初三期中备考:从婆罗摩笈多定理到对角线互相垂直的圆内接四边形

初三数学 · 圆的专题复习

初三期中复习，圆这一章里，有一类图形值得集中梳理：圆内接四边形的两条对角线互相垂直。

将圆、垂直、中点放在同一张图中，弧、边长、面积之间便会出现一组相互关联的结论，结论很多，10几条，我从婆罗摩笈多定理出发，整理了常考及可考的性质给同学们。

01　婆罗摩笈多定理

四边形 ABCD 内接于圆，对角线 AC 与 BD 垂直相交于点 P。过点 P 的直线分别与边 AB、CD 相交于点 H、M。

若 PH ⊥ AB，则 CM＝MD。反过来，若 CM＝MD，则 PH ⊥ AB。

婆罗摩笈多定理示意图

也就是说，在这一图形中，从对角线交点向一边作垂线，这条直线经过对边的中点。

顺便说说婆罗摩笈多（Brahmagupta，约598—670），他是印度杰出的数学家和天文学家，生活的年代大致对应中国的隋朝和初唐。

说起来，那时候中国的数学也很有看头：王孝通在《缉古算经》中研究三次方程，刘焯在《皇极历》中发展二次插值算法，李淳风等人则整理、注释《算经十书》，推动数学知识的传承与教育。

公元628年，婆罗摩笈多完成了《婆罗摩修正体系》（Brāhmasphuṭasiddhānta）。这部著作以天文学为主，也包含算术、代数和几何等内容。

在几何方面，他研究了三角形边长、面积与外接圆半径之间的关系，以及如何构造这些量都是有理数的三角形；还研究了圆内接四边形的面积、对角线等问题。其中一项著名成果，就是婆罗摩笈多公式——利用四条边的长度求圆内接四边形的面积，可以看作海伦公式在圆内接四边形上的推广。

02　 8 条结论

如图，四边形 ABCD 内接于 ⊙O，AC ⊥ BD，交点为 P。设 ⊙O 的半径为 R，OP＝d；AB、BC、CD、DA 的中点依次为 F、K、M、N。

图①、图②：弧与边的关系

图③、图④：中点四边形及相关结构

① 两组相对弧的度数和

按图①中的小写字母区分弧，有：

弧 AmD 的度数＋弧 BnC 的度数＝180°弧 ApB 的度数＋弧 DkC 的度数＝180°

② 中点与圆心的关系

ON＝½BC

四边形 FNMK 是矩形，四边形 FOMP 是平行四边形。

③ 四边形的面积

S_ABCD＝½（AD·BC＋AB·CD）

④ 对边平方和

AB²＋CD²＝AD²＋BC²＝4R²

⑤ 交点到四个顶点的距离平方和

PA²＋PB²＋PC²＋PD²＝4R²

⑥ 对边中点之间的距离

FM²＝NK²＝2R²−d²

⑦ 两条对角线的平方和

AC²＋BD²＝4(2R²−d²)

⑧ 四个直角三角形的内、外接圆

对 △APB、△BPC、△CPD、△DPA，记它们的内切圆半径依次为 r₁、r₂、r₃、r₄，外接圆半径依次为 R₁、R₂、R₃、R₄，则：

r₁＋r₂＋r₃＋r₄＋R₁＋R₂＋R₃＋R₄＝AC＋BD

03　练一练

1.（联合体期中）为了解决一些较为复杂的数学问题，我们常常采用从特殊到一般思想，先从特殊的情形入手，从中找到解决问题的方法。

已知四边形 ABCD 是 ⊙O 的内接四边形，对角线 AC 与 BD 相交于点 E。

【特殊情形】（1）如图①，AC ⊥ BD，过圆心 O 作 OF ⊥ AD，垂足为 F。当 BD 是 ⊙O 的直径时，求证：OF＝½BC。

题 1 · 图①

【一般情形】（2）如图②，AC ⊥ BD，过圆心 O 作 OF ⊥ AD，垂足为 F。当 BD 不是 ⊙O 的直径时，求证：OF＝½BC。

题 1 · 图②

【经验迁移】（3）如图③，∠AED＝60°，AD＝12，F 为弧 AB 上的一点，AF＝BC。若 M 为 DF 的中点，连接 AM，则 AM 长的最小值为 ______。

题 1 · 图③

2.(鼓楼区一模)在解决数学问题时，我们常常从特殊入手，猜想结论，并尝试发现解决问题的策略与方法。

【问题提出】求证：如果一个定圆的内接四边形的对角线互相垂直，那么这个四边形的对边的平方和是一个定值。

【从特殊入手】我们不妨设定圆 O 的半径是 R，四边形 ABCD 是 ⊙O 的内接四边形，AC ⊥ BD。请你在图①中补全特殊位置时的图形，并借助所画图形探究问题的结论。

【问题解决】已知：如图②，定圆 O 的半径是 R，四边形 ABCD 是 ⊙O 的内接四边形，AC ⊥ BD。求证：________________。请补全结论，并写出证明。

题 2 · 图①、图②

3.（玄武区期中）已知 AB、CD 是 ⊙O 的两条弦，且 AB ⊥ CD。

（1）如图①，AE 是 ⊙O 的直径。求证：弧 CE＝弧 BD。

题 3 · 图①

（2）如图②，连接 BC。请用无刻度的直尺作出 ⊙O 的一条弦 AE，使 AE＝BC。（保留作图痕迹，不写作法。）

题 3 · 图②

（3）如图③，四边形 ABCD 是 ⊙O 的内接四边形，AC ⊥ BD。若 ⊙O 的半径为 6，AB＋CD＝16，且 AB＞CD，则 AB 的长度为 ______。

题 3 · 图③

这里我没有贴出结论证明和解题过程，留给同学们自己探索吧，基本上，将结论自己推导出来，后面的考题很快可秒；需要的同学可后台留言私我下。