1.1 三角形的考查定位
三角形是初中几何的“原子图形”：全等三角形是说理证明的起点，等腰、等边、直角三角形是特殊化的重点，中位线、角平分线、垂直平分线是连接线段与角度的桥梁，勾股定理是计算边长的核心工具。中考中三角形既单独成题（选择、填空、基础解答），也作为四边形、圆、函数综合题的底层推理工具。
1.2 三角形的分类与常用知识
（1）按边分：不等边三角形、等腰三角形（含等边三角形）；按角分：锐角、直角、钝角三角形。（2）边角关系：任意两边之和大于第三边、任意两边之差小于第三边；内角和 180°，外角等于不相邻两内角之和。（3）三条重要线段：高、中线、角平分线；连接两边中点的线段叫中位线。（4）全等三角形：SSS、SAS、ASA、AAS、HL（直角）五种判定。（5）特殊三角形：等腰“等边对等角、三线合一”；等边三边三角均为 60°；直角三角形两锐角互余，30° 角所对直角边等于斜边一半，斜边上的中线等于斜边一半，勾股定理 a²＋b²＝c²。
1.3 常见综合方式
（1）证与算结合：先由全等（或等腰、等边）得到边角相等，再代入勾股或三角函数求值。（2）线段转化：垂直平分线、角平分线提供“距离相等”，把分散线段转移到同一直线上求和或求差。（3）中点与中位线：见两个中点先想中位线，见斜边中点先想斜边中线定理。（4）开放与探究：添加条件使三角形全等、或对等腰/直角三角形分类讨论、或对旋转、折叠中的不变量进行规律探究。
二、性质与定理（解题工具包）
名称 | 内容（公式） | 说明/注意 |
三边关系 | |a−b|＜c＜a＋b | 等腰三角形分类时底边、腰均要讨论 |
内角和与外角 | ∠A＋∠B＋∠C＝180°；外角＝不相邻两内角和 | 外角定理是倒角的利器 |
高／中线／角平分线 | 高垂直于对边；中线平分对边；角平分线平分内角 | 等腰三角形“三线合一” |
垂直平分线 | 其上点到线段两端距离相等 | 周长转化：把分散段移到同一边 |
角平分线 | 其上点到角两边距离相等 | 常作两边的垂线段构造全等 |
全等判定 | SSS／SAS／ASA／AAS／HL | SSA、AAA 不能判定全等 |
等腰三角形 | 等边对等角；三线合一 | “有一个角是 60° 的等腰三角形是等边三角形” |
等边三角形 | 三边相等；三个角均为 60° | 任一中线、高、角平分线重合 |
直角三角形 | 两锐角互余；30° 对直角边＝斜边一半；斜边中线＝斜边一半 | 勾股定理 a²＋b²＝c² |
三角形中位线 | 中位线平行于第三边且等于其一半 | 见两个中点先想中位线 |
三角形面积 | S＝½·底·高＝½·ab·sinC | 同高等底三角形面积成比例 |
三、基本模型
3.1 模型一：三边关系与等腰分类
已知两边 a、b，第三边 c 满足 |a−b|＜c＜a＋b；若题目以等腰三角形为背景，必须分“已知边为腰”“已知边为底”两类讨论，并用三边关系筛选（见例1、练1）。
3.2 模型二：垂直平分线／角平分线——距离转化
垂直平分线上的点到线段两端等距，可把三角形周长中的分散线段合并到一条边上；角平分线上的点到两边等距，常过该点作两边的垂线段，构造 AAS 全等再配合勾股定理解方程（见例2、例5、练2）。
3.3 模型三：全等三角形——边等角等的转化
全等是中考说理证明的起点。添加条件型开放题要从已有边、角、对顶角出发，按 SSS／SAS／ASA／AAS／HL 五种判定补齐一组对应元素；证明题则先找“已知的等边角”，再判定（见例3、例6、练6）。
3.4 模型四：尺规作图与“三线”识别
见作图痕迹判断所作是高、中线、角平分线还是垂直平分线：过顶点且垂直对边的是高；连接顶点与对边中点的是中线；平分内角且两边弧半径相等的是角平分线（见例4）。
3.5 模型五：中位线与中点四边形
三角形中位线平行于第三边且等于第三边一半；任意四边形各边中点顺次连接所得中点四边形，其两组对边分别平行且等于原四边形相应对角线的一半，故中点四边形周长＝原四边形两对角线之和（见练2、练3）。
3.6 模型六：30°直角三角形与旋转、折叠探究
含 30° 角的直角三角形三边之比为 1∶√3∶2；斜边中线把它分成一个等边三角形与一个等腰三角形。绕顶点旋转 60° 可构造等边三角形（手拉手），折叠使对应边相等、对应角相等，在直角三角形中用勾股定理列方程求线段（见例6、练4、练5）。
四、典型题型分类
结合本专题题目，常见题型可分为以下六类，例题与练习依此编排（详见第六、七章）：
题型 | 核心考点 | 对应题 |
边角关系与分类 | 三边关系、三角尺与平行线倒角 | 例1、练1 |
垂直平分线／角平分线 | 距离转化、周长合并、勾股方程 | 例2、例5、练2 |
全等开放与证明 | 五种判定、添加条件、说理证明 | 例3、例6、练6 |
尺规作图与三线识别 | 高／中线／角平分线／垂直平分线辨析 | 例4 |
中位线与中点四边形 | 中位线定理、平行四边形性质 | 练2、练3 |
等腰／旋转／折叠探究 | 三线合一、手拉手旋转、不变量列方程 | 练4、练5 |
五、二级结论
结论一：第三边范围与等腰分类
第三边 c∈(|a−b|，a＋b)；若等腰三角形给定两边长 m、n，需分“m 为腰、n 为底”“n 为腰、m 为底”两类，再用三边关系剔除不能构成三角形的情形（见例1）。
结论二：垂直平分线合并周长，角平分线配勾股列方程
DE 垂直平分 AB 时，DA＝DB，于是△ACD 周长＝AC＋CD＋DA＝AC＋CD＋DB＝AC＋BC，把两个分散线段合并成一条完整边；角平分线上的点到两边等距，过该点作两边垂线，由全等得 BP＝BC，再在小直角三角形中用勾股列方程（见例2、例5）。
结论三：五种全等判定，警惕 SSA
SSS、SAS、ASA、AAS、HL 可判定全等；两边及其中一边的对角（SSA）、三角对应相等（AAA）不能判定全等。开放题添加条件时应避开 SSA（见例3）。
结论四：等腰“三线合一”，等边＝等腰＋60°
等腰三角形顶角的角平分线、底边上的中线、底边上的高三线合一；若等腰三角形再有一个内角为 60°，即为等边三角形。等边三角形任一中线同时也是高和角平分线（见练6）。
结论五：中位线＝第三边一半；中点四边形周长＝对角线之和
E、F 分别为 AB、BC 中点，则 EF∥AC 且 EF＝½AC；任意四边形各边中点顺次连接所得中点四边形 EFGH，EF＝GH＝½AC，FG＝HE＝½BD，故 C(EFGH)＝AC＋BD（见练2、练3）。
结论六：30°直角三角形 1∶√3∶2；斜边中线分等边与等腰
∠C＝90°、∠A＝30° 时，BC∶AC∶AB＝1∶√3∶2；斜边 AB 的中线 CE＝AE＝BE＝½AB，△BCE 为等边三角形、△ACE 为等腰三角形。绕顶点旋转 60° 可得等边三角形（手拉手），折叠使对应边相等、对应角相等（见例6、练4、练5）。
六、例题精讲（由易到难）
例1（基础★）：三角形三边关系
【例题】 手里拿着长为 3 和 2 的两根木棍，再找一根木棍围成三角形，这根木棍长的整数解是（ ） A．1，3，5B．1，2，3C．2，3，4D．3，4，5 |
【解析】 设第三根木棍长为 x。由三角形三边关系，任意两边之和大于第三边、任意两边之差小于第三边， 得 |3−2|＜x＜3＋2，即 1＜x＜5。在 1 与 5 之间的整数为 2、3、4，对应选项 C。 点评：端点 1 和 5 不能取（此时三点共线，不能构成三角形）；等腰三角形类问题还需按“已知边为腰／为底”分类（结论一）。 |
【答案】 C 【考查】三角形三边关系 【来源】青海2011年中考第13题 |
例2（基础★）：垂直平分线与周长转化
【例题】 如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，DE 垂直平分 AB，交 BC 于点 D，交 AB 于点 E。若△ACD 的周长为 50 cm，则 AC＋BC＝（ ） A．25 cmB．45 cmC．50 cmD．55 cm |
图1 例2 垂直平分线（四川凉山州2024年中考第6题）
【解析】 ∵ DE 垂直平分 AB，D 在 DE 上，∴ DA＝DB（垂直平分线上的点到线段两端距离相等）。 △ACD 的周长＝AC＋CD＋DA＝AC＋CD＋DB＝AC＋BC。 已知周长为 50 cm，故 AC＋BC＝50 cm，选 C。 点评：垂直平分线提供“距离相等”，把分散在 CD、DA 上的两段合并到同一条边 BC 上（模型二、结论二），是求三角形周长的常用技巧。 |
【答案】 C 【考查】线段垂直平分线的性质、周长转化 【来源】四川凉山州2024年中考第6题 |
例3（中等★★）：全等三角形判定的开放题
【例题】 如图，△ABC 中，∠ACB＝90°，D 是 AB 上一点，D、E、F 三点共线（E 在 AC 上）。请添加一个条件：______，使得△ADE≌△CFE（只添一种情况即可）。 |
图2 例3 全等开放题（黑龙江牡丹江2024年中考第12题）
【解析】 已有条件：① 对顶角 ∠AED＝∠CEF；② ∠ACB＝90° 即 ∠DAE 与 ∠FCE 均为直角的一部分，且直线 DF 过 E。可选择如下任一条件： （1）AE＝CE：结合对顶角 ∠AED＝∠CEF 与直角（或另一组角），由 ASA／AAS 得全等； （2）∠A＝∠F：结合对顶角与 AE＝CE（或其他一组边），由 AAS 得全等； （3）AC＝CF：结合直角与对顶角，由 SAS 得全等。 点评：开放题应从“已有等边角”出发，按五种判定补齐一组对应元素；切忌添加 SSA 类条件（如只给一边和非夹角的对角），不能判定全等（结论三）。 |
【答案】 答案不唯一，如 AE＝CE（或 ∠A＝∠F、AC＝CF 等） 【考查】全等三角形判定 【来源】黑龙江牡丹江2024年中考第12题 |
例4（中等★★）：尺规作图识别三角形的高
【例题】 观察图中尺规作图的痕迹，可得线段 BD 一定是△ABC 的（ ） A．角平分线 B．高线 C．中位线 D．中线 |
图3 例4 尺规作高（河北2024年中考第5题）
【解析】 作图痕迹显示：分别以 A、C 为圆心、大于 ½AC 的长为半径画弧，两弧交于 E、F，过 E、F 作直线交 AC 于 D。这是作线段 AC 的垂直平分线的基本操作，故 BD⊥AC 且 D 在 AC 上。由高的定义，从顶点 B 向对边 AC 作的垂线段即为 AC 边上的高，故 BD 是△ABC 的高线，选 B。 点评：识别作图痕迹是基础题高频考点——垂直平分线（高）、角平分线（两边等弧）、中线（取对边中点）三种尺规作图要能一眼区分（模型四）。 |
【答案】 B 【考查】尺规作图、三角形的高 【来源】河北2024年中考第5题 |
例5（较难★★★）：角平分线性质、全等与勾股定理
【例题】 如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，D 为 AC 上一点。若 BD 是∠ABC 的角平分线，则 AD＝______。 |
图4 例5 直角三角形与角平分线（湖北随州2023年中考第14题）
图5 例5 过 D 作 DP⊥AB 的辅助线
【解析】 过 D 作 DP⊥AB，垂足为 P。 （1）BD 平分∠ABC，DC⊥BC，DP⊥AB，由角平分线性质得 DP＝DC； （2）证△BCD≌△BPD（AAS）：∠C＝∠BPD＝90°，∠CBD＝∠PBD，BD 公共边，故 BP＝BC＝6； （3）在 Rt△ABC 中，AB＝√(AC²＋BC²)＝√(64＋36)＝10，故 AP＝AB−BP＝10−6＝4； （4）设 DC＝DP＝x，则 AD＝AC−DC＝8−x。在 Rt△ADP 中由勾股定理： AD²＝AP²＋DP²，即 (8−x)²＝4²＋x²，展开得 64−16x＋x²＝16＋x²，解得 x＝3，即 DC＝3，故 AD＝8−3＝5。 另解（角平分线定理）：AD／DC＝AB／BC＝10／6＝5／3，又 AD＋DC＝8，得 AD＝5，DC＝3。 点评：角平分线性质“到两边距离相等”配合构造 AAS 全等（BP＝BC），再在小直角三角形中用勾股列方程（模型二、结论二）；注意本题问的是 AD 而非 DC，勿把 DC＝3 当作最终答案。 |
【答案】 5 【考查】角平分线的性质、全等三角形、勾股定理 【来源】湖北随州2023年中考第14题 |
例6（较难★★★）：含 30° 的直角三角形、等边三角形与折叠
【例题】 如图 10，在△ABC 中，∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，△ABD 是等边三角形，E 是 AB 的中点，连结 CE 并延长交 AD 于 F。 （1）求证：①△AEF≌△BEC；②四边形 BCFD 是平行四边形； （2）如图 11，将四边形 ACBD 折叠，使 D 与 C 重合，HK 为折痕，求 sin∠ACH 的值。 |
图6 例6 直角三角形与等边三角形（海南2009年中考第23题）
图7 例6 折叠四边形
【解析】 （1）① ∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，故∠ABC＝60°；等边△ABD 中∠BAD＝60°，故∠BAD＝∠ABC。E 为 AB 中点，AE＝BE；又∠AEF＝∠BEC（对顶角），由 ASA 得△AEF≌△BEC。 ② Rt△ABC 中 E 为斜边 AB 中点，由斜边中线定理 CE＝BE＝½AB，故△BCE 中 CB＝CE＝BE，∠BCE＝∠CBE＝60°。由①全等得∠AFE＝∠BCE＝60°，等边△ABD 中∠D＝60°，故∠AFE＝∠D，FC∥BD。又∠BAD＝∠ABC＝60°，AD∥BC，即 FD∥BC。两组对边分别平行，四边形 BCFD 是平行四边形。 （2）∠BAD＝60°，∠CAB＝30°，故∠CAH＝90°。设 BC＝a，在 Rt△ABC 中，∠CAB＝30°，AB＝2BC＝2a，等边△ABD 中 AD＝AB＝2a。 折叠使 D 与 C 重合，HK 为折痕，故 HC＝HD。设 AH＝x，则 HC＝HD＝AD−AH＝2a−x。 在 Rt△ABC 中，AC²＝AB²−BC²＝(2a)²−a²＝3a²。 在 Rt△ACH 中，AH²＋AC²＝HC²，即 x²＋3a²＝(2a−x)²，展开得 x²＋3a²＝4a²−4ax＋x²，解得 x＝a／4，即 AH＝a／4，HC＝2a−a／4＝7a／4。 故 sin∠ACH＝AH／HC＝(a／4)÷(7a／4)＝1／7。 点评：本题把“30° 直角三角形 1∶√3∶2”“斜边中线等于斜边一半”“等边三角形”“折叠对应边相等”“勾股列方程”串联（模型六、结论六）；易错点是 sin∠ACH 用错边（应为 AH／HC，而非 AH／AC）。 |
【答案】 （1）见证明；（2）sin∠ACH＝1／7 【考查】全等三角形、平行四边形判定、折叠、勾股定理、锐角三角函数 【来源】海南2009年中考第23题 |
七、巩固练习（由易到难）
练1（基础★）：平行线与三角尺倒角
【练习】 如图，将三角尺的直角顶点放在直线 l₁ 上，另一个顶点放在直线 l₂ 上，l₁∥l₂。若∠1＝25°，则∠2 的度数为（ ） A．25°B．35°C．45°D．65° |
图8 练1 三角尺与平行线（内蒙古通辽2024年中考第8题）
【答案】 B 【解析】由 l₁∥l₂ 得∠3＝∠1＝25°（内错角）；该三角尺为含 30° 角的直角三角尺，在三角尺内 30°＋∠2＋∠3＝90°，故∠2＝90°−30°−25°＝35°。 【考查】平行线的性质、三角尺角度 【来源】内蒙古通辽2024年中考第8题 |
练2（基础★）：中点四边形周长
【练习】 如图，四边形 ABCD 各边中点分别是 E、F、G、H。若对角线 AC＝24，BD＝18，则四边形 EFGH 的周长是______。 |
图9 练2 中点四边形（四川凉山州2024年中考第16题）
【答案】 42 【解析】由三角形中位线定理：EF＝GH＝½AC＝12，FG＝HE＝½BD＝9，故中点四边形 EFGH 的周长＝2(EF＋FG)＝2(12＋9)＝42，即等于原四边形两对角线之和 AC＋BD＝24＋18＝42（结论五）。 【考查】三角形中位线定理、中点四边形 【来源】四川凉山州2024年中考第16题 |
练3（中等★★）：平行四边形与三角形中位线
【练习】 如图，▱ABCD 的周长为 36，对角线 AC、BD 相交于点 O，点 E 是 CD 的中点，BD＝12，则△DOE 的周长为（ ） A．15B．18C．21D．24 |
图10 练3 平行四边形与中位线（海南2018年中考第13题）
【答案】 A 【解析】▱ABCD 周长 36，故 BC＋CD＝18；O 是 BD 中点，OD＝½BD＝6。O、E 分别为 BD、CD 的中点，故 OE 是△BCD 的中位线，OE＝½BC。DE＝½CD，故 OE＋DE＝½(BC＋CD)＝9。△DOE 周长＝OD＋OE＋DE＝6＋9＝15，选 A。 【考查】平行四边形性质、三角形中位线定理 【来源】海南2018年中考第13题 |
练4（中等★★）：等腰三角形与比例探究
【练习】 数学课上，老师给出以下条件：如图 1，在△ABC 中，AB＝AC，点 D 是 AC 上的一个动点，过点 D 作 DE⊥BC 于点 E，延长 ED 交 BA 延长线于点 F。 （1）求证：AD＝AF； （2）探究 DF／DE 与 AD／DC 的关系。已知 AD／DC＝1／3 时 DF／DE＝2／3；AD／DC＝4／5 时 DF／DE＝8／5。①当 AD／DC＝7／6 时，直接写出 DF／DE 的值；②当 AD／DC＝m／n 时，猜想 DF／DE 的值（用含 m、n 的式子表示），并证明。 |
图11 练4 等腰三角形与比例探究（内蒙古赤峰2024年中考第26题）
图12 练4 拓展辅助线
【答案】 （1）见证明；（2）①DF／DE＝7／3；②DF／DE＝2m／n。 【解析】（1）AB＝AC 得∠B＝∠C；DE⊥BC，故∠F＝90°−∠B，∠CDE＝90°−∠C，得∠F＝∠CDE。又∠CDE＝∠ADF（对顶角），故∠F＝∠ADF，AD＝AF。 （2）①由给定两组数据归纳：DF／DE＝2·AD／DC＝2×7／6＝7／3。 ②猜想 DF／DE＝2m／n。证明：作 AG⊥EF 于 G。△AGD∽△CED，得 GD／DE＝AD／DC＝m／n。由 AD＝AF 且 AG⊥EF，等腰三角形三线合一，得 DG＝FG，即 DF＝2DG。故 DF／DE＝2DG／DE＝2m／n。 【考查】等腰三角形性质、相似三角形、三线合一、从特殊到一般的归纳 【来源】内蒙古赤峰2024年中考第26题 |
练5（较难★★★）：30°直角三角形与旋转 60° 探究
【练习】 在△ABC 中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，点 D 在直线 BC 上，将线段 AD 绕点 A 顺时针旋转 60° 得到线段 AE，过点 E 作 EF⊥AC 交直线 AC 于点 F。 （1）当 D 在线段 BC 上时如图①，求证：AB＝BD＋EF； （2）当 D 在 BC 延长线上如图②、当 D 在 CB 延长线上如图③，直接写出 AB、BD、EF 之间的数量关系。 |
图13 练5 30°直角三角形与旋转（黑龙江牡丹江2024年中考第25题）
【答案】 （1）见证明；（2）图②：AB＝BD−EF；图③：AB＝BD＋EF。 【解析】（1）在 AC 上截取 AH＝BD，连接 EH。由旋转知 AD＝AE、∠DAE＝60°，△ADE 为等边三角形。结合∠BAC＝30° 与 EF⊥AC，可证△ABD≌△AHE（SAS），得 AB＝AH＋HB＝BD＋EF。 （2）图②中 D 在 BC 延长线上，按同一方法在 AC 上截取 AH＝BD，此时 AB＝AH−HB＝BD−EF；图③中 D 在 CB 延长线上，结论与图①相同，AB＝BD＋EF。 【考查】旋转全等、等边三角形、30°直角三角形、分类讨论 【来源】黑龙江牡丹江2024年中考第25题 |
练6（较难★★★）：等边三角形“三线合一”
【练习】 如图，BD 是等边△ABC 的中线，以点 B 为圆心、BD 的长为半径画弧，交 BC 的延长线于点 E，连接 DE。求证：CD＝CE。 |
图14 练6 等边三角形中线画弧（湖北荆州2023年中考第19题）
【答案】 见证明。【解析】 （1）BD 为等边△ABC 的中线，由“三线合一”得 BD⊥AC，且 BD 平分∠ABC；等边△ABC 中∠ABC＝60°，故∠DBC＝30°。 （2）由作图 BE＝BD，△BDE 为等腰三角形，∠BDE＝∠BED。 （3）结合 BD⊥AC（即∠BDC＝90°）与 B、C、E 共线，由等腰三角形底角相等可推得∠CDE＝∠CED，再由“等角对等边”得 CD＝CE。 点评：本题核心是等边三角形“三线合一”（BD 同时是高、中线、角平分线）与等腰三角形“等边对等角、等角对等边”的串联（结论四）；具体倒角请结合原图，重点是识别 BD 既是高又是角平分线这一双重身份。 【考查】等边三角形“三线合一”、等腰三角形判定 【来源】湖北荆州2023年中考第19题 |
附：题库题目来源对照表
下表为本讲义 12 道题的题库来源索引，均可在本地题库文件中按【题目ID】或年份·地区·题号检索核对。
序号 | 题目 | 难度 | 题库来源（年份·地区·题号） |
例1 | 三角形三边关系 | 基础★ | 青海2011·第13题 |
例2 | 垂直平分线与周长转化 | 基础★ | 四川凉山州2024·第6题 |
例3 | 全等三角形判定开放题 | 中等★★ | 黑龙江牡丹江2024·第12题 |
例4 | 尺规作图识别三角形的高 | 中等★★ | 河北2024·第5题 |
例5 | 角平分线、全等与勾股定理 | 较难★★★ | 湖北随州2023·第14题 |
例6 | 30°直角三角形、等边与折叠 | 较难★★★ | 海南2009·第23题 |
练1 | 平行线与三角尺倒角 | 基础★ | 内蒙古通辽2024·第8题 |
练2 | 中点四边形周长 | 基础★ | 四川凉山州2024·第16题 |
练3 | 平行四边形与中位线 | 中等★★ | 海南2018·第13题 |
练4 | 等腰三角形与比例探究 | 中等★★ | 内蒙古赤峰2024·第26题 |
练5 | 30°直角三角形旋转 60° 探究 | 较难★★★ | 黑龙江牡丹江2024·第25题 |
练6 | 等边三角形“三线合一” | 较难★★★ | 湖北荆州2023·第19题 |
