如图，抛物线 y = ax² − 2ax + c 与 x 轴交于 A、B 两点（点 A 在点 B 的左边），点 B 的坐标是 (3, 0)；抛物线与 y 轴负半轴交于点 C，且 OC = OB。
(1) 求该抛物线的解析式；
(2) 当 0 < x < 3 时，求 y 的取值范围；
(3) 证明：直线 y = kx(k + 1)（k ≠ 0）与抛物线一定有两个交点；
(4) 抛物线的对称轴与 x 轴相交于点 G，点 P 是在对称轴右侧且位于第四象限的抛物线上的一点，连接 AP 交对称轴于点 M，连接 BP 并延长交对称轴于点 N，求 GM + GN 的值。
二、第 (1) 问：求解析式
思路：先用 OC = OB 定出 C 点，得到 c；再把 B 点代进去求 a。
∵ OC = OB，OB = 3，且点 C 在 y 轴负半轴
∴ C(0, −3)，即 c = −3
把 B(3, 0) 代入 y = ax² − 2ax − 3：
0 = 9a − 6a − 3 → 3a = 3 → a = 1
∴ 抛物线的解析式为：
y = x² − 2x − 3 = (x − 1)² − 4
由此可得：对称轴 x = 1，顶点 (1, −4)，A(−1, 0)。
三、第 (2) 问：求 y 的取值范围
思路：配方后看对称轴是否落在区间内，再比较区间两端。
y = (x − 1)² − 4
∵ 对称轴 x = 1 在区间 (0, 3) 内
∴ 当 x = 1 时，y 取最小值 −4（x = 1 能取到，所以是闭的）
当 x → 3⁻ 时，y → 0（取不到）；当 x → 0⁺ 时，y → −3
∴ y 的取值范围是：
−4 ≤ y < 0
四、第 (3) 问：证明一定有两个交点
思路：联立成关于 x 的一元二次方程，证明判别式恒大于 0。
联立 y = kx(k + 1) 与 y = x² − 2x − 3：
x² − 2x − 3 = k(k + 1)x
x² − (k² + k + 2)x − 3 = 0
计算判别式：
Δ = (k² + k + 2)² − 4 × 1 × (−3) = (k² + k + 2)² + 12
∵ (k² + k + 2)² ≥ 0，∴ Δ ≥ 12 > 0
∴ 对任意 k ≠ 0，方程都有两个不相等的实数根，
即直线与抛物线一定有两个交点。
五、第 (4) 问：求 GM + GN
思路：设 P 的横坐标为参数 p，写出 AP、BP 的方程，分别令 x = 1 得到 M、N 的纵坐标，再用绝对值求和。
1. 设点
P 在对称轴右侧且位于第四象限，故 1 < p < 3：
P(p, p² − 2p − 3)，且 p² − 2p − 3 = (p − 3)(p + 1)
G(1, 0)
2. 求 M（AP 与直线 x = 1 的交点）
AP 的斜率：
k₁ = [(p − 3)(p + 1) − 0] / (p + 1) = p − 3
AP：y = (p − 3)(x + 1)
令 x = 1：
y_M = 2(p − 3) = 2p − 6 → M(1, 2p − 6)
GM = |2p − 6| = 6 − 2p
3. 求 N（BP 与直线 x = 1 的交点）
BP 的斜率（用 (p − 3) 约分）：
k₂ = [(p − 3)(p + 1) − 0] / (p − 3) = p + 1
BP：y = (p + 1)(x − 3)
令 x = 1：
y_N = −2(p + 1) = −2p − 2 → N(1, −2p − 2)
GN = |−2p − 2| = 2p + 2
4. 求和
GM + GN = (6 − 2p) + (2p + 2) = 8
5. 用绝对值的写法（更通用）
GM + GN = |2p − 6| + |−2p − 2|
= 2|p − 3| + 2|p + 1|
= 2( |p − 3| + |p + 1| )
∵ −1 < p < 3
|p − 3| + |p + 1| = (3 − p) + (p + 1) = 4
∴ GM + GN = 2 × 4 = 8
6. 几何意义
|p − 3| + |p + 1| 表示数轴上点 p 到 3 与到 −1 的距离之和。因为 p 夹在 −1 与 3 之间，这个和恒等于 4，与 p 的具体位置无关。
换句话说：P 移动时，M 向上移多少，N 就向下移多少，两者恰好抵消，所以 GM + GN 是定值。
六、三处容易出错的地方
1. 第 (2) 问的端点：最小值 −4 在 x = 1 处取到，所以下界是闭区间；上界 0 在 x = 3 处取不到，是开区间。写成 −4 < y < 0 会丢掉最小值。
2. 第 (4) 问求 BP 的斜率时，必须先约分。若不约分直接代入，容易在 N 的纵坐标上写错符号：正确结果是 −2(p + 1) = −2p − 2。
3. 去绝对值前要先判断 p 的范围（1 < p < 3），否则 |p − 3| 的正负会判断反。
下面给出最后一问的动图演示过程：
