初二期中要想拿高分,这4道压轴题必须吃透!
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初二期中要想拿高分,这4道压轴题必须吃透!
初二的家长，有没有发现一个现象：孩子初一数学还能考 90 多分，一到初二，成绩突然就往下掉。
不是孩子变笨了，是初二数学"变味"了——初一考的是"会不会算"，初二考的是"会不会想"。尤其期中卷最后那几道压轴题，全等三角形、等腰三角形、最短路径，孩子一看就发怵，写两行就卡住，最后一道大题往往直接空着。
其实初二期中的压轴题，翻来覆去也就 4 种类型。今天我把每种题的思路和得分要点逐道讲透，孩子照着练，期中遇到同款题就敢动笔。
初二上学期，期中范围一般就四块：三角形（基础，选择填空常考）、全等三角形（几何证明的命根子，压轴必考）、轴对称（等腰三角形＋最短路径，最容易漏解）、整式的乘法与因式分解（看着简单最容易错）。下面一道一道拆
压轴题一：全等三角形——倍长中线造全等
【经典真题】
如图，AD 是 △ABC 的中线，AB＝10，AC＝6，求 AD 的取值范围。
这道题直接看看不出怎么做，因为 AD 和 AB、AC 不在同一个三角形里，没有现成的三边关系可用。破题的关键就一句：见到中点、中线，先想"倍长中线"。
完整思路是这样的：先延长 AD 到点 E，使 DE＝AD，连接 BE。这一步辅助线是"凭空"造出来的，因为 AD 是中线，所以 BD＝CD。
在 △BDE 和 △CDA 中：BD＝CD、∠BDE＝∠CDA（对顶角相等）、DE＝DA，由 SAS 可得 △BDE≌△CDA，于是 BE＝AC＝6。这样就把 AC 这条边"搬"到了和 AB、AE 同一个三角形里。
接下来在 △ABE 中用三边关系：AB−BE＜AE＜AB＋BE，也就是 10−6＜AE＜10＋6，得 4＜AE＜16。又因为 AE＝AD＋DE＝2AD，所以：
2＜AD＜8
【孩子最容易丢分的地方】
一是看到"中线"想不到倍长，整道题空白；
二是证全等时对应关系搞错，把 BE 错对应成 AB；记住"搬过去"的是 AC，所以 BE＝AC＝6；
三是最后忘了 AE＝2AD，直接拿"4＜AE＜16"当答案，正确范围要整体除以 2。
【一句话口诀】
中线遇到求范围，倍长一倍造全等；两边之差、两边之和，夹住第三边，最后记得除以二。
压轴题二：等腰三角形——分类讨论别漏解
【经典真题】
已知等腰三角形的一条边长是 6，另一条边长是 8，求这个三角形的周长。
这类题的"坑"全在 没说清楚哪条是腰、哪条是底。题目只给了两条边 6 和 8，那 6 可能是腰、也可能是底，少讨论一种就少一半分。
第一种，6 是腰、8 是底：三边为 6、6、8。先验证 6＋6＝12＞8，能组成三角形，周长＝6＋6＋8＝20。
第二种，8 是腰、6 是底：三边为 8、8、6。验证 8＋6＝14＞8，也能组成三角形，周长＝8＋8＋6＝22。
所以答案是：周长为 20 或 22。
【孩子最容易丢分的地方】
最大的坑是"只算一种"，题目不附图、不明说腰和底，天然有两种可能；
更隐蔽的坑是"算完不验证"。两种情况的套路孩子会套，却不检查三边能不能真围成三角形——换个数据就现原形：如果题目给的是 3 和 6，那么"3、3、6"必须舍去，因为 3＋3＝6，不满足两边之和大于第三边，围不成；
"验证两边之和大于第三边"这一步要写在卷面上，它既是规范，也是得分点。
【一句话口诀】
没说明白腰和底，两种情况都要算；算完验证第三边，两边之和大于第三边。
压轴题三：轴对称——"将军饮马"求最短
【经典真题】
如图，正方形 ABCD 的边长为 4，点 E 在对角线 AC 上运动，点 F 是边 BC 的中点，求 BE＋EF 的最小值。
这是轴对称里最经典的"最短路径"题，也就是俗称的将军饮马。孩子第一次见完全没思路，因为 E、F 都在动，一直是条折线。破题的钥匙就四个动作：作对称点，把折线变成直线。
具体来说：正方形关于对角线 AC 对称，点 B 关于 AC 的对称点正好是点 D。由对称性可知 BE＝DE，于是：
BE＋EF＝DE＋EF
根据"两点之间，线段最短"，当 D、E、F 三点共线时，DE＋EF 取得最小值，这个最小值就是线段 DF 的长（此时 E 是 DF 与 AC 的交点，确实落在 AC 上，最小值取得到）。
计算 DF：F 是 BC 中点，所以 CF＝4÷2＝2。在直角三角形 DCF 中，DC＝4，CF＝2，由勾股定理：
DF＝√(DC²＋CF²)＝√(4²＋2²)＝√20＝2√5
所以 BE＋EF 的最小值是 2√5。
【孩子最容易丢分的地方】
不知道要作对称点，直接去硬算 BE 和 EF 的长度，越算越乱；
对称点找错——这里应把 B 关于 AC 对称到 D，对称轴找错，后面全盘皆错；
三点共线后忘了"落答案"：最小值要具体算成线段 DF 的长，用勾股定理求出 2√5，不能只写到"共线时最小"就停；
学有余力的孩子可以多一步验证：DF 和 AC 的交点要在线段 AC 上，否则最小值取不到。
【一句话口诀】
求最短，先作对称；同侧变异侧，折线变直线，勾股算出最短线。
压轴题四：整式乘法与因式分解——看着简单最易错
【经典真题】
（1）分解因式：x²−x−6；
（2）分解因式：2a²−8；
（3）已知 a＋b＝6，ab＝4，求 a²＋b² 的值。
这三题都不难，却错得特别多：第（1）题错在十字相乘符号不熟，第（2）题错在不先提公因式、分解不彻底，第（3）题错在不会用公式变形。
第（1）题用十字相乘法：要把 x²−x−6 拆开，就找两个数，使它们的积是 −6、和是 −1，这两个数是 −3 和 2，所以：
x²−x−6＝(x−3)(x＋2)
第（2）题记住"一提（公因式）、二套（公式）、三检查"：两项都有公因式 2，先提出来，再用平方差公式：
2a²−8＝2(a²−4)＝2(a＋2)(a−2)
如果只写到 2(a²−4) 就停手，等于没分解完，考试照样扣分。第（3）题不能硬求 a、b（求不出来），要用完全平方公式变形：由 (a＋b)²＝a²＋2ab＋b²，移项得 a²＋b²＝(a＋b)²−2ab。把 a＋b＝6、ab＝4 代入：
a²＋b²＝6²−2×4＝36−8＝28
【一句话口诀】
因式分解看十字，先提公因式再套公式；给和给积求平方，和的平方去变形。
最后说两句
初二期中的压轴题，不是靠"聪明"做出来的，是靠"套路"做出来的。全等看辅助线，等腰看分类，最短路径作对称，因式分解用十字——这四句话记住了，孩子遇到压轴题就不会慌。
期中前这段时间，建议让孩子把这四类题各练 3 到 5 道，不用多，但每做一道都问自己两句话：这道题考的是哪个套路？我的得分步骤写全了吗？
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