中考数学总复习专题讲义，主要适用于学生归纳总结复习用，提高综合分析能力，解决压轴题，内容全面系统，讲义中所选题目均为中考真题，家长需要可编辑打印版，可以微信联系我提供。）
一、基本内容
1.1 数据的收集与整理
（1）调查方式：对全体对象进行调查叫全面调查（普查）；从总体中抽取一部分对象进行调查叫抽样调查。当总体过大、调查具有破坏性或耗时过长时宜用抽样调查；总体较小且易操作时用全面调查。（2）相关概念：总体、个体、样本、样本容量；样本容量是一个数目，不带单位。（3）分组整理：各组数据的个数叫频数，各组频数之和等于数据总数；频数与总数的比叫频率，各组频率之和等于 1。
1.2 数据的集中趋势
（1）平均数：一组数据 x₁，x₂，…，xₙ 的平均数等于各数据之和除以数据个数。（2）加权平均数：当各组数据 x₁，x₂，…，xₖ 分别出现（被赋予权）f₁，f₂，…，fₖ 次时，加权平均数等于 (f₁x₁＋f₂x₂＋…＋fₖxₖ)÷(f₁＋f₂＋…＋fₖ)，频数即为“权”。（3）中位数：把数据按大小顺序排列后，处于最中间位置的一个数（数据个数为偶数时，取中间两个数的平均数）。（4）众数：一组数据中出现次数最多的数据，众数可以不唯一。
1.3 数据的离散程度
（1）极差＝最大值−最小值，反映一组数据的波动范围。（2）方差：s²＝[(x₁−x̄)²＋(x₂−x̄)²＋…＋(xₙ−x̄)²]÷n，其中 x̄ 为平均数；方差的算术平方根叫标准差。（3）方差（标准差）越小，说明数据越集中、越稳定；方差越大，说明数据波动越大。
1.4 统计图表的阅读
（1）条形统计图：用长方形的高表示各类数据的多少，便于比较各部分数量；（2）扇形统计图：用扇形面积占圆面积的百分比表示各部分占总体的比例，各部分百分比之和为 100%；（3）折线统计图：反映数据随时间（或顺序）的变化趋势，直观看出波动大小；（4）频数分布直方图：横轴为分组、纵轴为频数，长方形的高即各组频数，各组频数之和等于样本容量；（5）统计表：集中列出频数、频率，便于互算与核对。
二、性质与定理（解题工具包）
名称 | 内容（公式） | 说明/注意 |
平均数 | x̄＝(x₁＋x₂＋…＋xₙ)÷n | 反映平均水平，易受极端值影响 |
加权平均数 | x̄＝(f₁x₁＋f₂x₂＋…＋fₖxₖ)÷n | n 为各频数之和，频数为“权” |
中位数 | 排序后取中间位置的数 | 偶数个数据取中间两数的平均数 |
众数 | 出现次数最多的数据 | 可以不唯一 |
极差 | 最大值−最小值 | 反映波动范围 |
方差 | s²＝Σ(xᵢ−x̄)²÷n | 方差越小，数据越稳定 |
频率 | 频率＝频数÷总数 | 各组频率之和为 1 |
扇形圆心角 | 圆心角＝频率×360° | 扇形图互算核心公式 |
样本估计总体 | 总体某类数≈总体容量×样本占比 | 注意“不低于/超过”的边界 |
三、基本模型
3.1 模型一：由部分与百分比求总量
已知某组的频数与它在总体中所占的百分比时，总量＝部分÷占比。例如某组 18 人占 36%，则总数＝18÷36%＝50（见练4）。
3.2 模型二：补全统计图表
未知组频数＝总数−其余各组频数之和。补全条形图或直方图时，先在统计表中算出空缺频数，再按对应高度补画（见例6、练5）。
3.3 模型三：频数与频率互算
频率＝频数÷总数；频数＝总数×频率；总数＝频数÷频率。三种变形视已知条件选用，并用“各组频数之和＝总数、各组频率之和＝1”核对（见练5）。
3.4 模型四：扇形圆心角
某组扇形的圆心角＝360°×该组频率（或该组人数占总数的百分比）。反之，已知圆心角可反求该组占比（见例6、练5）。
3.5 模型五：用样本估计总体
总体某类数量≈总体容量×样本中该类所占比例。估计前先锁定组别边界：“不低于 a”含 a 所在组，“超过 a”不含 a 所在组（见例4、练4）。
四、典型题型分类
结合本专题题目，常见题型可分为以下五类，例题与练习依此编排（详见第六、七章）：
题型 | 核心考点 | 对应题 |
概念判断型 | 众数、中位数、平均数的求法与意义辨析 | 例1～例3、练1～练3 |
样本估计总体型 | 由样本比例推算总体数量，注意边界 | 例4、练4、练5 |
图象与方差型 | 由折线图直观比较数据波动大小 | 例5 |
图表互算型 | 条形图与扇形图互算、补全图表 | 例6 |
频数分布综合型 | 频数表、直方图、扇形图与统计综合 | 练4、练5、练6 |
五、二级结论
结论一：中位数先排序
求中位数必须先按大小排序，再取中间位置；数据个数为偶数时，取中间两个数的平均数。未排序直接取“原位置的中间数”是常见错误（见例2、练2）。
结论二：众数可以不唯一
众数是一组数据中出现次数最多的数据，可能不止一个；当各数据出现次数相同时，可以认为这组数据没有众数。
结论三：方差越小越稳定
比较两组数据的稳定性只看方差（标准差），方差小者更稳定，与平均数的大小无关。由折线图可直接观察：折线起伏越小，方差越小（见例5、练3）。
结论四：圆心角＝频率×360°
扇形统计图中，某组圆心角＝360°×该组频率＝360°×（该组频数÷总数）。圆心角与人数互算是图表综合题的必考公式（见例6、练5）。
结论五：加权平均以频数为权
求分组数据的平均数时，把各组的“频数”作为权：总分＝各组频数×各组平均分之和，再除以总人数（见练6）。
结论六：估计总体先定边界
用样本估计总体时，先确认统计口径的端点归属：“不低于 a”包含 a 所在组，“超过 a”不包含 a 所在组，“大于 100”不含 100 所在组（见例4、练4）。
六、例题精讲（由易到难）
例1（基础★）：众数的识别
【例题】 某班 5 位学生参加中考体育测试的成绩（单位：分）分别是 35、40、37、38、40。则这组数据的众数是（ ） A．37B．40C．38D．35 |
【解析】 众数是一组数据中出现次数最多的数（概念应用）。数据中 40 出现 2 次，其余各数均只出现 1 次，故众数为 40，选 B。 点评：求众数不必排序，数出每个数据出现的次数即可；注意不要与中位数（排序后中间的数 38）混淆。 |
【答案】 B 【考查】众数 【来源】海南2013年中考第4题 |
例2（基础★）：中位数的求法
【例题】 有一组数据：1，4，−3，3，4，这组数据的中位数为（ ） A．−3B．1C．3D．4 |
【解析】 第一步，排序：将数据从小到大排列为−3，1，3，4，4。 第二步，取中：共 5 个数，最中间的是第 3 个数 3，故选 C。 点评：求中位数“先排序、再取中”，这是本题的必考点（结论一）；若数据个数为偶数，则取中间两个数的平均数。 |
【答案】 C 【考查】中位数（先排序再取中） 【来源】海南2015年中考第4题 |
例3（基础★）：平均数的计算
【例题】 数据 1，0，4，3 的平均数是（ ） A．3B．2.5C．2D．1.5 |
【解析】 平均数＝各数据之和÷数据个数（公式应用）：(1＋0＋4＋3)÷4＝8÷4＝2，故选 C。 点评：平均数是最基础的集中趋势量，计算时注意不漏加、不多数；本题把 4 个数误作 5 个数是常见错误。 |
【答案】 C 【考查】平均数的基本计算 【来源】海南2009年中考第3题 |
例4（中等★★）：用样本估计总体
【例题】 某市为了解初中学生的视力情况，随机抽取 200 名初中学生进行调查，整理样本数据如下表：视力 4.7 以下 39 人、4.7 为 41 人、4.8 为 33 人、4.9 为 40 人、4.9 以上 47 人。根据抽样调查结果，估计该市 16000 名初中学生中，视力不低于 4.8 的人数是（ ） A．120B．200C．6960D．9600 |
【解析】 第一步，定边界：视力“不低于 4.8”包含 4.8、4.9、4.9 以上三组（结论六），对应人数 33＋40＋47＝120 人。 第二步，按样本比例估计：样本中占比 120÷200＝60%，估计全市 16000×60%＝9600 人，故选 D。 点评：本题的易错点是漏加 4.8 所在组；用样本估计总体时，先明确统计口径的端点归属，再用“总量×样本占比”（模型五）。 |
【答案】 D 【考查】用样本估计总体（注意“不低于”含端点） 【来源】内蒙古赤峰2024年中考第8题 |
例5（中等★★）：由折线统计图比较方差
【例题】 在一次芭蕾舞比赛中，甲、乙两个芭蕾舞团都表演了舞剧《天鹅湖》，每个团参加表演的 10 位女演员身高的折线统计图如下。则甲、乙两团女演员身高的方差大小关系正确的是（ ） A．S甲²＞S乙²B．S甲²＜S乙²C．S甲²＝S乙²D．无法确定 |
图1 例5 甲、乙两团女演员身高折线统计图（四川凉山州2024年中考第8题）
【解析】 折线统计图直观反映数据的波动大小：甲的折线起伏小、数据更整齐，乙的折线起伏大、数据更分散。方差越小数据越稳定（结论三），故 S甲²＜S乙²，选 B。 点评：比较方差不一定要逐数计算，由折线图“波动越小方差越小”可直接判断，体现数形结合的统计观念。 |
【答案】 B 【考查】方差的意义（由折线统计图比较波动） 【来源】四川凉山州2024年中考第8题 |
例6（中等★★）：条形图与扇形图综合
【例题】 海南有丰富的旅游产品。某校九年级（1）班的同学就部分旅游产品的喜爱情况对游客随机调查，要求游客在列举的旅游产品中选出喜爱的产品，且只能选一项。以下是同学们整理的不完整的统计图：条形图中 A（椰雕）80 人、C（贝雕）72 人、D（海水珍珠）60 人、E（其他）76 人，B（攀锦）空缺；扇形图中 D 占 15%，A、B、C、E 未标百分比。根据以上信息完成下列问题： （1）请将条形统计图补充完整； （2）随机调查的游客有多少人？在扇形统计图中，A 部分所占的圆心角是多少度？ （3）请根据调查结果估计在 1500 名游客中喜爱攀锦的约有多少人？ |
图2 例6 旅游产品喜爱情况条形图与扇形图（海南2014年中考第20题）
【解析】 （1）D 有 60 人且占 15%，由“总量＝部分÷占比”（模型一）得总人数＝60÷15%＝400（人）。B（攀锦）＝400−80−72−60−76＝112（人）（模型二），补画高度为 112 的条形。 （2）A 占 80÷400＝20%，扇形圆心角＝360°×20%＝72°（模型四）。 （3）攀锦占 112÷400＝28%，估计 1500×28%＝420（人）（模型五）。 检验：80＋112＋72＋60＋76＝400，符合。 点评：图表综合题的关键是找到“已知频数＋对应百分比”的一对数据求总量，再用总量补全图表并互算圆心角、估计总体。 |
【答案】 （1）B 为 112 人（补画条形）；（2）随机调查游客 400 人，A 部分圆心角 72°；（3）喜爱攀锦约 420 人 【考查】条形图与扇形图互算、圆心角、用样本估计总体 【来源】海南2014年中考第20题 |
七、巩固练习（由易到难）
练1（基础★）：众数与中位数（选择）
【练习】 在学校开展的环保主题实践活动中，某小组的 5 位同学捡拾废弃塑料袋的个数分别为：5, 3, 6, 8, 6。这组数据的众数、中位数分别为（ ） A．8, 8B．6, 8C．8, 6D．6, 6 |
【答案】 D 【解析】众数：6 出现 2 次、其余各 1 次，众数为 6；中位数：排序 3, 5, 6, 6, 8，第 3 个数为 6。故众数、中位数均为 6。 【考查】众数、中位数 【来源】海南2020年中考第5题 |
练2（基础★）：中位数的判断（选择）
【练习】 一组数据：169，170，170，171，172，173，175，这组数据的中位数是（ ） A．169B．170C．171D．172 |
【答案】 C 【解析】7 个数据已按从小到大排列，中位数为第 4 个数据，即 171。 【考查】中位数 【来源】内蒙古通辽2024年中考第3题 |
练3（中等★★）：统计概念辨析（选择）
【练习】 在数据收集、整理、描述的过程中，下列说法错误的是（ ） A．为了解 1000 只灯泡的使用寿命，从中抽取 50 只进行检测，此次抽样的样本容量是 50 B．了解某校一个班级学生的身高情况，适合全面调查 C．了解商场的平均日营业额，选在周末进行调查，这种调查不具有代表性 D．甲、乙二人 10 次测试的平均分都是 96 分，且方差 S甲²＝2.5，S乙²＝2.3，则发挥稳定的是甲 |
【答案】 D 【解析】方差越小越稳定（结论三）：S乙²＝2.3＜S甲²＝2.5，故乙发挥更稳定，D 说法错误；A、B、C 均正确。 【考查】全面调查与抽样调查、样本容量、方差的意义 【来源】内蒙古赤峰2024年中考第5题 |
练4（中等★★）：频数表与扇形图综合（填空）
【练习】 为宣传 6 月 6 日世界海洋日，某校九年级举行“珍惜海洋资源，保护海洋生物多样性”知识竞赛。为了解全年级 500 名学生成绩（百分制），随机抽取部分学生成绩，整理成不完整统计表（表1）和统计图（如图）。表1：A 组 60≤x＜70 频数 a；B 组 70≤x＜80 频数 10；C 组 80≤x＜90 频数 14；D 组 90≤x＜100 频数 18；扇形图中 A 占 16%、D 占 36%。 （1）本次调查一共随机抽取了______个参赛学生的成绩； （2）表1 中 a＝______； （3）所抽取学生成绩的中位数落在的“组别”是______； （4）估计全年级成绩达到 80 分以上（含 80 分）的学生约有______人。 |
图3 练4 知识竞赛成绩统计表与扇形统计图（海南2019年中考第19题）
【答案】 （1）50；（2）8；（3）C 组；（4）320 【解析】（1）D 组 18 人占 36%，总数＝18÷36%＝50（模型一）。 （2）a＝50−18−14−10＝8（模型二）。 （3）50 个数据的中位数为第 25、26 个数的平均数：前两组累计 8＋10＝18，第 19 至 31 个落在 C 组，故中位数落在 C 组（结论一）。 （4）80 分以上为 C、D 两组，占比 (14＋18)÷50＝64%，估计 500×64%＝320 人（模型五）。 【考查】频数表、扇形图、中位数、用样本估计总体 【来源】海南2019年中考第19题 |
练5（中等★★）：频数分布表与直方图综合（填空）
【练习】 在太空种子种植体验实践活动中，为了解“宇番 2 号”番茄，某校科技小组随机调查 60 株番茄的挂果数量 x（单位：个），并绘制如下不完整的统计图表： “宇番 2 号”番茄挂果数量统计表——挂果数量 x / 频数 / 频率：25≤x＜35 / 6 / 0.1；35≤x＜45 / 12 / 0.2；45≤x＜55 / a / 0.25；55≤x＜65 / 18 / b；65≤x＜75 / 9 / 0.15。 （1）统计表中 a＝______，b＝______； （2）将频数分布直方图补充完整； （3）若绘制“番茄挂果数量扇形统计图”，则挂果数量在“35≤x＜45”所对应扇形的圆心角度数为______°； （4）若所种植的“宇番 2 号”番茄有 1000 株，则可以估计挂果数量在“55≤x＜65”范围的番茄有______株。 |
图4 练5 “宇番 2 号”番茄挂果数量频数分布直方图（海南2016年中考第21题）
【答案】 （1）a＝15，b＝0.3；（2）在 45≤x＜55 组补画高为 15 的长方形；（3）72°；（4）300 株 【解析】（1）a＝60×0.25＝15；b＝18÷60＝0.3（模型三：频率＝频数÷总数）。校验：6＋12＋15＋18＋9＝60，符合。 （2）在 45≤x＜55 组补画频数为 15 的长方形。 （3）35≤x＜45 组频率为 0.2，圆心角＝360°×0.2＝72°（模型四）。 （4）样本中 55≤x＜65 组频率为 0.3，估计 1000×0.3＝300 株（模型五）。 【考查】频数分布表、直方图、扇形圆心角、用样本估计总体 【来源】海南2016年中考第21题 |
练6（较难★★★）：统计综合——频数、概率与加权平均数
【练习】 健康医疗大数据蕴藏了丰富的居民健康状况、卫生服务利用等海量信息。目前，体质健康测试已成为中学生的必测项目之一。某校某班学生针对该班体质健康测试数据开展调查活动，得到下表（成绩记为 x）：不及格 0≤x≤59（频数 6）；及格 60≤x≤74（频率 20%）；良好 75≤x≤89（频数 18，频率 40%）；优秀 90≤x≤100（频数 12）。 （1）请求出该班总人数； （2）该班有三名学生的最后得分分别是 68，88，91，将他们的成绩随机填入表格的三个空格，求恰好得到的表格是 88，91，68 的概率； （3）设该班学生的最后得分落在不及格、及格、良好、优秀范围内的平均分分别为 a，b，c，d，若 2a＋3b＋6c＋4d＝1275，请求出该班全体学生最后得分的平均分，并估计该校八年级学生体质健康状况。 |
【答案】 （1）45 人；（2）1/6；（3）85 分，良好 【解析】（1）良好 18 人占 40%，总人数＝18÷40%＝45 人（模型一）；及格频数＝45×20%＝9 人（模型三）。 （2）68、88、91 随机排列共 6 种等可能结果，恰好为 88，91，68 的只有 1 种，概率＝1/6。 （3）不及格、及格、良好、优秀人数分别为 6、9、18、12，以频数为权（结论五）：全班总分＝6a＋9b＋18c＋12d＝3(2a＋3b＋6c＋4d)＝3×1275＝3825，平均分＝3825÷45＝85 分，落在“良好”区间，估计该校八年级学生体质健康状况为良好（模型五）。 【考查】频数与频率、列举法求概率、加权平均数、用样本估计总体 【来源】湖北黄石2023年中考第21题 |
附：题库题目来源对照表
序号 | 题目 | 难度 | 题库来源（年份·地区·题号） |
例1 | 众数的识别 | 基础★ | 海南2013·第4题 |
例2 | 中位数的求法 | 基础★ | 海南2015·第4题 |
例3 | 平均数的计算 | 基础★ | 海南2009·第3题 |
例4 | 用样本估计总体 | 中等★★ | 内蒙古赤峰2024·第8题 |
例5 | 由折线统计图比较方差 | 中等★★ | 四川凉山州2024·第8题 |
例6 | 条形图与扇形图综合 | 中等★★ | 海南2014·第20题 |
练1 | 众数与中位数 | 基础★ | 海南2020·第5题 |
练2 | 中位数的判断 | 基础★ | 内蒙古通辽2024·第3题 |
练3 | 统计概念辨析 | 中等★★ | 内蒙古赤峰2024·第5题 |
练4 | 频数表与扇形图综合 | 中等★★ | 海南2019·第19题 |
练5 | 频数分布表与直方图综合 | 中等★★ | 海南2016·第21题 |
练6 | 统计综合（频数·概率·加权平均） | 较难★★★ | 湖北黄石2023·第21题 |
