嗨，我是摩西～马上进入 11 月，初三的期中考试是初中三年里第一次"准中考"——很多学校这次考试的范围、题型、分值结构，就是照着中考的样子来的。这个礼拜我把去年北京 7 所学校九年级的期中真题卷全部做了一遍，今天把看到的考点、典型题和容易踩的坑讲给大家听。一句话结论：二次函数和圆，两章能占到 70 分以上；得二次函数和圆者得天下。
一、7 份卷子，先把考点地图摆出来
这次用的 7 份卷子：海淀区期中统考卷，西城区的三帆中学、北京交通大学附属中学、北京市第五中学分校，东城区的人大附中朝阳学校、景山学校，还有朝阳区的朝阳外国语学校。7 套卷子逐题归类后，考点地图和题型频次如下：
▲ 初三上学期期中考点地图（依据 7 份真题卷逐题归类整理）
▲ 题型出现频次：抛物线平移、解方程、中心对称图形是 7 卷全考
先给结论：二次函数 + 圆是两大片，再加一元二次方程、旋转、概率初步。其中"图像与系数关系""抛物线平移""解一元二次方程""判别式求参数""中心对称图形"是 7 份卷子里全考或 6 考的内容，这就是复习的"基本盘"。
二、从中考视角看这次期中：它到底占多少分量
很多家长问：期中而已，值得这么重视吗？我的看法是，值得，理由有三个。
第一，从内容上看，九年级上册是中考的"腰部章节"：二次函数是中考 26、27 题的常客，圆承包了中考几何大题的一半，旋转是全等变换的核心工具，一元二次方程是代数运算的基本功。这次期中没学透的章节，直接就是明年中考的漏洞清单。
第二，从题型上看，海淀区统考卷的结构就是中考的"缩小版"：8 道选择 + 8 道填空 + 12 道解答、满分 100 分的区统考结构里，最后一道新定义题（28 题）和中考 28 题的考法一脉相承。这次接触"新定义+多结论"的题，是中考前的第一次实战演练。
第三，从节奏上看，初三上学期期中到一模，只有大约 20 周。这次考试暴露的问题，就是寒假和春季一轮复习的优先项——发现问题越早，修复的成本越低。
三、一元二次方程：基础题，但一分都不能丢
这是九年级第一章，每份卷子的前几道解答题必有，考法很固定。看海淀区统考卷的两道基础题：
📘 真题 · 海淀区期中统考卷（第 17、19 题）
第 17 题：解方程 x2−6x＝7。
第 19 题：已知 m 是方程 x2+3x−1＝0 的一个根，求代数式 m2+2m2+3m−2+m+2 的值。
🔑 解析与破题点
第 17 题答案 x1＝7，x2＝−1，先移项再用因式分解，是送分题。第 19 题答案 7，破题点：把 m 代入方程得到 m2+3m＝1，再把代数式化简成 2(m2+3m)+5，整体代入，根本不用解出 m。人大附中朝阳学校也考了"用配方法解方程 x2−2x＝2，配方后正确的是哪一步"（答案 (x−1)2＝3）——"两边加一次项系数一半的平方"这句话孩子要能脱口而出，配方法是重点校爱考的细节。
应用题方面，增长率问题是标配。看两道有代表性的：
📘 真题 · 海淀区期中统考卷 / 朝阳外国语学校
【海淀区统考卷】北京市新能源汽车保有量从 2022 年的 61.7 万辆增长到 2024 年的 100.9 万辆，设年平均增长率为 x，所列方程正确的是（ ）
【朝阳外国语学校】电影《哪吒》上映以来，某市第一天票房约 2 亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后累计票房收入达 18 亿元，设增长率为 x，则方程可以列为（ ）
🔑 解析与破题点
海淀题答案 61.7(1+x)2＝100.9，"两年翻两番"是标准模型。朝外题答案 2+2(1+x)+2(1+x)2＝18，破题点是"累计"——三天加在一起是 18 亿，很多孩子只写了第三天。人大附中朝阳学校考的是同类模型：一月份生产成本若干万元，逐月下降，求平均月下降率；北交大附中考的是三个月工业产值的平均增长率。
海淀区统考卷还有一道应用题出得很活：
📘 真题 · 海淀区期中统考卷（第 23 题）
某科技团队研发的机器人能够进行舞蹈表演。在一次表演中，开场阶段所有机器人组成一个正方形方阵；音乐推进至高潮部分，首先有 4 个机器人出列担任领舞，其余机器人迅速调整站位，组成长方形方阵——该长方形方阵的列数比原来的 2 倍少 1，行数比原来少 4。求此次参加表演的机器人的总个数。
🔑 解析与破题点
设原方阵每边 n 个，总数 n2。由题意 n2−4＝(2n−1)(n−4)，化简得 n2−9n+8＝0，解得 n＝1 或 n＝8。注意 n＝1 要舍去（行数为 −3，不合实际），总数 64 个。这种"舍根"是应用题的常设陷阱：解出两个根的时候，一定要回去看实际意义。
四、二次函数：分值大户，但题型有章可循
这是本次期中绝对的大头。我把 7 份卷子里的二次函数题归成六类，每一类都配上真题出处：
① 图象与系数关系（6/7 卷考）
海淀区统考卷第 6 题：给出抛物线图象，判断 a、ac、b²−4ac 的符号。破题点四条：开口定 a、与 y 轴交点定 c、对称轴定 −b/2a、与 x 轴交点个数定判别式。四个选项各对应一条，错一个就全盘皆输。
② 平移与求解析式（7/7 卷考）
"左加右减、上加下减"，送分但要看清顺序。海淀区统考卷第 20 题是标准三问：抛物线过点 (0,3)、对称轴 x=1，求表达式、画顶点、写区间最值——这种题必须做到闭着眼睛都会。
③ 应用建模（5/7 卷考，今年特别关注）
三帆中学：九三阅兵"80"字样由两个正八边形构成，已知面积差求飞机间距；人大附中朝阳学校：铅球投掷，自建坐标系算成绩；景山学校：摩天轮高度数据表 + 装裱书法的边宽设计；北交大附中：篮球投篮抛物线。命题人偏爱"真实情境 + 建模型"，孩子怕的不是应用题，是没练过"剥外衣"——读题 → 设元 → 找等量关系 → 求解 → 回到情境作答，五步缺一不可。
④ 交点与含参问题（拉分题）
海淀区统考卷第 24 题：过点 (t,0) 作垂线交抛物线于 M、交直线于 N，MN=3 求 t——用 t 把 M、N 坐标都表示出来再列方程；北交大附中第 26 题：抛物线与线段只有一个公共点，求参数范围——要画图、要分类讨论，这是海淀风格的标志性考法。
这几类题光听我归类不够直观，把三道最典型的原题摆出来：
📘 真题 · 海淀区期中统考卷（第 20 题）
已知抛物线 y＝−x2+bx+c 与 y 轴的交点为 (0,3)，抛物线的对称轴为直线 x＝1。
(1) 求抛物线的表达式；
(2) 直接写出抛物线的顶点坐标，并在平面直角坐标系 xOy 中画出抛物线；
(3) 当 0＜x＜3 时，直接写出 y 的取值范围。
▲ 第 (2) 问作图所用的坐标系（原卷给出）
🔑 解析与破题点
(1) 由交点得 c＝3，由对称轴 −b/2＝1 得 b＝2，表达式 y＝−x2+2x+3。(3) 配方得 y＝−(x−1)2+4，顶点 (1,4)。注意开口向下：在 0＜x＜3 上，顶点处取到最大值 4，x→3 时 y→0 取不到，所以取值范围是 0＜y≤4。第三问两个端点一个开一个闭，x＝3 取不到要写"＜0"方向，而顶点最大值 4 能取到要写"≤4"——这是阅卷的高频扣分点。
📘 真题 · 人大附中朝阳学校
铅球比赛中，运动员掷出铅球，出手高度为一定值，铅球运行 3 米后达到最大高度，之后落地。请建立适当的平面直角坐标系，求该运动员的投掷成绩（铅球落地点到出手点正下方的水平距离）。
🔑 解析与破题点
破题点在"自建坐标系"四个字：把出手点正下方设为原点、水平方向为 x 轴最省事，顶点坐标是 (3, 最大高度)，设顶点式 y＝a(x−3)2+h 代入出手点和落地点求解，成绩 8 米。坐标系建得不一样，式子就不一样，但答案必须一致——孩子平时要刻意练"哪样建系最省事"。
📘 真题 · 海淀区期中统考卷（第 24 题）
在平面直角坐标系中，抛物线 y＝(x+1)2−4 与 x 轴正半轴交于点 A，顶点为 B。
(2) 过点 P(t,0) 作 x 轴的垂线，交抛物线于点 M，交直线 AB 于点 N。若 MN＝3，求 t 的值。
🔑 解析与破题点
先把 A(1,0)、B(−1,−4) 求出来，直线 AB 的表达式为 y＝2x−2。M、N 横坐标都是 t，M(t,(t+1)2−4)、N(t,2t−2)，所以 MN＝|(t+1)2−4−(2t−2)|＝|t2−1|＝3，解得 t＝2 或 t＝−2。破题点是"竖直距离＝纵坐标之差的绝对值"，以及绝对值方程要分两种符号讨论——海淀式拉分题的两个标准动作。
函数值比较大小也几乎每卷都考：利用对称性把点"搬"到对称轴同一侧，或记口诀"开口向上，离轴越近值越小"。景山学校、人大附中朝阳学校都出了这类题。
五、旋转：从送分选择到几何压轴，全靠它
旋转这章分值没有二次函数高，但它是几何题的"发动机"，贯穿整个初三。
基础层：中心对称图形判断几乎每卷第 1、2 题（剪纸、铜镜、数学曲线图案），点关于原点对称的坐标横纵坐标都变号。中档层：旋转作图，海淀区统考卷第 22 题让线段 AB 绕 O 旋转 180°，再求三角形面积的取值范围 6≤S≤12——画图和计算要结合。压轴层：旋转全等。
📘 真题 · 海淀区期中统考卷（第 27 题）
在正方形 ABCD 中，点 E 在射线 BC 上，连接 AE，将线段 AE 绕点 A 逆时针旋转 135° 得到线段 AF，过点 F 作 FG⊥BC，交直线 BC 于点 G。
(1) 如图 1，点 E 与点 B 重合，若 AB＝2，求 BG 的长；
(2) 如图 2，点 E 在 BC 的延长线上，用等式表示 BG、BE 和 AB 的数量关系，并证明。
▲ 原卷给出的图 1（E 与 B 重合）与图 2（E 在延长线上）
🔑 解析与破题点
(1) 答案是 BG＝√2——先由旋转得 ∠EAF＝135°、AF＝AB＝2，于是 ∠FAD＝45°，△AHF 是等腰直角三角形，矩形 ABGH 对边相等，BG＝AH＝√2。(2) 的辅助线是关键：连接 AC，延长 BA 到点 M，使 AM＝AC，再连接 MF——利用 135° 这个特殊角和正方形的 45° 角，构造旋转型全等，把分散的 BE、BG 转移到同一直线上，结论为 BE＝AB＋√2·BG。这类题的套路非常固定——旋转必有全等，全等必转移边角。让孩子做完题问自己一句"这条辅助线是怎么想到的"，比多做十道题有用。
六、圆：定理背熟，辅助线有章法
圆是期中另一大片，覆盖垂径定理、圆周角定理、切线、圆内接四边形、弧长和扇形面积：
- 景山学校
第 3 题：AB 为直径，∠CAB=40°，求 ∠ADC——直径所对圆周角是直角这个推论直接用； - 朝阳外国语学校
考切线长定理：PA、PB、MN 分别切圆于 A、B、C，问三角形 PMN 周长与 PA 的关系——切线长相等，一转化就出来了； - 朝阳外国语学校第 19 题
考尺规作图：设计"过圆上一点作圆的切线"的作图过程；北交大附中第 22 题则要求过圆外一点作切线，作图依据是"直径所对圆周角是直角"——今年好几所学校都考了作图原理，这是新课标的方向，不再只考"画出来"，还要考"为什么这样画"； - 景山学校
还考了圆与一次函数图象相切，把圆和函数结合了起来；五中分校出了"莱洛三角形"（等边三角形的圆弧边图形）的周长，考弧长公式。
圆的题辅助线相对有章法，三句话背熟能解大半：见切线连半径、见直径找直角、见弦过圆心作垂线。把几道有代表性的原题放在这里：
📘 真题 · 景山学校（第 3 题）
如图，AB 是⊙O 的直径，C、D 是⊙O 上的点，∠CAB＝40°，则 ∠ADC 的度数为（ ）
A. 110° B. 130° C. 140° D. 150°
▲ 景山学校第 3 题原图
🔑 解析与破题点
答案 B（130°）。连 BC，直径所对圆周角 ∠ACB＝90°，所以 ∠ABC＝50°；再用圆内接四边形对角互补，∠ADC＝180°−50°＝130°。一道选择题连用了两个定理，是圆这一章"定理接力"式考法的缩影。
📘 真题 · 朝阳外国语学校（第 13 题）
如图，PA、PB 分别切⊙O 于点 A、B，MN 切⊙O 于点 C，分别交 PA、PB 于点 M、N。
(1) 若 PA＝12，求 △PMN 的周长；
(2) 若 ∠P＝40°，求 ∠MON 的度数。
▲ 朝阳外国语学校第 13 题原图
🔑 解析与破题点
(1) 用切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等。MA＝MC、NB＝NC，所以 △PMN 的周长＝PM+MN+PN＝PM+MA+NB+PN＝PA+PB＝24。(2) 连 OA、OB、OC，切线垂直于半径，用四边形内角和或角平分线性质可得 ∠MON＝70°。破题点是"切线长相等"这五个字的转化意识。
📘 真题 · 北京市第五中学分校（第 7 题）
莱洛三角形是由分别以等边三角形的三个顶点为圆心、以边长为半径的三段圆弧围成的图形。若等边三角形的边长为 3，则这个莱洛三角形的周长为（ ）
▲ 五中分校第 7 题原图（虚线为辅助理解的等边三角形）
🔑 解析与破题点
答案 3π。每条弧都是以 60° 圆心角画的（等边三角形内角），三段弧拼起来正好是一个半径为 3 的半圆的弧长：3×(60π×3/180)＝3π。这种"课本上没有、现场给定义"的题是新课标的宠儿，考的不是背公式，是把新图形拆回已知图形的能力。
另外别忽略概率初步：景山学校考了"美""好""淮""安"四张卡片的抽取问题，北交大附中考了酚酞溶液变色概率，北交大附中第 21 题还出了"中考加油"转盘题。用列表或画树状图，过程写全，这是送分项：
📘 真题 · 景山学校（第 21 题）
现有分别标有汉字"美""好""淮""安"的四张卡片，它们除汉字外完全相同。
(1) 从中随机抽取一张，求抽到的卡片上标有"淮"字的概率；
(2) 从中一次随机抽取两张卡片，求抽到的两张卡片上恰好一张标有"美"字、一张标有"好"字的概率。
🔑 解析与破题点
(1) P＝1/4。(2) 画树状图或列表，一次抽两张的所有等可能结果共 6 种，其中"美+好"只有 1 种，P＝1/6。破题点：注意第 (2) 问是"一次抽两张"，抽到的两张没有顺序，列表时要去掉重复情况——不少孩子按"抽一张放回再抽"算了 16 种结果，直接丢分。
七、压轴新定义：海淀卷值得孩子认真研究
最后说说每卷的最后一题，这是中考 28 题的"学前班"：
- 海淀区统考卷
定义了"涟漪函数"（含取整符号 [x] 的二次函数），第二问求函数与 x 轴公共点个数——考的是整数分类讨论； - 海淀区统考卷第 28 题
定义"l-α 变换图形"：先旋转再轴对称，问线段变换后与正方形有没有公共点——考画图能力和临界状态分析； - 朝阳外国语学校
定义了弦的"伴随点"，景山学校定义了"逆转点"，三帆中学定义了"引入弦"，北交大附中考了正方形内角平分线加旋转的多结论判断。
📘 真题 · 海淀区期中统考卷（第 16 题）
对任意实数 x，用 [x] 表示不超过 x 的最大整数，如 [1.5]＝1、[2]＝2、[−1.5]＝−2。称函数 y＝ax2+b[x]+c（b≠0）为"涟漪函数"：
(1) 当 a＝c＝0 时，若 y＝b，直接写出 x 的取值范围；
(2) 当 a＝1/4、b＝−1、c＝1 时，求这个"涟漪函数"的图象与 x 轴的公共点个数。
🔑 解析与破题点
(1) a＝c＝0 时函数为 y＝b[x]，由 y＝b 且 b≠0 得 [x]＝1，所以 1≤x＜2。(2) 函数即 y＝(1/4)x2−[x]+1，令 n＝[x]，方程化为 x2＝4(n−1)，关键一步是代回取整的定义 n≤x＜n+1 去检验 n——逐段检验后只有 n＝2 成立，此时 x＝2，恰满足 2≤x＜3，所以图象与 x 轴有且仅有 1 个公共点。破题点：取整符号的本质是分段常数——设 n＝[x]，解完方程必须检验解是否落在 n≤x＜n+1 里，这就是海淀式"新定义"题的完整套路。
我的建议很务实：不必强求全对，但第 (1) 问一定要拿下。新定义题的第 (1) 问几乎都是白送的，很多孩子被题干长度吓住直接放弃，太可惜。训练方法就一招：把定义抄一遍，自己举两个例子代进去，定义就"长"在自己手里了。
八、给初三家长三个提醒吧：
1. 先保基础盘。100 分的卷子，基础题和中档题 80 分以上。解方程、化简求值、待定系数法这些必考题，必须做到零失误。错题本里反复出现同一类计算错误，先解决这个问题，别的都是空谈。
2. 练"长题"。今年应用题和新定义题的文字量明显变大，阅读速度慢、读题浮躁的孩子会吃大亏。平时做题就要训练完整读题、圈关键词的习惯。
3. 看分数，更要看排名和问题清单。期中是体检：哪一章丢了分、丢在哪类题上，比总分重要得多。初三是长跑，期中只是第一个计时点，稳住节奏，比什么都强。
下一篇我会写高一期中——那里有一个初高中衔接的"大坑"，家有高一新生的家长别错过。
发现问题越早，修复的成本越低。
初三是长跑，期中只是第一个计时点。
