第4章学完分式方程的解法，真正拉开差距的是实际应用题。期中试卷里，分式方程应用题几乎是一道10分左右的必考题，而学生最常见的问题是：工程问题不知道把总工程量看作1，行程问题顺水逆水速度搞反，最后解完又忘了检验增根。今天把工程问题和行程问题这两个母题的列方程套路讲透。
一、工程问题：把总工程量看作单位1
工程问题里，如果题目没有给具体的工作量，就把总工程量看作1。一个队单独m天完成，它每天的工作效率就是m分之一；单独n天完成，效率就是n分之一。两队合作时，效率相加，合作t天完成的工作量就是各自效率乘以t再相加，最后等于1。
这就是工程问题列方程的核心：各队完成的工作量加起来等于总工程1。常见变式是先合作几天，再由某队单独做几天，只要把每一段完成的工作量分段写出来，加总等于1即可。
二、行程问题：顺水速度是船速加水速
行程问题的基本关系是路程等于速度乘以时间。涉及流水行船时要分清三个速度：船在静水中的速度、水流速度、实际航行速度。顺水航行时，水流帮着船走，顺水速度等于船速加水速；逆水航行时，水流顶着船走，逆水速度等于船速减水速。
列方程时抓住时间相等或时间差这一等量关系。最典型的是：顺水走一段路程所用时间与逆水走另一段路程所用时间相等，于是两边各列一个路程除以速度，用等号连起来。
三、高频易错点TOP4
易错点1：忘记检验增根。分式方程解完必须把根代入最简公分母检验，使分母为零的根是增根，必须舍去。这是分式方程应用题扣分最重的地方，很多同学列对方程、解对数字，最后没检验，整道题扣掉过程分。
易错点2：工程问题忘了把总工程看作1。题目没给具体工程量，就默认总量为1，效率是单独完成天数的倒数。硬设一个工作量反而绕远。
易错点3：顺水逆水速度加减反了。顺水是船速加水速，逆水是船速减水速。记不住就想：顺水顺流而下更快，速度更大。
易错点4：列方程后不写单位、不答。应用题要写清设的未知数及单位，解完检验后要写一句答。只给一个数字在初二解答题里会被扣格式分。
四、三道典型题目精练
典型题1（基础题，两队合作完成工程）：一项工程，甲队单独做20天完成，乙队单独做30天完成。两队合作，多少天可以完成？
解析：把总工程看作1，甲每天完成二十分之一，乙每天完成三十分之一。设两队合作x天完成，列方程：二十分之x加三十分之x等于1。两边同乘60，得3x加2x等于60，5x等于60，x等于12。检验：分母不为0，符合题意。两队合作12天完成。
易错提醒：效率是天数的倒数，甲是1/20，乙是1/30，不要写成20/x。合作时间相同，所以两个分式的分子都是x，再相加等于1。
典型题2（中档题，流水行船时间相等）：一艘轮船顺水航行100千米所用的时间，与逆水航行60千米所用的时间相同。已知水流速度为2千米每小时，求轮船在静水中的速度。
解析：设轮船在静水中的速度为x千米每小时。顺水速度为(x+2)千米每小时，逆水速度为(x-2)千米每小时。顺水时间为100除以(x+2)，逆水时间为60除以(x-2)。根据时间相等列方程：100/(x+2)=60/(x-2)。两边同乘(x+2)(x-2)，得100(x-2)=60(x+2)，即100x-200=60x+120，40x=320，x=8。检验：当x=8时，(x+2)(x-2)=10×6不等于0，x=8是原方程的根。轮船在静水中速度为8千米每小时。
易错提醒：顺水速度是x+2，逆水速度是x-2，别写反。解出x=8后必须检验，因为x=±2会使分母为零；这里x=8不是增根，保留。
典型题3（技巧题，规定日期工程问题）：某工程需在规定日期内完成。若甲队单独做，恰好如期完成；若乙队单独做，要超过规定日期3天。现由甲、乙两队合作2天后，余下的工程由乙队单独做，恰好在规定日期完成。求规定日期是多少天。
解析：设规定日期为x天。甲队单独x天完成，效率为1/x；乙队单独(x+3)天完成，效率为1/(x+3)。整个过程中甲只做了2天，完成2/x；乙从始至终做了x天（合作2天加单独做(x-2)天），共完成x/(x+3)。列方程：2/x + x/(x+3) = 1。两边同乘x(x+3)，得2(x+3)+x²=x(x+3)，即2x+6+x²=x²+3x，解得x=6。检验：x=6时x(x+3)=6×9不等于0，是原方程的根。规定日期为6天。
易错提醒：这道题的关键是看出乙实际做满了规定日期x天，而不是只做(x-2)天，两种写法最终都化简成x/(x+3)。不要把乙的时间误写成(x-2)又漏算合作的那2天。最后必须检验分母不为零。
写在最后
分式方程应用题就两个母题：工程问题把总工程看作1、效率取倒数、工作量相加等于1；行程问题抓时间相等、分清顺水逆水速度。不管题目怎么包装，列方程后一定要去括号、去分母、解整式方程、检验增根、写答。期中复习时把这两类母题各练3道，基本能覆盖分式方程应用题的考法。
