1.【来源】2022年全国新高考II卷数学第21题
已知双曲线 的右焦点为 ，渐近线方程为 。
(1) 求 的方程；
(2) 过 的直线与 的两条渐近线分别交于 两点，点 在 上，且 。过 且斜率为 的直线与过 且斜率为 的直线交于点 。从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立：
① 在 上；② ；③ 。
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分。
解析
(1) 求双曲线方程
右焦点为 ，故
渐近线方程为 ，故
又 ，所以
因此双曲线方程为
(2) 证明三个条件的等价关系
由(1)知渐近线方程为 ，即
先求点 的性质
设直线 的方程为
代入双曲线方程 ：
因为 ，所以
从而 。
设 ，由题意
两式相减：
又 ，故
两式相加：
而 ，代入可得
即点 恒在直线
上。
情形一：选①②推出③
由②，，故直线 的斜率为 ，方程为
与渐近线 联立：
与 联立：
于是 中点 为
由①， 在 上，又 在 上，联立
解得
所以 为 中点，故
即③成立。✅
情形二：选①③推出②
设直线 的方程为 。同理可得 中点
由③，，故 在线段 的垂直平分线上。但由①，，所以 必为 的中点，即
又 在 上，故
所以 ，即②成立。✅
情形三：选②③推出①
设直线 的方程为 。由②③，，且 ，故 在 的垂直平分线上。
中点为
垂直平分线方程为
与 联立：
解得
即 。故 在直线 上，①成立。
二、名校模拟 刚刚结束的重庆巴蜀高2027届高三10月月考的命题 就有该题的影子，将弦中点与一系列点列相结合，将综合难度进一步拔高。
2.【来源】重庆巴蜀高2027届高三十月月考第19题
已知平面上的动点 到直线 和 的距离之积为定值 ，且 。
(1) 求动点 的轨迹 的方程；
(2)（ 在 的左边）为 上的相异的两点，且 为线段 的中点。过 分别作 的平行线 交于点 ；过 作直线 的平行线，交 于 （ 在 的左边）；再过 分别作 的平行线 交于点 ；；一直如此操作下去可得到一点列 。
(ⅰ) 证明： 平分线段 ；
(ⅱ) 试探究 是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由。
解析
(1) 求轨迹方程
点 到直线 的距离为
到 的距离为
由题意
即
又 ，故 ，所以
即
(2)(ⅰ) 证明 平分
设 。
因为 在 上，所以
两式相减：
即
所以
对于 ，其中点为 ，故
代入 (1)：
因此直线 的斜率均为 ，设其方程为
联立
得
所以
即
直线 ，故其方程可写为
又 ，所以
直线 ，故
又 ，得
联立两直线方程：
解得
代入 ：
所以 在直线 上。
设 的中点为 。由 (1) 得
而 ，故
即 ，所以 也在直线 上。
又 与 都在直线 （斜率为 ）上，且在直线 上，故二者重合。
因此 平分线段 。
(2)(ⅱ) 求定值
设 。由 (ⅰ)， 是 的中点，所以直线 为
且
由前面结论 ，得
即直线 为
由 (ⅰ) 中 的坐标：
于是
而直线 方程为 ，斜率为 ，故
因此
故该比值为定值 。
定理1：
设直线 （， 不与渐近线平行）与双曲线
交于 ，与两条渐近线
交于 。证明： 的中点与 的中点重合。
证明：
第一步：求弦 的中点
将 代入双曲线方程：
整理：
记
由韦达定理，两交点横坐标之和为
所以 的中点 的横坐标为
纵坐标为
而
所以
于是
因此
第二步：求直线与渐近线的交点 的中点
渐近线合并方程为
将 代入：
整理：
即
设两交点横坐标为 ，由韦达定理：
所以 的中点横坐标为
中点纵坐标：
因此
✅ 故弦 的中点与弦所在直线和两条渐近线交点 的中点重合。
