〇、数列里的证明题，其实就两条路
这是数列部分的第③期。
天津卷数列大题的第 (2) 问，经常是不等式证明。
很多同学看到 "证明…… 大于 / 小于" 就不知道从何下手，其实主力方法只有两个：
放缩法：把通项放大或缩小，凑成能求和、能连乘的形式； 先猜后证：先算前几项找规律、提出猜想，再用数学归纳法严格证明。
这篇把两条路都走一遍，最后用一道天津真题落地。
一、放缩法：往 "能求和、能连乘" 的方向放
放缩法的核心思路是：要证 Aₙ < B，就把每一项适度放大成一个能裂项、能望远镜的形式。
例题 1（和式放缩）
证明：Σₖ₌₁ⁿ 1/k² < 2。
解：
n = 1 时，1 < 2，成立。
n ≥ 2 时，由 k² > k (k−1)，有：
1/k² < 1/[k(k−1)] = 1/(k−1) − 1/k
于是：
Σₖ₌₁ⁿ 1/k² = 1 + Σₖ₌₂ⁿ 1/k²
< 1 + Σₖ₌₂ⁿ [1/(k−1) − 1/k]
= 1 + (1 − 1/n)
= 2 − 1/n < 2
证毕。✓
例题 2（连乘放缩）
证明：∏ₖ₌₁ⁿ (1 + 1/(2k−1)) > √(2n+1)。
解：
先把通项整理：
1 + 1/(2k−1) = 2k/(2k−1)
注意到：
(2k)² − (2k−1)(2k+1) = 4k² − (4k²−1) = 1 > 0
所以：
(2k/(2k−1))² > (2k+1)/(2k−1)
开方（均为正数）：
2k/(2k−1) > √[(2k+1)/(2k−1)]
连乘：
∏ 2k/(2k−1) > √[∏(2k+1)/(2k−1)]
根号内望远镜化简：
(3/1)(5/3)(7/5)…((2n+1)/(2n−1)) = 2n+1
所以：
∏ 2k/(2k−1) > √(2n+1)
证毕。✓
二、先猜后证：数学归纳法
当递推关系直接求通项比较困难时，先算前几项找规律、提猜想，再用数学归纳法证明。
例题 3
已知 a₁ = 1，aₙ₊₁ = 2aₙ + 1，求 aₙ。
解：
第一步：算特例，提猜想。
a₁ = 1，a₂ = 3，a₃ = 7，a₄ = 15
观察规律，猜想：
aₙ = 2ⁿ − 1
第二步：用数学归纳法证明。
① 奠基：当 n = 1 时，a₁ = 2¹ − 1 = 1，成立。
② 递推：假设 n = k 时结论成立，即 aₖ = 2ᵏ − 1。
则 n = k+1 时：
aₖ₊₁ = 2aₖ + 1 = 2(2ᵏ−1) + 1 = 2ᵏ⁺¹ − 1
结论也成立。
由①②，对一切 n ∈ N*，都有：
aₙ = 2ⁿ − 1证毕。✓
三、天津真题实战：用区间端点夹逼（2023 第 19 题）
【题目】
已知等差数列 {aₙ} 中 aₙ = 2n+1，等比数列 {bₙ}。
对任意 k ∈ N*，若 2ᵏ⁻¹ ≤ n ≤ 2ᵏ−1，则：
bₖ < aₙ < bₖ₊₁
当 k ≥ 2 时，求证：2ᵏ − 1 < bₖ < 2ᵏ + 1。
【解答】
先看这个区间内 aₙ 的取值范围。
aₙ 的最小值（在 n = 2ᵏ⁻¹ 处）：
a₂ᵏ⁻¹ = 2·2ᵏ⁻¹ + 1 = 2ᵏ + 1
aₙ 的最大值（在 n = 2ᵏ−1 处）：
a₂ᵏ₋₁ = 2(2ᵏ−1) + 1 = 2ᵏ⁺¹ − 1
由 bₖ < aₙ 对区间内所有n 成立，bₖ 必须小于 aₙ 的最小值：
bₖ < 2ᵏ + 1
由 aₙ < bₖ₊₁ 对所有 n 成立，bₖ₊₁ 必须大于 aₙ 的最大值：
bₖ₊₁ > 2ᵏ⁺¹ − 1
把索引换成 k，即：
bₖ > 2ᵏ − 1
合起来：
2ᵏ − 1 < bₖ < 2ᵏ + 1证毕。✓
【方法小结】
表格
三个易错点：
放缩从第几项开始要写清楚（如 n ≥ 2），放得太松会证不出； 数学归纳法的递推步必须用上归纳假设，不能直接把结论当已知； 连乘、累加注意首项和下标，别多算或少算一项。
【配套练习】
证明：Σₖ₌₁ⁿ 1/[k (k+1)] < 1。 已知 a₁=2，aₙ₊₁=3aₙ−2，先猜想再证明 aₙ。
解：
1/[k (k+1)] = 1/k − 1/(k+1)，求和 = 1 − 1/(n+1) < 1。✓ 前几项为 2、4、10、28，猜想 aₙ = 3ⁿ⁻¹ + 1；
归纳递推：aₖ₊₁ = 3 (3ᵏ⁻¹+1) − 2 = 3ᵏ + 1，成立。故aₙ = 3ⁿ⁻¹ + 1。✓
关于这个合集
「天津高考真题拆解」数列部分：
基本量与通项（已完成） 求和三板斧（已完成） 数列不等式（本篇） 新定义与集合计数（待做）
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下期预告
最后一期讲数列里最灵活的新定义与集合计数，看看命题人怎么把 "集合、计数" 包装成数列题。
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作者 | 耀华学长
深耕天津高中数学培优 | 强基计划升学规划
天津本土视角，只讲能落地的干货
