新初一崽崽，即将迎来初中第一次重要考试——期中考。那么数学会遇到第一个难点——数轴动点。
前言概述：
数轴动点这部分，孩子最容易卡在哪里？起点、方向、速度、时间挤在一起，不知道先写什么；好不容易算出一个答案，又漏掉了另一种情况。考前复习，可以先从这些容易出错的地方查起。
先写每个点所在的位置，再用位置表示距离，最后把“相遇”“相距多少”“谁是谁的中点”等条件写成等式。沿着这条思路，把题目一步步拆开，也更容易看出自己卡在哪一步。
这篇文章按“三个基础关系—六类常见题型—易错检查”梳理了一遍，配上19张示意图。复习时可以边看边动笔，重点检查：位置式有没有写对，分类有没有漏，一个公式能在哪段时间使用。
一、三个基础关系，先分清各自的用途
1. 两点间的距离：位置之差取绝对值
数轴上，A、B对应的数分别为a、b，两点间的距离是AB = |a − b|。如果已经确定谁在右、谁在左，也可以用“右边的数减左边的数”。
例如，A在−3，B在3，AB = 3 − (−3) = 6。若P的位置x还不确定，P到6的距离就写成|x − 6|，到−4的距离写成|x + 4|。
2. 点的移动：从起点出发，加上有方向的位移
点从a出发，以速度v匀速运动t个单位时间。向右走，位置为a + vt；向左走，位置为a − vt。这里v ≥ 0、t ≥ 0，单位要保持一致。
路程vt表示走了多远，位置a ± vt表示最后在哪里。遇到往返运动，还要分别计算各段的路程，不能用起点与终点之间的距离代替总路程。
3. 线段的中点：两个端点的位置取平均
若M是线段AB的中点，那么m = (a + b) ÷ 2，且AM = MB。端点在移动时，先分别写出a、b随时间变化的式子，再求平均数。
先把三个量分开：位置可以为负，距离和路程不能为负。方向变化时，位置表达式也要跟着变化。
二、解题分三步，每一步都能落到纸上
可以把过程记为：画图、设时间、表示点、表示距离、列方程。真正计算前，先看清题目规定的运动时间和停止条件。
第一步：写出各点的位置
通常设运动时间为t。逐个标出起点、方向、速度，分别写位置式。比如P从−3出发，每秒向右移动3个单位，t秒后的位置就是−3 + 3t。多个点同时运动，也要各写各的，不能共用一个式子。
第二步：用位置表示线段长度
若A在−2、B在4、P在x，无论P处于哪里，都有PA = |x + 2|、PB = |x − 4|。只有确定−2 ≤ x ≤ 4时，才能写成PA = x + 2、PB = 4 − x。
写不准点的顺序时，可以先保留绝对值；需要去掉绝对值时，再按位置分类。
第三步：把文字条件翻译成等式
“相遇”对应位置相等，“距离为8”对应位置之差的绝对值等于8，“中点”对应两端点位置取平均。若题目让你找不随时间变化的量，就把位置式代进去，观察含t的项能否抵消。
方程解出来还要检查：t是否非负，是否落在当前讨论的时间段，两点是否还按原来的规则运动。把答案代回原条件，也能发现漏解和不合题意的解。
三、六类常见题型，抓住各自的分界点
题型一：单个动点，位置和方向要分清
这类题容易漏掉另一种位置。比如“到原点的距离为3”，对应的点既可能在−3，也可能在3；只有距离为0时，才只有原点这一种位置。
如果点从a出发，移动s个单位，题目没有说明方向，就分别考虑向左到a − s、向右到a + s。s = 0时，这两个结果重合。
涉及两个固定点时，还要留意动点在线段的左侧、内部还是右侧。例如A在−2，B在4，PA + PB = |x + 2| + |x − 4|，以−2、4为分界去掉绝对值，就能得到三段不同的表达式。
看到“可能”“方向未定”“距离满足某条件”，先检查是否存在另一种位置。分类要有明确的分界，不能只凭一张示意图认定点一直在线段内部。
题型二：交替与循环运动，先辨认重复的规律
交替运动可以先列出前几次的位置。例如从0出发，按右1、左2、右3、左4……依次移动，前六次结束后的位置分别为1、−1、2、−2、3、−3。
这里每次走的步长在增加，累计位置可以按奇数次、偶数次分别归纳。注意记录的是“走完这一次后的位置”，不是这一次的步长。
如果运动规则按固定时间重复，先求一轮用时T，再把总时间写成t = qT + r，其中q为非负整数，0 ≤ r < T。接着计算q轮的净位移，以及余下r时间内的位移。
还要确认：一轮结束后是否回到起点。比如速度始终为1，先向左走4秒，再向右走6秒，一轮用时10秒，但净位移是向右2个单位。只看余数，会漏掉前面完整轮次积累的位移。
图形沿数轴翻滚时，可以跟踪一个指定顶点，记录几次翻滚后的落点和姿态。确认位置、姿态怎样重复后，再利用轮数和余数定位；不能直接把图形的边长当成每个顶点每次的位移。
题型三：两个点匀速运动，先写两条位置式
双动点常见相向、同向追及、背向三种关系。下面都从P在−4、Q在8开始，P、Q的速度分别为每秒2个单位、1个单位。
相向运动时，xP = −4 + 2t，xQ = 8 − t。相遇时两式相等，得到t = 4。若相遇后仍按原方向继续运动，距离为PQ = |12 − 3t|，因此“相距3个单位”对应t = 3和t = 5两种情况。
同向追及时，先认清谁在前、谁在后。两点都向右，xP = −4 + 2t，xQ = 8 + t。P在后面且速度更大，12秒后追上Q。直接使用“初始间距÷速度差”，也要满足同时出发、持续同向匀速、后点更快这些条件。
背向运动时，P向左、Q向右，位置分别为−4 − 2t、8 + t，距离为12 + 3t。初始间距加上两点各自远离的路程，就能表示它们之间的距离。
相遇、定距、中点、线段倍长关系，都可以从这两条位置式继续列方程。若题目规定某点相遇后停止，或到达指定位置折返，要先执行这个条件，再讨论后面的运动。
题型四：折返、停留和变速，先划时间段
运动规则改变后，原来的位置式可能失效。常见的分界有：到达端点后停留、立即折返、改变速度，以及题目明确规定在相遇后改变运动方式。
例如，P从−2出发，以每秒2个单位向右到达6，随后以每秒1个单位返回−2并停止。去程需要4秒，返程需要8秒，整个运动在第12秒结束。
在0 ≤ t ≤ 4时，位置为−2 + 2t；在4 < t ≤ 12时，位置为6 − (t − 4)，即10 − t。返程已经经过的时间是t − 4，不能仍用t。若继续讨论第12秒之后，位置固定为−2。
处理这类题，可以按“求分界时刻—分段写位置—各段列方程—检查并合并答案”来做。分界时刻要单独照顾，避免重复或遗漏。单纯相遇并不一定改变速度和方向，要以题目规则为准。
题型五：三个及以上动点，逐点列式，再排顺序
点一多，可以先列一张小表，把每个点的起点、方向、速度和位置式记全。例如M从6向左运动，速度2；N从−8向右运动，速度6；P从0向右运动，速度1。三点同时出发，位置式如下。
由位置式可得MP = |6 − 3t|，NP = |5t − 8|。若要判断三点的整体顺序，可以先求两两相遇的时刻：N与P在8/5秒相遇，M与N在7/4秒相遇，M与P在2秒相遇。
按关键时刻划分时间段后，再结合题目需要讨论距离关系。若式子只涉及MP和NP，去掉绝对值时的分界是8/5和2；是否还要用到7/4，要看条件是否涉及M、N的先后顺序。
每一个位置式都要与最初的运动方向核对。比如M向左，应该是6 − 2t，后面计算距离时也必须保持这个减号。
题型六：新定义，先把规则翻译成熟悉的关系
题目起了一个新名称，先找它具体要求什么：距离相等、长度成倍，还是某点为中点。只有读清定义中的范围和限制，才能决定要分几种情况。
例如，题目定义：三个互异点中，如果有一个点是另外两点所连线段的中点，就称它们满足“中点关联”。已知A在−2，B在4，求P的位置，就要分别考虑P、A、B作为中点。
P为中点时，p = (a + b) ÷ 2；A为中点时，p = 2a − b；B为中点时，p = 2b − a。本例得到p = 1、−8、10。若原题另外限制P的位置，还要继续筛选。
木棒、长方形等物体沿数轴平移时，可以把端点、中心或指定顶点的位置写出来，再利用长度不变等条件。新定义的名称可以变化，具体条件要逐条落实到式子里。
四、做完题，再检查这几处
第一，时间是否写完整。除了t ≥ 0，还要检查点何时停止、折返或变速，当前式子是否覆盖这个时刻。
第二，方向有没有写反。向右用起点加路程，向左用起点减路程；换了一段运动，要从该段的起点重新表示。
第三，距离有没有变成负数。点的先后顺序没有确定时，保留绝对值；去掉绝对值前，说明分类范围。
第四，答案有没有漏掉另一段。相遇前后、端点两侧、折返前后，都可能出现满足同一距离条件的时刻。
第五，求最小值时是否只检查了中点或端点。以PA + PB为例，只要P在线段AB上，距离和就等于AB，整段都能取得最小值。其他最值问题也要先看具体表达式。
第六，是否把答案代回原题。特别是分段方程求出的时间，要同时满足该段范围和原始条件；多个分支得到同一个答案时，合并后写清楚。
练习数轴动点，可以每次多写两行：一行记录各点的位置，一行说明当前时间段内点的顺序。做错后回到这两行，通常就能找到方向、分类或时间范围出了什么问题。再做一道同类题，检查这一步有没有真正改过来。
