七年级的动点，点都待在数轴上，孩子靠“起点加路程”还能算下去。到了初二，点开始跑到三角形的边、正方形的边、坐标系的直线和图像上，题目也从“求某个值”变成“是否存在某个位置”。孩子对着图看半天，不知道从哪一步下手。
不是因为初二的知识变难了。全等、轴对称、一次函数，单独拿出来孩子都学过。动点题考的是把这几样串起来，而串的起点，通常就是一张他觉得“画不画都一样”的图。
第一块战场：全等三角形里的动点
这类题的标志很明显：图里有两个点分别在不同的边上动，题目问“什么时候两个三角形全等”这个。步骤也是固定的——先把其中一个三角形的字母顺序固定下来，再把另一个三角形按对应关系写成全等；然后让对应的边相等，列出方程；最后解出来，回头看看时间是不是还在允许范围内。
正方形 ABCD 的边长是 10 厘米，点 E 在 AB 边上，BE 等于 6 厘米。点 P 从 B 出发，沿 BC 边以每秒 4 厘米的速度向 C 运动；同时点 Q 从 C 出发，沿 CD 边以每秒 a 厘米的速度向 D 运动。问：a 取什么值时，三角形 EBP 与三角形 PCQ 全等？
两个三角形都是直角三角形，一个直角在 B，一个直角在 C。先把已知的量写出来：EB 等于 6，BP 等于 4t，PC 等于 10 减 4t，CQ 等于 at。
全等的关键是两条直角边分别相等，但谁对谁有两种可能。第一种，EB 和 PC 对应：10 减 4t 等于 6，解出 t 等于 1，这时 BP 等于 4，所以 a 等于 4。第二种，EB 和 CQ 对应：at 等于 6，同时 BP 和 PC 对应，4t 等于 10 减 4t，解出 t 等于 1.25，再代回去得 a 等于 4.8。
所以 a 是 4 或者 4.8。只写一个，就等于丢了一分半。这里还要多看一眼：t 等于 1 和 t 等于 1.25 都小于 2.5，两个点都还在各自的边上，两种情况都成立。
第二块战场：轴对称和最短路径
这类题的问法通常是“在直线上找一点，使两条线段之和最短”。
点 A 的坐标是（0，4），点 B 的坐标是（4，2）。在 x 轴上找一点 P，使 PA 加 PB 最小。
做法是作 A 关于 x 轴的对称点 A′，坐标是（0，-4），再连 A′B，A′B 与 x 轴的交点就是要求的 P。算出来 P 的横坐标是三分之八，PA 加 PB 的最小值是 2 倍根号 13。
为什么不直接去算距离和？因为距离和是一个带根号的式子，求最小很麻烦；而作完对称之后，“两点之间线段最短”这句话直接把答案给了。这类题考的其实是知不知道去找那条不动的线。
常见变体是把点放进角里：角内有一个点，要在角的两边上各找一个点，让围出来的三角形周长最小。做法相同，把角内那个点分别关于两条边作对称，得到两个对称点，把它们连起来，连线与两条边的交点就是答案。
第三块战场：动点和一次函数图象
还有一类是“动点沿着边一直跑，某个量随着时间变”，题目给出这个量关于时间的图象，让判断或者求解析式。
关键动作是找分段点。动点每经过一个顶点，图像的形状就会变一次——面积可能先匀速变大，然后保持不变，然后再变大。看图的时候先盯住那些转折点，它们对应的是动点刚好到达某个顶点的时刻。把每一段的起点和终点找出来，解析式基本就写完了。
三个最常见的错法
第一，只算已经画出来的那一种情形。动点题的答案经常不止一个，图只画了一种，就只解出一种。
第二，用速度乘时间表示位置时忘了起点。动点的位置是“出发点的坐标加上它走过的距离”，落下起点，整道题的式子全错。
第三，最短路径题不去作对称，硬着头皮把两点距离加起来求最小值。这条路算得出来，但费时还容易错；做一次对称，问题就变成两个定点之间连一条线。
在家怎么陪
第一，动点题让孩子一张图一个位置地画，别在一张图上反复涂改。
第二，每次算完让他回答一句“还有没有别的情况”。这个习惯养成了，漏解能少一大半。
第三，最短的题先问他一句，图里哪条线是定下来动不了的。答得出来，对称的方向也就有了。
最后
初二这一年，动点题会反复出现，从三角形考到四边形，从全等考到最短路径。它不会因为刷得多就自动变简单，但如果孩子能固定住三个动作——画图、写式、列全情况——大部分题的入口就找到了。
数路生花 · 让数学成为思维的体操
