我们数海2025-2026年度最新一期的课程已经开始，全新课程与以往所有内容均不重复，有课程有讲义，更有全天答疑服务，零基础的你也不用担心，报名我们课程后好好学习，什么新领军、CMC或者考研数学，一律不在话下（今年高三毕业生如果上下两期都报，则可以各自优惠50！找我领取优惠券然后报名，带你开启逆天改命之路，用大学数学竞赛弥补高中数学的遗憾）

众所周知，关于多项式的考试题一般都没有什么门槛，而且高一学生就可以轻松理解，但是解决起来，却有相当多的问题是无法仅用高考数学理论做掉的，比如下面这样一个高考模拟卷的压轴题（18题）

要想把这题做出来，你还真得熟练掌握微积分，光学过高考课本知识的话，恐怕仅仅是能读懂题目，却无从下手

下面就来讲解一下，本题很有训练价值，不仅适合高中生突破瓶颈19题使用，也适合大学生备战考研或者CMC使用，务必认真学习

问题与解析

对多项式 ，记 。设 ， 为首一多项式，且 。证明：存在 ，使得 。

若  为常数，由 ，可取非负整数  使 ，令  即可。

以下设  非常数，则  也非常数。设

因为  首一， 有下界，故 。对每个非负整数 ，选取非负整数 ，使 。由 ，得 。当  时，，从而

记 ，取一个整数 ，泰勒展开有

定义 。反复应用中值定理，对任意实数  都有

对 (1) 作  阶差分，得 。而  为整数，所以存在整数 ，使  对所有  成立。

取次数小于  的插值多项式 ，满足 （）。两者的  阶差分均为零，而差分等式可由连续  项递推下一项，故由这  个初值相同，得  对所有  成立。于是  在无穷多个点成立，因而 。

最后证明  的系数均为整数。取最小正整数 ，使 。若存在素数 ，将恒等式

模 ，得 。因  为素数，故 ，即  的所有系数均被  整除。于是 ，与  的最小性矛盾。因此 ，即 。

这样我们就完成了证明，是不是很精彩呢？只要一点点微积分理论就可以给出如此漂亮的答案

觉得我讲的好，想要看清题目本质，用初等方法和同济高数知识解决一切难题，或者希望在2026年的各大关键性考试中一鸣惊人，逆天改命，就来报名我们的数海考研竞赛全年班学习吧。

现在下半年课程还新增了24小时答疑机器人哟，对接全球最强AI模型，报班即可全天免费用，实时获取解答。

2026年度最新一期课程，正式开始！！！

为了给广大学生提供一个交流数学的平台，我们创立了“数海考研竞赛交流群”，进入该群（老群满员了，可以来下面这个7.0新群）无需报名任何课程也无需付费，扫码即可加入。欢迎大家来这里探讨数学问题，群内大佬云集，此外还有丰富的学习资料等你来拿！

本期课程的完整介绍（如试听课，学员反馈，竞赛班成绩与效果等等）可在CCtalk端查看

扫描二维码

关注“数海钓鱼”

获取更多精彩内容

本期内容到此结束，感谢阅读。

作者：柯西永远爱你