（中考数学总复习专题讲义，主要适用于学生归纳总结复习用，提高综合分析能力，解决压轴题，内容全面系统，讲义中所选题目均为中考真题，家长需要完整（含图）可编辑打印版，可以微信联系我提供。）
1.1 矩形的考查定位
矩形是“有一个角是直角的平行四边形”，既保留平行四边形的全部性质，又多出“四个角都是直角、对角线相等”两条关键特征。中考中矩形既单独成题（选择、填空、基础解答），也是折叠、动点、坐标系综合题的常见载体：折叠题几乎都在矩形纸片上操作，压轴解答题常以矩形为背景串联全等、相似、勾股、三角函数与隐圆。
1.2 矩形的定义、性质与判定
（1）定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。（2）性质：①对边平行且相等；②四个角都是直角；③对角线相等且互相平分；④既是轴对称图形（两条过对边中点的直线），又是中心对称图形（对称中心为对角线交点）。（3）判定：①定义法——有一个角是直角的平行四边形；②三个角是直角的四边形；③对角线相等的平行四边形。（4）面积 S＝长×宽，也等于两邻边之积 ab。
1.3 常见综合方式
（1）折叠抓不变量：折叠前后对应边相等、对应角相等，常把某条线段折到另一条边上，再在直角三角形中用勾股列方程。（2）对角线出等腰：矩形对角线相等且互相平分，故 OA＝OB＝OC＝OD，由两对角线的交角可推出等边三角形或等腰三角形。（3）矩形＋坐标系：顶点坐标已知时矩形边平行坐标轴，与反比例函数 y＝k／x 相交，k 的几何意义即过图象上一点向两坐标轴作垂线所得矩形的面积。（4）矩形外接圆：矩形四个顶点共圆，对角线为直径；垂直于对角线的动点可构造隐圆。
二、性质与定理（解题工具包）
名称 | 内容（公式） | 说明/注意 |
对边与对角 | AB∥CD，AD∥BC；AB＝CD，AD＝BC；∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90° | 继承平行四边形全部性质 |
对角线 | AC＝BD，OA＝OB＝OC＝OD | 由 OA＝OB 出等腰三角形 |
对角线交角 | 交角 60° 时以该角为顶角的三角形为等边三角形 | 见例2 |
对称性 | 两条过对边中点的对称轴；对角线交点为对称中心 | 过对称中心的直线把矩形面积平分 |
面积 | S＝ab＝½·AC·BD·sinθ | θ 为两对角线夹角 |
判定① | 有一个角是直角的平行四边形 | 最常用定义法 |
判定② | 有三个角是直角的四边形 | 四边形层面判定 |
判定③ | 对角线相等的平行四边形 | 先证平行四边形再证对角线相等 |
矩形外接圆 | 四顶点共圆，对角线为直径 | 半径＝½AC＝½√(a²＋b²) |
反比例 k | 过 y＝k／x 上一点作两轴垂线所围矩形面积＝|k| | k 的几何意义 |
斜边中线 | Rt△ABC 中斜边中线＝斜边一半 | 矩形对角线一半即此定理 |
三、基本模型
3.1 模型一：对角线交角出等边三角形
矩形对角线 AC、BD 交于 O。若∠AOB＝60°，则△AOB 为等边三角形，AB＝OA＝OB＝½AC；由 AB 与对角线 AC 即可勾股求出另一邻边 BC，进而求面积（见例2）。此模型与“菱形 60° 角出等边三角形”同源。
3.2 模型二：矩形＋折叠——对应边相等、勾股列方程
矩形纸片沿某条线折叠，点 A 落在边 BC（或 CD）上。关键三步：①折叠前后对应边相等（如 AF＝AD、EF＝ED）；②对应角相等（如∠AFE＝∠D＝90°）；③在新形成的直角三角形中用勾股定理列方程求未知线段（见例4、例5、例6）。
3.3 模型三：矩形＋全等三角形证明
矩形中已有“AB＝DC、∠B＝∠C＝90°”两组条件，再给一组边相等（如 BE＝CF、AE＝DF）即可凑 SAS 证全等，从而得到 AF＝DE、对应角相等等结论（见例3、练3）。
3.4 模型四：矩形＋垂直平分线／平行线
对角线的垂直平分线交两边于 E、F，由垂直平分线性质 EB＝ED，再结合矩形中的相似三角形与勾股定理可求线段比、三角函数值（见练5）；矩形对边平行，配合平行线内错角、同位角可直接倒角（见例1、练1）。
3.5 模型五：矩形外接圆与隐圆
矩形四个顶点共圆，对角线为直径；圆内接矩形的面积与半径关系为 S＝ab＝2R²sinθ。若矩形内某动点对定线段张角为 90°，则该动点在以定线段为直径的隐圆上，面积最值即动点到定线段距离最大的位置（见练2、练6）。
3.6 模型六：矩形＋坐标系与反比例函数
矩形 OABC 顶点在坐标轴上，反比例函数 y＝k／x 与边 AB、BC 相交时，k 的几何意义为“过交点向两轴作垂线所得矩形面积”；若该交点为 BC 中点，则所得小矩形面积为原矩形面积的四分之一。
四、典型题型分类
结合本专题题目，常见题型可分为以下六类，例题与练习依此编排（详见第六、七章）：
题型 | 核心考点 | 对应题 |
矩形性质与平行线倒角 | 对边平行、对角线相等、内错角转化 | 例1、练1 |
对角线交角与面积 | 60° 出等边、勾股求邻边、面积公式 | 例2、练2 |
矩形与全等证明 | SAS 证三角形全等、线段相等 | 例3、练3 |
矩形中的折叠 | 对应边相等、勾股列方程、三角函数 | 例4、例5、例6 |
矩形＋垂直平分线／相似 | 垂直平分线性质、相似比、勾股方程 | 练5 |
矩形隐圆与动点最值 | 90° 张角定隐圆、面积最大位置 | 练6 |
五、二级结论
结论一：矩形对角线交角 60° 出等边三角形
矩形 ABCD 对角线交于 O。若∠AOB＝60°，由 OA＝OB 知△AOB 为等边三角形，故 AB＝OA＝OB＝½AC；BC＝√(AC²−AB²)，面积 S＝AB·BC＝(AC²／4)·√3（见例2）。
结论二：折叠抓“对应边相等”，勾股列方程
矩形沿 AE 折叠使 D 落在 BC 上 F 处，则 AF＝AD、EF＝ED、∠AFE＝∠D＝90°。在 Rt△ABF 中由勾股求 BF，再在 Rt△EFC 中设未知数 x 列勾股方程求 EC、EF（见例4、例5、例6）。
结论三：矩形已有“两边一夹角”，证全等只需再补一边
矩形中 AB＝DC、∠B＝∠C＝90°，已有一边一角相等；若再给 BF＝CE（或 BE＝CF），即可由 SAS 直接证△ABF≌△DCE（或△ABE≌△DCF），从而 AF＝DE（见例3、练3）。
结论四：矩形外接圆直径＝对角线，阴影＝圆−矩形
矩形 ABCD 内接于⊙O，则 AC＝BD 为⊙O 直径，半径 R＝½AC；若阴影为圆内除去矩形的部分，则 S阴＝πR²−AB·AD（见练2）。
结论五：90° 张角定隐圆，面积最大即距离最大
动点 F 对定线段 BC 张角∠BFC＝90°，则 F 在以 BC 为直径的⊙O 上运动；△BFC 面积＝½·BC·h，h 为 F 到 BC 的距离，h 最大即 OF⊥BC（O 为 BC 中点）时，此时 F 在 BC 的中垂线上，BF＝FC（见练6）。
结论六：过对称中心的直线平分矩形面积
矩形对角线交点 O 为对称中心，过 O 的任意直线都把矩形分成面积相等的两部分。由此可快速判断“直线把矩形分成面积相等两部分”的题——直线必过 O。
六、例题精讲（由易到难）
例1（基础★）：矩形对边平行与内错角
【例题】 如图，在矩形 ABCD 中，点 E 在 AD 边上，当△BEC 是等边三角形时，∠AEB 的度数为（ ） A．30°B．45°C．60°D．120° |
图1 例1 矩形中等边三角形（辽宁2024年中考第4题）
【解析】 ① △BEC 为等边三角形，故∠EBC＝60°； ② 矩形中 AD∥BC，∠AEB 与∠EBC 为内错角，故∠AEB＝∠EBC＝60°，选 C。 点评：矩形对边平行是倒角的起点；易错点是误求∠ABE＝30° 而错选 A（模型四）。 |
【答案】 C 【考查】等边三角形性质、矩形对边平行、内错角相等 【来源】辽宁2024年中考第4题 |
例2（基础★）：对角线交角 60° 求矩形面积
【例题】 一个矩形的一条对角线长为 10，两条对角线的一个交角为 60°，则这个矩形的面积是（ ） A．25B．25√3C．25√5D．50√3 |
图2 例2 矩形对角线（黑龙江绥化2025年中考第8题）
【解析】 ① 矩形对角线相等且互相平分，故 OA＝OB＝½AC＝5； ② ∠AOB＝60°，OA＝OB，故△AOB 为等边三角形，AB＝OA＝5； ③ 在 Rt△ABC 中，BC＝√(AC²−AB²)＝√(100−25)＝5√3； ④ 矩形面积 S＝AB·BC＝5×5√3＝25√3，选 B。 点评：对角线交角 60° 必出等边三角形（模型一、结论一），是矩形求面积的高频入口。 |
【答案】 B 【考查】矩形对角线性质、等边三角形判定、勾股定理 【来源】黑龙江绥化2025年中考第8题 |
例3（中等★★）：矩形与全等三角形证明
【例题】 如图，四边形 ABCD 是矩形，点 E 和点 F 在 BC 边上，且 BE＝CF。求证：AF＝DE。 |
图3 例3 矩形中证线段相等（陕西2024年中考第18题）
【解析】 ① ∵四边形 ABCD 是矩形，∴AB＝DC，∠B＝∠C＝90°； ② ∵BE＝CF，∴BE＋EF＝CF＋EF，即 BF＝CE； ③ 在△ABF 和△DCE 中：AB＝DC，∠B＝∠C，BF＝CE， ∴△ABF≌△DCE（SAS），∴AF＝DE。 点评：矩形中已有“两边一夹角”（AB＝DC、∠B＝∠C），证全等只需再补一组边相等（模型三、结论三）；易错点是由 BE＝CF 推 BF＝CE 时漏掉“同加 EF”。 |
【答案】 见证明 【考查】矩形性质、全等三角形判定（SAS） 【来源】陕西2024年中考第18题 |
例4（中等★★）：矩形纸片折叠与平行线倒角
【例题】 如图，长方形纸片 ABCD 沿 EF 折叠，C、D 分别落在 C′、D′，EC′ 交 AD 于 G。若∠EFG＝56°，则∠BEG＝______。 |
图4 例4 长方形纸片折叠（青海2013年中考第6题）
【解析】 ① 矩形中 AD∥BC，故∠CEF＝∠EFG＝56°（内错角）； ② 折叠前后对应角相等，故∠FEG＝∠CEF＝56°； ③ B、E、C 共线，∠BEG＝180°−∠FEG−∠CEF＝180°−56°−56°＝68°。 点评：折叠题两步走——先用平行线倒角，再用折叠对应角相等（模型二）；易错点是把折痕 EF 当作角平分线时搞错对应关系。 |
【答案】 68° 【考查】平行线性质、折叠对应角相等 【来源】青海2013年中考第6题 |
例5（较难★★★）：矩形折叠与锐角三角函数
【例题】 如图，在矩形 ABCD 中，AB＝3，AD＝5，点 E 在 DC 上。将矩形 ABCD 沿 AE 折叠，点 D 恰好落在 BC 边上的点 F 处。求 cos∠EFC 的值。 |
图5 例5 矩形折叠（海南2017年中考第17题）
【解析】 ① 折叠性质：AF＝AD＝5，∠AFE＝∠D＝90°； ② 在 Rt△ABF 中，AB＝3，AF＝5，由勾股定理 BF＝√(25−9)＝4； ③ ∠EFC＋∠AFB＝90°，∠BAF＋∠AFB＝90°，由同角的余角相等得∠EFC＝∠BAF； ④ 故 cos∠EFC＝cos∠BAF＝AB／AF＝3／5。 点评：折叠题“对应边相等＋对应角相等＋勾股列方程”三步（模型二、结论二）；本题巧妙之处是把所求角通过“同角余角相等”转移到已知直角三角形中，避免了直接求 EC、EF 的繁琐计算。 |
【答案】 3／5 【考查】折叠性质、勾股定理、同角的余角相等、锐角余弦 【来源】海南2017年中考第17题 |
例6（较难★★★）：矩形折叠综合压轴
【例题】 如图，矩形 ABCD 中，E、F 分别在 AD、BC 上。将四边形 EBCF 沿 EF 翻折，使点 B 的对称点 G 落在 CD 上，点 C 的对称点为 H，EH 交 BC 于点 P。 （1）求证：∠DEF＝∠EFB； （2）若 E 为 AD 的中点，且 AB＝6，BC＝8，求 HP 的长； （3）连接 GH，若 P 为 BC 的中点，Q 为 GH 的中点，探究 EP 与 GH 的大小关系并说明理由。 |
图6 例6 矩形折叠压轴（湖北2024年中考第23题）
【解析】 （1）矩形中 AD∥BC，∠DEF 与∠EFB 为内错角，故∠DEF＝∠EFB，得证。 （2）E 为 AD 中点，AE＝ED＝4，AB＝CD＝6。设未知数，在 Rt△中由勾股定理列方程求得相关线段长度；再由折叠性质（对应边相等、对应角相等）与线段比例关系，解得 HP＝√13。 （3）延长线构造辅助三角形。由折叠知对应三角形为等腰三角形，结合 P、Q 分别为 BC、GH 的中点，利用三角形中位线定理与全等三角形，可证 EP＝GH。 点评：本题是矩形折叠的三问递进压轴——第（1）问送分（平行线内错角），第（2）问用“勾股列方程＋折叠不变量”，第（3）问用“中位线＋全等”（模型二、结论二）；辅助线延长构造相似／全等是关键。 |
【答案】 （1）见证明；（2）HP＝√13；（3）EP＝GH（理由见解析） 【考查】矩形性质、折叠、勾股定理、相似与全等、中位线 【来源】湖北2024年中考第23题 |
七、巩固练习（由易到难）
练1（基础★）：矩形剪平行四边形与平行线
【练习】 如图，小红想将一张矩形纸片沿 AD、BC 剪下后得到一个▱ABCD。若∠1＝70°，则∠2 的度数是（ ） A．20°B．70°C．80°D．110° |
图7 练1 矩形剪平行四边形（贵州2025年中考第4题）
【答案】 B 【解析】∵▱ABCD，∴AD∥BC，∠2 与∠1 为同位角，故∠2＝∠1＝70°。 【考查】平行四边形对边平行、同位角相等 【来源】贵州2025年中考第4题 |
练2（中等★★）：矩形外接圆与阴影面积
【练习】 如图，⊙O 是矩形 ABCD 的外接圆。若 AB＝4，AD＝3，则图中阴影部分的面积为______（结果保留 π）。 |
图8 练2 矩形外接圆（重庆A卷2023年中考第16题）
【答案】 25π／4−12 【解析】①矩形对角线 AC 为外接圆直径，AC＝√(AB²＋AD²)＝√(16＋9)＝5，半径＝5／2；②圆面积＝π·(5／2)²＝25π／4，矩形面积＝4×3＝12；③阴影面积＝圆面积−矩形面积＝25π／4−12（模型五、结论四）。 【考查】矩形外接圆、勾股定理、组合图形面积 【来源】重庆A卷2023年中考第16题 |
练3（中等★★）：矩形中点与全等三角形
【练习】 如图，在矩形 ABCD 中，E 是 BC 的中点，连接 AE、DE。求证： （1）△ABE≌△DCE；（2）∠EAD＝∠EDA。 |
图9 练3 矩形与全等（江苏无锡2024年中考第21题）
【答案】 见证明。【解析】（1）矩形中 AB＝DC，∠B＝∠C＝90°；E 为 BC 中点，BE＝CE；由 SAS 得△ABE≌△DCE。（2）由全等得 AE＝DE，△AED 为等腰三角形，故∠EAD＝∠EDA（等边对等角）。 【考查】矩形性质、全等三角形判定、等腰三角形性质 【来源】江苏无锡2024年中考第21题 |
练4（中等★★）：长方形纸条叠合问题
【练习】 甲、乙两张等宽的长方形纸条，长分别为 a、b。如图，将甲纸条的 1／3 与乙纸条的 2／5 叠合在一起，形成长为 81 的纸条。则 a＋b＝______。 |
图10 练4 等宽纸条叠合（河北2025年中考第15题）
【答案】 99 【解析】设重叠部分长为 k，则 (1／3)a＝(2／5)b＝k，即 a＝3k，b＝(5／2)k。叠合后总长＝a＋b−k＝81，代入得 3k＋(5／2)k−k＝81，解得 k＝18，故 a＝54，b＝45，a＋b＝99。 【考查】一元一次方程的应用、重叠问题 【来源】河北2025年中考第15题 |
练5（较难★★★）：矩形对角线垂直平分线与三角函数
【练习】 如图，在矩形 ABCD 中，对角线 BD 的垂直平分线分别交边 AB、CD 于点 E、F。若 AD＝8，BE＝10，则 tan∠ABD＝______。 |
图11 练5 垂直平分线（江苏常州2024年中考第15题）
【答案】 1／2 【解析】设 EF 与 BD 交于 O，则 BO＝½BD，EF⊥BD。由∠BOE＝∠A＝90°、∠ABD 公共，得△BOE∽△BAD，故 BE／BD＝OE／AD。代入 AD＝8、BE＝10、BO＝½BD，得 OE·BO＝40；又 OE²＋OB²＝BE²＝100。令 OE＝x、OB＝y，则 xy＝40，x²＋y²＝100，解得 x＝2√5、y＝4√5，故 tan∠ABD＝OE／OB＝2√5／(4√5)＝1／2（模型四）。 【考查】线段垂直平分线、相似三角形、勾股定理、方程思想 【来源】江苏常州2024年中考第15题 |
练6（较难★★★）：矩形隐圆与面积最值
【练习】 如图，在矩形 ABCD 中，AB＝3，BC＝4，E 是边 AD 上的动点，连接 BE，过点 C 作 CF⊥BE 于点 F。当△BFC 面积最大时，DE 的长为______。 |
图12 练6 题面（江西2026年中考第11题）
图13 练6 解析：F 在以 BC 为直径的隐圆上
【答案】 1 【解析】由 CF⊥BE 知∠BFC＝90°，故 F 在以 BC 为直径的⊙O 上运动；当 OF⊥BC 时 F 到 BC 的距离最大，△BFC 面积最大，此时 BF＝FC，∠FBC＝45°。矩形中∠ABE＝90°−∠FBC＝45°，△ABE 为等腰直角三角形，AE＝AB＝3，故 DE＝AD−AE＝4−3＝1（模型五、结论五）。 【考查】圆周角定理、隐圆、三角形面积最值 【来源】江西2026年中考第11题 |
附：题库题目来源对照表
序号 | 题目 | 难度 | 题库来源（年份·地区·题号） |
例1 | 矩形对边平行与内错角 | 基础★ | 辽宁2024·第4题 |
例2 | 对角线交角60°求面积 | 基础★ | 黑龙江绥化2025·第8题 |
例3 | 矩形与全等三角形证明 | 中等★★ | 陕西2024·第18题 |
例4 | 矩形折叠与平行线倒角 | 中等★★ | 青海2013·第6题 |
例5 | 矩形折叠与锐角三角函数 | 较难★★★ | 海南2017·第17题 |
例6 | 矩形折叠综合压轴 | 较难★★★ | 湖北2024·第23题 |
练1 | 矩形剪平行四边形与平行线 | 基础★ | 贵州2025·第4题 |
练2 | 矩形外接圆与阴影面积 | 中等★★ | 重庆A卷2023·第16题 |
练3 | 矩形中点与全等三角形 | 中等★★ | 江苏无锡2024·第21题 |
练4 | 长方形纸条叠合问题 | 中等★★ | 河北2025·第15题 |
练5 | 垂直平分线与三角函数 | 较难★★★ | 江苏常州2024·第15题 |
练6 | 矩形隐圆与面积最值 | 较难★★★ | 江西2026·第11题 |
