南京初一数学绝对值最值题,其实根本不用算,零点一排就出答案

四季读书网 2026-10-25 08:12:37 19 0

大家有没有想过一个问题：假如一个小区要建新的快递柜，到底放哪最合适？

很多人第一反应是放小区门口，其实不一定。但是从公平的角度来说，快递柜要服务几个单元的住户，放哪个位置，才能让所有人走路的距离加起来最短？

这个问题翻译成数学语言，就是咱们正在学的绝对值最值。把几个单元在数轴上标出来，快递柜的位置设成x，到每个单元的距离就是|x−a|、|x−b|、|x−c|，加起来求最小值——一模一样的模型。

今天就把这个模型讲透，记住四个字，以后遇到这种题不用算，直接出答案。

一、从生活到数学：一个快递站的选址问题

先回到那个快递站的问题。假设三个小区分别在数轴上的1、3、5的位置，快递站建在x处，到三个小区的距离之和就是|x−1|+|x−3|+|x−5|。问x取多少时，这个和最小？

上一篇我们讲过两个绝对值相加的情况：|x−a|+|x−b|的最小值是|a−b|，x在a和b之间时取得。那三个绝对值相加呢？

我们可以把它拆一下：|x−1|+|x−5|是一对，这两个的最小值是4，x在1到5之间时取得。剩下一个|x−3|，它的最小值是0，x=3时取得。

要让总和最小，就要让两对同时取到最小值。x=3的时候，|x−1|+|x−5|=4（因为3在1和5之间），|x−3|=0，总和是4。这就是最小值。

你看，x=3刚好是三个零点1、3、5中最中间的那个。这不是巧合，是规律。

当绝对值的个数是奇数时，比如3个、5个、7个，x取所有零点中最中间的那个时，距离之和最小。

还是用|x−1|+|x−3|+|x−5|来说。零点从小到大排是1、3、5，一共三个，最中间的是第二个，也就是3。所以x=3时取最小值。

最小值是多少？把零点配对：最外面的1和5配一对，距离是5−1=4；中间的3单独一个，距离是0。加起来就是4。

再举个例子，求|x+2|+|x−1|+|x−4|的最小值。先把零点找出来：−2、1、4，从小到大排好。三个零点，最中间的是1，所以x=1时取最小值。

最小值：−2和4配一对，距离是4−(−2)=6；中间的1单独一个，距离是0。总和是6。

不用分段讨论，不用画函数图像，找零点、排顺序、取中间、算配对距离，四步出答案。

那如果绝对值的个数是偶数呢？比如4个、6个、8个。规律稍微变一下：x在中间两个零点之间（含端点）时，距离之和最小。

比如求|x−1|+|x−2|+|x−4|+|x−5|的最小值。零点从小到大排是1、2、4、5，一共四个。中间两个是第二个和第三个，也就是2和4。所以x在2到4之间时，取最小值。

最小值怎么算？还是配对：最外面的1和5配一对，距离是5−1=4；中间的2和4配一对，距离是4−2=2。加起来是4+2=6。

验证一下，取x=3（在2和4之间），|3−1|+|3−2|+|3−4|+|3−5|=2+1+1+2=6，没错。

再比如求|x−3|+|x−1|+|x+2|+|x+5|的最小值。零点是−5、−2、1、3，从小到大排好。四个零点，中间两个是−2和1，x在−2到1之间时取最小值。

最小值：−5和3配一对，距离是3−(−5)=8；−2和1配一对，距离是1−(−2)=3。总和是8+3=11。

偶数个的时候，x的取值不是一个点，而是一段区间。在这个区间里随便取哪个x，最小值都一样。

把奇数和偶数的情况合在一起，就是四个字：奇点取中，偶点取段。

具体操作分四步：

第一步：找零点。令每个绝对值里面等于0，求出所有x的值。

第二步：排顺序。把零点从小到大排列，别搞反了。

第三步：定位置。零点个数是奇数，取最中间的那个点；是偶数，取中间两个点之间的区间。

第四步：算最值。把零点从外到内两两配对，每对的距离加起来就是最小值。

绝对值之和最值，记住四个字：奇点取中，偶点取段。找零点、排顺序、定位置、算配对距离，四步搞定，不用分段讨论，不用画图像。

下一讲，我们聊点更有意思的：绝对值之和最值的变形——当绝对值前面有系数的时候怎么办，比如2|x−1|+3|x−3|，这时候"奇点取中"还管用吗？觉得有用的话，点个关注，咱们下篇见。

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