初三基础篇 | 二次函数 y=a(x−h)²+k：平移·顶点·对称轴·增减最值（12题精练）

初中数学 · 九上第26章 二次函数 · 基础篇

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📌 本讲导读
上一讲我们认识了"母版" y=ax²（顶点在原点、对称轴是 y 轴），这一讲让它动起来——三步升级：①y=ax²+k（上下平移，顶点挪到 y 轴上）；②y=a(x−h)²（左右平移，顶点挪到 x 轴上）；③y=a(x−h)²+k（两个方向一起挪，顶点落任意位置）。这一讲说透五件事：三种解析式各自的顶点与对称轴、平移法则"左加右减、上加下减"、增减性以对称轴为界一刀切、最值看顶点、由性质反求参数。⚠️ 本讲最贵的两分：y=a(x−h)² 的对称轴是 x=h 不是 x=−h——括号里是"减 h"，图却往"右"移，左加右减要倒过来读。

一、知识清单

1. y=ax²+k：上下平移
来路：把 y=ax² 的图象向上（k＞0）或向下（k＜0）平移 |k| 个单位得到。
性质：开口方向、开口大小与 y=ax² 完全相同（a 不变）；对称轴仍是 y 轴（直线 x=0）；顶点从 (0,0) 变为 (0, k)。
增减与最值（a＞0 时）：x＜0 递减、x＞0 递增；当 x=0 时 y 有最小值 k。a＜0 时恰好反过来，最大值 k。

2. y=a(x−h)²：左右平移
来路：把 y=ax² 的图象向右（h＞0）或向左（h＜0）平移 |h| 个单位得到。
性质：对称轴是直线 x=h；顶点 (h, 0)，恰好落在 x 轴上。
增减（a＞0 时）：x＜h 递减、x＞h 递增。
⚠️ 易错：y=(x−3)² 是向右移 3（括号里"减 3"→ 右移）；y=(x+3)² 是向左移 3。"左加右减"说的是括号内的运算，不是移动方向。

3. y=a(x−h)²+k：顶点式全家福
来路：由 y=a(x−h)² 再上下平移 |k|，或由 y=ax² 先左右再上下"两步走"。
核心性质（无论 a 正负）：对称轴 x=h；顶点 (h, k)。
三看读式法：一看 a 定开口（a＞0 向上、a＜0 向下，|a| 越大开口越窄）；二看 h 定左右（顶点横坐标）；三看 k 定上下（顶点纵坐标）。
增减与最值：a＞0 时，x＜h 递减、x＞h 递增，x=h 取最小值 k；a＜0 时，x＜h 递增、x＞h 递减，x=h 取最大值 k。

4. 平移法则：左加右减、上加下减
左右平移动括号里的 x：向右移 m 个单位，x 变成 (x−m)；向左移 m 个单位，x 变成 (x+m)。
上下平移动整体：向上移 m 个单位，末尾 +m；向下移 m 个单位，末尾 −m。
平移三不变：a 不变（形状不变）、开口方向不变、开口大小不变；变的是顶点和对称轴。

5. 由性质反求参数：正着读、反着用
题目不说解析式，改说性质让你"倒推"：
① 说"对称轴是 x=3" → 括号里就是 (x−3)；
② 说"顶点是 (2, −5)" → 直接写 y=a(x−2)²−5，再拿一个点定 a；
③ 说"x＜m 时递减、x＞m 时递增"（a＞0）→ 对称轴就是 x=m；
④ 与 y 轴交点 → 令 x=0 代入；图象过某点 → 把坐标代入解方程。

🔑 记忆卡：顶点式一句话——"一看 a 定开口，二看 h 定左右，三看 k 定上下"。平移口诀"左加右减（括号内），上加下减（末尾处）"。增减性一句话："对称轴一刀切，a 正左减右增，顶点处见最值"。

二、题型精讲

题型一读式报性质：五件套一次报齐
说出二次函数 y=2(x−1)²−3 的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性与最值。
💡 思路：a=2＞0 ⇒ 开口向上；h=1 ⇒ 对称轴 x=1，顶点 (1,−3)；a＞0 ⇒ x＜1 递减、x＞1 递增；顶点在下方 ⇒ 当 x=1 时有最小值 −3。"三看读式法"扫一眼全出来，不需要画图。

题型二由顶点反求参数
已知抛物线 y=(x+m)²+n 的顶点坐标为 (3,−2)，求 m、n。
💡 思路：y=(x+m)²+n 中 h=−m（注意符号：x+m = x−(−m)）⇒ −m=3 ⇒ m=−3；k=n=−2。看到"+m"先改写成"−(−m)"再对顶点，符号错一个全盘皆输。

题型三平移：正着移、反着说
把抛物线 y=x² 先向右平移 2 个单位，再向上平移 3 个单位，求所得抛物线的解析式。
💡 思路：右移 2 ⇒ x 变 (x−2)；上移 3 ⇒ 末尾 +3 ⇒ y=(x−2)²+3。反过来，从 y=(x−2)²+3 读平移：括号"减 2"说明向右移了 2，末尾"+3"说明向上移了 3。平移只动 h、k，a 永远抄下来不动。

题型四比较函数值大小：离轴远近代入算
点 A(−1, y₁)、B(2, y₂)、C(4, y₃) 在抛物线 y=−(x+1)²+2 上，比较 y₁、y₂、y₃ 的大小。
💡 思路：对称轴 x=−1，a=−1＜0 开口向下 ⇒ 离对称轴越近函数值越大。A(−1) 就在对称轴上 ⇒ y₁ 是顶点值 2，最大；B、C 到对称轴的距离分别是 3 和 5 ⇒ y₂＞y₃。结论：y₁＞y₂＞y₃。也可以硬代：y₂=−9+2=−7，y₃=−25+2=−23，结果一致。

题型五区间最值：先看顶点在不在区间里
求二次函数 y=(x−2)²−3 在 0≤x≤5 上的最大值与最小值。
💡 思路：对称轴 x=2 在区间内 ⇒ 最小值在顶点处：−3；最大值在离对称轴较远的端点：x=5 距离 3，x=0 距离 2 ⇒ x=5 处取最大，y=(3)²−3=6。"最小看顶点在不在，最大看哪个端点离得远。"

三、考点速查表

四、巩固 12 题

1. 关于抛物线 y=(x−2)²+3，下列说法错误的是（　）
   A．开口向上　B．对称轴是直线 x=2　C．顶点坐标为 (2,3)　D．当 x＜2 时，y 随 x 的增大而增大
2. 抛物线 y=−2(x+1)²−3 的顶点坐标是 ______。
3. 把抛物线 y=x² 先向右平移 2 个单位，再向上平移 3 个单位，所得抛物线的解析式是（　）
   A．y=(x+2)²+3　B．y=(x−2)²+3　C．y=(x−2)²−3　D．y=(x+2)²−3
4. 已知抛物线 y=a(x+1)²+4 的顶点在第二象限，且图象经过点 (0,2)，则 a = ______。
5. 已知抛物线 y=(x+m)²+n 的顶点坐标为 (3,−2)，则 m = ______，n = ______。
6. 点 A(−1, y₁)、B(2, y₂)、C(4, y₃) 都在抛物线 y=−(x+1)²+2 上，则 y₁、y₂、y₃ 的大小关系是 ______（用"＞"连接）。
7. 二次函数 y=−3(x−1)²+5 中，当 y 随 x 的增大而增大时，x 的取值范围是 ______。
8. 抛物线 y=2(x+3)²−4 可以由抛物线 y=2x² 如何平移得到？（　）
   A．向左平移 3 个单位，再向下平移 4 个单位　B．向左平移 3 个单位，再向上平移 4 个单位　C．向右平移 3 个单位，再向下平移 4 个单位　D．向右平移 3 个单位，再向上平移 4 个单位
9. 已知抛物线 y=(x−h)²+2（h 为常数，h＞0）与 y 轴交点的纵坐标为 6，则 h = ______。
10. 将抛物线 y=(x−1)²+2 先向左平移 3 个单位，再向下平移 1 个单位，所得抛物线的解析式是 ______。
11. 二次函数 y=(x−2)²−3，当 0≤x≤5 时，最小值为 ______，最大值为 ______。
12. 已知抛物线 y=a(x−1)²+3 经过点 (3,−1)。① 求 a 的值；② 写出该函数的最大值。

五、逐题解析

1. D
   。a=1＞0 开口向上 ⇒ x＜2 时（对称轴左侧）y 随 x 增大而减小，D 说反了。A、B、C 用"三看读式法"直接读出，全对。
2. (−1, −3)
   。x+1 = x−(−1) ⇒ h=−1；k=−3。别把顶点写成 (1,−3)——括号里的符号要反着读。
3. B
   。右移 2 ⇒ (x−2)；上移 3 ⇒ +3 ⇒ y=(x−2)²+3。
4. −2
   。顶点 (−1,4)：横 −1＜0、纵 4＞0，确实在第二象限；代点 (0,2)：a(0+1)²+4=2 ⇒ a=−2。
5. m=−3，n=−2
   。y=(x+m)²+n 的顶点是 (−m, n) ⇒ −m=3 ⇒ m=−3；n=−2。
6. y₁＞y₂＞y₃
   。对称轴 x=−1，开口向下离轴越近值越大：A 在轴上（y₁=2 最大）；B 距轴 3、C 距轴 5 ⇒ y₂=−7＞y₃=−23。
7. x＜1
   。a=−3＜0 开口向下 ⇒ 对称轴 x=1 的左侧递增。
8. A
   。括号 x+3 ⇒ 左移 3；末尾 −4 ⇒ 下移 4。
9. 2
   。x=0 代入：h²+2=6 ⇒ h²=4 ⇒ h=±2，h＞0 ⇒ h=2。
10. y=(x+2)²+1
    。左移 3 ⇒ (x−1+3)=(x+2)；下移 1 ⇒ 2−1=1。
11. −3；6
    。对称轴 x=2 在 [0,5] 内 ⇒ 最小值=顶点值 −3；端点 x=5 离轴 3 ＞ x=0 离轴 2 ⇒ 最大值 y(5)=9−3=6。
12. a=−1；最大值 3
    。代点：a(3−1)²+3=4a+3=−1 ⇒ a=−1；a＜0 开口向下，顶点 (1,3) ⇒ 最大值 3。

🧠 方法速记卡
① 三看读式：a 定开口，h 定左右，k 定上下；顶点 (h,k)，对称轴 x=h；
② 平移口诀：左加右减（括号内 x），上加下减（末尾整体）；平移后 a 不变；
③ 符号陷阱：y=(x+m)²+n 的顶点是 (−m, n)，先化成 (x−(−m))² 再读；
④ 比较函数值：开口向下离轴越近越大（向上相反），或在轴上直接读顶点值；
⑤ 区间最值：最小看顶点在不在区间内，最大看哪个端点离对称轴远；
⑥ 反求参数：对称轴 x=h ⇔ 括号是 (x−h)；顶点 (h,k) ⇔ y=a(x−h)²+k，再拿一点定 a。

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