答疑学员提问的四川大学考研题.

题目

设是互不相同的整数. 证明:

在有理数上不可约或者是某一有理数多项式的平方.

证明

若在上可约. 由于是首一多项式, 所以存在首一多项式使得

对于任何, 由于

我们有. 于是

注意到

即

即在有理数上不可约或者是某一有理数多项式的平方.

上面已经完整证明了川大这个考研题, 但我们想讨论更多的.

注意到为偶数且不妨设是中最小的. 设

我们又容易从有个互异整数根看到有个互异整数根, 于是结合首一可得

即.

若, 观察上面不等式得

若, 同样观察上面不等式得如果把按严格递增排列, 有以及

于是

现在就有

至此我们完成了讨论.

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