以“凹函数”这四个字，单独拎出来是没有信息量的。

       我的建议是，讲这一节时一律说下凸和上凸，或者干脆说“”“”。很多讲义把  叫凹函数，这没有问题，只要全文前后一致，并且在开头点明一句“本文的凹函数指下凸”，读者就不会误解。

       给学生的记忆钩子，最好用碗来形容：

       碗口朝上，能盛水，是下凸，，函数值的平均大于等于平均的函数值。

       碗口朝下，扣在桌上，是上凸，，不等号反过来。

       只要钩子挂住了，方向就不会记反。而方向记反，是这类题最高频的失分点，比不会做还冤。

五、四种证明，四种用途

      第一种，切线法。 最短，考场最稳。

      设 。因为  下凸，曲线在切线上方，对任意  有 。取 ，两边乘  再求和：

       一次项正好消掉，定理自己掉出来。三行，无懈可击，而且这三行本身就是证明——不需要引用任何课本外的东西。

       第二种，归纳法。 这是琴生原文的路子，也最能说明“为什么是凸性”。

两点情形就是定义，不用证。设  个点时成立，看  个点。取 （若为  就退化成  个点），令 ，再令

则 ，这是两个点的凸组合，用定义：

而  是  个点的凸组合，用归纳假设，，两边乘  代回去，完事。

        这个证明最漂亮的地方在于：它没有用到连续、可导、二阶导数，只用了“凸组合”这一个动作。所以琴生不等式对任何下凸函数都成立，哪怕它处处不可导。

       第三种，主元法。 很多讲义里走的是这一条。

       固定 ，把  当自变量，构造 ，求导，用  的单调性判号。它的教学价值不在于快，在于把一条陌生定理变回学生熟悉的单调性讨论——学生第一次看见时不会觉得“这是天上掉下来的”。

       第四种，割线法。 把弦的方程写出来，证明曲线整段都在弦下方；二元情形下就是构造 ，再求导判号。它和主元法是一体两面，一个朝“弦”看，一个朝“点”看，几何直观强，适合作为引入。

       四种证法，四种用途：切线法上考场，归纳法讲原理，主元法做衔接，割线法建直观。别指望一种吃遍。

六、高考这条线：1994 到 2011，然后它躲了十年

       琴生不等式进高考，最早就是1994 年那道 。同年文科考的是  的版本，同一个背景，文理各一，这在当年是很明确的信号：命题人想考“凹凸性”。

       之后是一串接力。

       表格里 2005 年那道，值得单独说说。它的第二问是：

       设正数  满足 ，证明

       看着吓人，其实就是等权琴生。取 ，，下凸；权重全取 ，代入得

两边乘 ，结束。

       这道题的意义不在技巧，在于它其实是信息熵的下界： 个二进制位，不管怎么分布，熵最多是 。命题人用一个求和式，把香农 1948 年的东西塞进了中学卷子。你把这一层讲出来，学生对“为什么要学这个”的抵触会少一半。

       2011 年湖北那道更妙，一道题里同时用了凸性的两张脸。第一问求  的最大值，答案是 ，于是有 ——这是  上凸、切线在曲线上方。第二问的①用它把乘积变成求和；②要证 ，左边取  下凸、等权，右边取  上凸、以  自身为权重。

       同一个定理，两个方向，一道题里各用一次。 这是我见过的最经济的命题设计。

       2012 年之后，全国卷的风向变了，导数压轴转向“极值点偏移”“双变量对称构造”，琴生不等式在题面上消失了十年。

      但它没有走。极值点偏移里那句“构造对称函数，比较  与 ”，比的就是曲线两侧的弯曲程度；双变量题里“固定一个、讨论另一个”，就是主元法。题面不给名字，骨子里底稿还是它。

       而最近几年，它换了个马甲杀回来了：新定义题。2024 年湖南、陕西等地的模拟卷里，出现了整段把“凹函数”和“琴生不等式”直接写进题干的设计——先让你按定义证某个反比例型函数是凹的，再用它求  型的最小值，最后给一个  元不等式让你构造合适的函数去套。题干把定理送到你手上，考的是你能不能读懂、能不能用对。

       这才是“引起师生警觉”的真正原因：它不再藏在技巧里“犹抱琵琶半遮面”，它开始明着考了。

七、怎么判断一道题是不是它的底稿

       给你三个信号，命中两个就值得试。

       信号一，出现了“函数值的平均”和“平均的函数值”的比较。 也就是  和  这一对。这是最直白的胎记。

       信号二，条件和结论对  完全对称，约束是  等于常数。 对称加定和，几乎是琴生的标准入场券。

       信号三，取等条件恰好是“全部相等”。 如果题目暗示“当且仅当各变量相等时取等”，那多半是它。

       三条都中，基本可以放心下手。

八、大题里能不能直接写“由琴生不等式”

      这是老师们私下问得最多的一句，我直说。多数情况下，不能。

      高考评分标准是按“通性通法”给的，引用课本外的定理而不加证明，通常不给分，运气不好还会被判“过程跳跃”。除非题干自己把定义和定理写出来了——那种新定义题不在此列。

       但“不能引用”不等于“不能用”。有三种姿势，从稳到快：

       姿势一，自证型引用。 先求二阶导，正负一判，写明“故  在区间上下凸”，接一句“由下凸函数的性质（可由切线法证明）有……”。凹凸性本身是得分点，后面那句话是可以接受的功能性说明。这是我最推荐的写法，稳，而且不啰嗦。

      姿势二，干脆写切线法三行。 把第五节那段直接搬上去。三行，没有任何“超纲”的嫌疑，阅卷老师看着也舒服。它既是证明又是应用，挑不出毛病。

       姿势三，小题随便用。 选择填空只看答案，能用就省三分钟。但一定要在草稿上验一下等号能不能取到，方向有没有搞反。

       一句话：定理的名字不加分，定理的内容加分。 你要交出去的不是“琴生不等式”这五个字，是“曲线在切线上方”这个事实。

九、三个坑，每一个都有人掉进去

坑一，点跑到凸区间外面去了。

       三角形里有个经典结论：。

       很多资料直接写“ 在  上下凸，由琴生得证”。这是错的，因为三角形可以是钝角三角形，钝角的那个角不在  里。更麻烦的是，这个结论本身在钝角三角形里就不成立。取 ，，，由恒等式 ，三项都趋于 ，和趋于 ，远小于 。

       所以这道题的正确表述是“锐角三角形”：此时三个角都落在  里，琴生才用得上，结论也才成立。

       定义域的限制不是技术细节，它是结论成立与否的边界。 这一点讲透了，比多刷十道题有用。

坑二，权重加起来不是 。

      琴生的权重必须满足  且 。有人直接拿  当权重去套，忘了先除以 ，结果差一个常数因子，怎么算都对不上。遇到配比型的问题，第一步永远是归一化。

坑三，不等号方向记反。

       这个前面说过，但值得再说一遍：碗口朝上，函数值的平均更大。记不住碗，就每次都老老实实求一遍二阶导，用符号定方向。慢十秒，稳十分。

十、它生的那些孩子

       最后说点远的话，因为这一节最能说明“为什么值得讲”。

       均值不等式，取  上凸。这是琴生最出名的儿子。

       幂平均不等式， 关于  单调递增，取  或 ，一个动作。

       赫尔德不等式，由杨氏不等式垫底，杨氏出自  的凸性，而  的凸性就是琴生。

       卡拉玛塔不等式，1932 年，把“所有点加权平均相等”放宽成“部分和比较”，是琴生在偏序上的推广。竞赛里对付“两个数列谁更分散”的问题，一用一个准。

       埃尔米特–阿达马不等式，积分版的两端，一面是琴生，一面是梯形公式。

       信息熵，2005 年那道高考题。再往前一步，是最大熵原理——在平均值给定的所有分布里，熵最大的是指数分布。今天统计学里的广义线性模型，底下压着这一行。

       还有一条更近的。今天所有生成式模型的训练目标里，都有一个叫 ELBO 的东西，它的推导第一行是 ，因为  上凸。也就是说，你手机里那些会说话的程序，训练目标的第一行，是 1906 年那篇法语论文。

一个修电话的人，给一百二十年后的机器留了一行推导。

写在最后

       回到 1994 年那道 。

       当年的考生写满两页纸，今天的我们一行写完。这个差别看起来是“快”，其实不是。

       真正的差别是：写两页纸的人，在跟一堆三角公式搏斗；写一行的人，眼前有一条弯着的曲线，他知道它弯向哪边。

       这就是凸性思维。它不教你算得更快，它教你换一个位置看——从“式子的堆叠”退后一步，看“形状”。

       给学生讲这一节，别从公式开始，从碗开始。让他们先在纸上画三条曲线：一条碗口朝上，一条碗口朝下，一条直的。然后在每条曲线上取两点、连弦，看看弦在曲线的哪一边。

       看懂了这一眼，琴生不等式就不用背了。

       琴生一辈子没站过大学讲台，1925 年在哥本哈根去世。他留下的这道题，到今年正好一百二十年，还在考。

       你要是也在讲这一节，或者手上有拿不准的题，可以留言给我。看着像“对称 + 定和 + 全部相等取等”的那种，多半就是它。