昨晚他把这学期的卷子全摊在桌上，一张一张翻，翻到一半抬头问我一句："爸，三角形到底考什么？我感觉每次考的都不一样。"
我把那摞卷子接过来重新排了一遍，其实只有三叠。
这个学期的三角形内容看着散：内角和、外角、角平分线、高线、中线、全等判定、等腰三角形、轴对称……目录能列一页。但落到卷子上，题目翻来覆去只问三件事——这个角是多少度、这两条边为什么相等、这两个三角形凭什么全等。剩下的全是为这三件事服务的工具。
所以与其按章节复习，不如按这三条主线过一遍。每条主线记住一句话、认准一个图形标志，考场上看见就知道往哪走。
一、三条主线长什么样
三条主线不是并列的三块知识，而是三层：
第一层：算角。 给几个角求另一个角。这是最基础的活儿，几乎每道综合题的第一问都是它。 第二层：造等腰。 题目没说等腰，但你要自己看出等腰——通常是从"角平分线 + 平行线"或"角平分线 + 垂线"里长出来的。 第三层：找全等。 光有角还不够，要把角翻译成边。这时候需要的是模型，最常用的就是"一线三等角"。
三层不是分开考的，是一道压轴题里依次走完的三步。前面一步卡住，后面全断。
二、主线一：算角
算角的所有方法，追到底只有两个根：三角形内角和，以及它的推论外角等于两个不相邻内角的和。
这两个根长出的东西，这个学期用得最多的有四类：
第一类，角平分线的半角。 一条角平分线把顶角劈成两半，三角形的两条角平分线相交，夹角就是 加顶角的一半；两条外角平分线相交，是 减顶角的一半；一内一外相交，就只剩顶角的一半。
第二类，高线与角平分线的夹角。 从同一个顶点出发画高线和角平分线，这两条线的夹角只等于两个底角差的一半，跟顶角一点关系都没有。
第三类，角度三模型。 8 字型是两组角分别相加相等；燕尾是一个角等于另外三个角相加；A 字是两个角相加等于 加顶角。
这三类看着是三个口诀，其实是同一条定理：8 字靠对顶角，燕尾和 A 字都是四边形内角和 ——一个套凹的，一个套凸的。
第四类，折叠与轴对称。 折叠前后两个图形全等，对应角相等、对应边相等。
结论
算角不要背公式，先找"这个角在哪个三角形（或四边形）里"。找到封闭图形，内角和就是你的方程；找不到，就先造一个。
真题验证过三条（都是已经核到整卷的）：
25—26 学年浙江宁波鄞州实验中学八上期中第 18 题：、，求高线与角平分线的夹角，答案是 。
24—25 学年广西玉林北流市八上期中第 23 题：、，同一类题，答案是 。
25—26 学年四川梓潼中学八上期中第 13 题：燕尾形，已知 、、，求第四个角，答案是 。
三、主线二：造等腰
第二类题的标志很明确：题目从头到尾没说过等腰，但要证两条边相等。
这时候别去硬凑全等，先看有没有角平分线。有角平分线，就找它旁边有没有平行线或者垂线——这两样东西碰到角平分线，等腰就自己长出来了。
道理只有一句：角平分线先劈出一个半角，平行线（或垂线）把这个半角"搬"到另一个位置，搬过去之后，同一个三角形里就有了两个相等的角，等角对等边。
三种最常见的组合：
角平分线 + 平行线。 一条外角平分线，配一条平行于底边的线，截出来的三角形就是等腰的。25—26 学年吉林市昌邑区八上期中第 15 题考的正是这个，而且分了两问，把内角和外角两种位置都考到了。
角平分线 + 垂线。 把角平分线延长，再作一条垂线，同样出等腰。昌邑那道题的第 (2) 问就是这种。
两条角平分线 + 平行截线。 两条内角平分线相交，过交点作底边的平行线，这条平行线截出的小三角形周长等于两条腰的和。25—26 学年江苏江阴新桥中学八上 11 月期中第 6 题： 中，、、， 且过两条角平分线的交点，求 的周长——直接 ，那个 从头到尾用不上。
25—26 学年北京市第八中学八上期中第 8 题则是把角平分线和平行线藏进一堆线里：、， 平分 ，，求 ——答案是 。
注意
看到"求证两线段相等"但题面没有等腰条件，先在图上找角平分线。找到了，再看它旁边有没有平行或垂直；两样都找不到，才考虑走全等。
四、主线三：找全等
第三类题的标志是：角都算出来了，但题目要求的是边。
这时候要找一个模型，把角翻译成边。初二上最常考的是"一线三等角"——三个相等的角，它们的顶点排在同一条直线上。
它的推理只有两句话，直角换成任何角都不改：
三个角在一条直线上被平角捆住：。
旁边那个三角形用内角和：。
同一个 当桥，两式一减：。
角的翻译完成了。这时候只要再找到一组对应边相等，全等就成立，边也就过来了。
25—26 学年广东东莞八上期中第 23 题把这条线走得很完整：模型呈现给结论，问题1 用它算线段（、，得 ），问题2 用它求坐标（在坐标系里定等腰直角的第三个顶点 ），问题3 把直角换成 回到一般式。14 分，一张图，四个问题。
结论
一线三等角认图只看两条：一条直线上排着三个相等的角（直角、、任意角都行），加上一组对应边相等。它在卷子上最常见的三件套是：证全等、求线段和差、在坐标系里定顶点。
五、考场上那 30 秒该干什么
三条主线背下来不难，难的是拿到题的瞬间知道该用哪条。
我给孩子的是一个固定动作，做三件事，不超过半分钟：
先看问题。 求角度，走主线一；证两边相等而题面没给等腰，走主线二；已经有角、要求边，走主线三。
再找封闭图形。 求角就找这个角所在的三角形或四边形；找不到，就看加一条辅助线能不能造出来。这决定了你用 还是 。
最后定判别式。 该有几个角？8 字是两边各两个不带常数，燕尾是一个等于三个，A 字是带 的那个。定完再动笔，比写完发现套错对象省事得多。
这个顺序看起来慢，实际上它把"试错"前置了。孩子以前丢分，九成不是算错，是方向错了——每一步都在用定理，答案却差出十万八千里。
六、最后三天怎么排
不用刷新题，把已有的错题按三条主线重排一遍，效果比多做两套卷子好。
第一天：主线一。 把所有求角的题抄一遍式子，只写式子不写过程，看能不能一眼看出用的是内角和还是外角。
第二天：主线二。 把"证两边相等"的题单独挑出来，每题只标一件事：等腰是怎么来的（角平分线 + 平行，还是角平分线 + 垂直）。
第三天：主线三。 把全等证明的题过一遍，每题标两件事：用的一线三等角还是普通判定，那组对应边是哪两条。
三天下来，卷子上的题型地图就清楚了。考场上看见题，先归到三条主线里的一条，再走对应的动作，比临时想快得多。
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这篇建议收藏。考前一天拿出来看一遍，比刷两套卷子管用。
我是 hdjw 爸爸，一个陪娃刷题、也陪大家一起琢磨的爸爸。每道题的答案都经过严格验算，可以放心给孩子看。觉得有用就点个赞，让更多陪读家长看到。
下期做期中考后的卷面分析：卷子发下来先别看分数，把丢分分成三类——不会的、会但算错的、看错题意的，这三类对应的补救办法完全不一样。
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