3类题型其实考了同一个原理

初一上学到整式的加减这一章，很多同学会遇到这样3种题型：

• 一个整式不含某一项，求参数。
• 一个整式的值与某个字母的取值无关，求参数。
• 一个整式的值恒等于某个定值，求参数。

这三类题的文字表述不同，有些同学甚至会把它们当成三种完全不同的题型，分别记忆解题方法。

但如果把它们放在一起研究，就会发现：

这三类题的解题原理其实是相通的，都是根据题目给出的条件，确定整式中相关项的系数应该满足什么要求。

难点往往不在计算，而在于能否准确理解题目条件，并将它转化成数学关系。

今天，我们就用同一个整式，把这三类问题讲清楚。

一、第一类：不含某一项，到底是什么意思？

已知整式：

若这个整式不含二次项，求参数 。

首先要理解什么叫“不含二次项”。

虽然原式中出现了 ，但如果它的系数为0，那么这一项就相当于不存在。

因此，只需要满足：

解得：

注意，这道题并没有要求一次项消失，也没有要求常数项发生变化。

所以，我们只需要让二次项的系数为0即可。

这类题的核心规则是：不含哪一项，就让化简后哪一项的系数等于0。

不过，这里有一个容易忽略的细节。

如果题目给出的整式还没有化简，就不能直接拿其中某一项的系数来列方程。

必须先去括号、合并同类项，找到这一项最终的系数。

二、第二类：与x的取值无关，究竟是什么意思？

继续使用刚才的整式：

现在改变题目条件：

若这个整式的值与x的取值无关，求a、b。

这类题经常让学生感到困惑。

什么叫“与x的取值无关”？

我们先从简单的式子想起。

例如：

当  时，式子的值为5。

当  时，式子的值为7。

可以发现，随着x的取值变化，式子的值也发生了变化。

但是，如果一个式子经过化简只剩下：

那么无论x取什么值，结果始终都是5。

这就叫式子的值与x的取值无关。

回到原题。

如果要让整式的值与x的取值无关，那么所有含x的项都必须消失。

因此：

二次项系数为0：

一次项系数也为0：

解得：

此时，原式化简为：

对于确定的参数c，无论x取什么值，整式的值都不会改变。

再来比较一下这两道题：

第一类只要求二次项消失。

第二类则要求所有含x的项都消失。

所以，第二类其实就是第一类解题思路的进一步延伸。

从让某一项的系数为0，变成让所有含指定字母的项的系数都为0。

三、第三类：整式恒为一个定值，怎么求参数？

还是刚才的整式：

现在题目变成：

若无论x取何值，原式的值恒等于8，求a、b、c。

这道题与前一道题的联系就更加明显了。

既然无论x怎么变化，结果始终为8，那么首先要保证整式的值与x的取值无关。

所以：

解得：

但这一次还没有结束。

因为题目进一步告诉我们，整式的值不仅是一个定值，而且必须等于8。

因此，剩下的常数项还需要满足：

解得：

所以：

将结果代回原式，得到8。

无论x取什么值，结果始终都是8。

这里一定要注意：

“整式的值是一个定值”和“整式的值恒等于8”，并不完全相同。

前者没有规定具体数值，只要求结果不随x的取值变化。

后者不仅要求结果不变，还明确规定了结果是多少。

所以，第三类题比第二类题多了一个对常数项的限制条件。

四、三类题放在一起，其实只有一套解题逻辑

我们再看一次最初的整式：

把三类题的条件放在一起比较：

不难发现，这三个条件实际上是逐步加强的。

第一类：让指定的一项消失。

第二类：让所有含x的项都消失。

第三类：在所有含x的项消失的基础上，进一步规定剩余常数项的值。

所以，三类题没有必要分别死记三套解题方法。

只要理解了系数为0与相应项消失之间的关系，解题思路就能够统一起来。

五、学生为什么明明会算，却总在这类题上丢分？

从平时教学中遇到的情况来看，主要有三个原因。

第一，没有真正理解系数为0意味着什么。

例如：

当  时，二次项消失。

当  时，所有含x的项都消失，整式只剩下3。

这是理解这类问题的基础。

第二，没有区分“某一项”和“所有含某个字母的项”。

“不含一次项”，只要求一次项系数为0。

但“与x的取值无关”，要求所有含x的项的系数都为0。

两者不能混为一谈。

第三，没有区分“结果是定值”和“结果等于指定的数”。

如果只要求是定值，那么让所有含x的项消失即可。

如果还规定了具体的数值，就必须进一步考虑剩余常数项应该等于多少。

有些同学做到整式与x的取值无关，就停止了，却忘记题目还有一个数值条件。

六、这类题，建议按照三个步骤解决

第一步：先化简整理。

去括号、合并同类项，明确每一项的系数。

第二步：根据题目条件，让相关项的系数为0。

不含哪一项，就让对应项的系数为0。

与哪个字母的取值无关，就让所有含这个字母的项的系数为0。

第三步：检查是否还有具体数值要求。

如果题目规定整式恒等于某个数，还需要让剩余的常数项等于这个数。

按照这套思路，题目的文字条件无论怎样变化，解题方法基本是一致的。

七、最后留一道题，检验孩子是否真的理解了

已知整式：

请分别完成下面三个问题：

（1）若原式不含二次项，求m的值。

（2）若原式的值与x的取值无关，求m、n的值。

（3）若无论x取何值，原式的值恒等于k，求m、n、k的值。

不要急着代公式。

先把整式化简，再想一想：

三个问题分别要求哪些项消失？最后留下来的又是什么？

如果能够把这三个问题的联系说清楚，说明孩子已经真正理解了这一类含参整式求参问题。

最后

初一数学学习中，有很多题目虽然表述不同，但背后考查的是同一个数学原理。

“不含某一项”“与字母的取值无关”“恒等于某个定值”，就是很典型的例子。

我们不应该把它们看成三种彼此孤立的题型，而应该通过比较，发现它们在解题方法上的联系。

求参的关键，不是记住多少种题型，而是读懂题目条件对各项系数提出了什么要求。

这才是这一类问题真正值得学生理解和掌握的地方。

老学长数学研习社

老学长专注北京初中数学教学12年，长期研究初中数学学习规律与解题思维。

不只讲“这道题怎么做”，更关注孩子为什么不会、卡在哪里、怎样真正学会。