初三基础篇 | 二次函数 y=a(x−h)²+k：顶点式读图·平移口诀·增减最值（12题精练）

初中数学 · 人教版九上 26.2.2 · 基础篇（第 55 期）

📌 本讲导读
上一讲把 y=ax² 这条"母版抛物线"讲透了，但它有个先天限制：顶点死钉在原点。真实题目里的抛物线，顶点可以在任何位置——于是给它装上一对"移动轮"：h 管左右挪，k 管上下挪，形状（也就是 a）一点不变。
这一讲只做一件事：看到 y=a(x−h)²+k，能在 3 秒内报出顶点、对称轴、开口、最值；反过来，看到顶点和开口，能立刻写出式子。这是二次函数所有题的地基。

一、知识清单

1. 顶点式的长相：三个参数，各管一件事
y = a(x − h)² + k（a≠0）
① a：管开口方向（a＞0 向上、a＜0 向下）和开口大小（|a| 越大越窄）；
② h：管左右位置——顶点横坐标就是 h，对称轴是直线 x = h；
③ k：管上下位置——顶点纵坐标就是 k，也是函数的最值。
所以顶点式最值钱的地方是：顶点坐标 (h, k) 直接摆在式子里，不用算。

🔑 最容易错的一步：h 的符号
式子里是 x − h，所以括号里是"减几，h 就是几"：
· y=(x−3)²+2 ⇒ 顶点 (3, 2)，对称轴 x=3；
· y=(x+3)²+2 = (x−(−3))²+2 ⇒ 顶点 (−3, 2)，对称轴 x=−3。
记法："括号里是加号，横坐标取负号"。这一步错，后面全错。

2. 性质对照表（背下来，做题直接查）

注意：增减性的分界线永远是 x=h，不是 x=0。这是和 y=ax² 唯一的区别。

3. 平移口诀：左加右减，上加下减
把 y=ax² 变成 y=a(x−h)²+k，分两步走：
① 左右移：向右平移 h 个单位（h＞0）⇒ 括号里写 x−h；向左平移 ⇒ 括号里写 x+h。
② 上下移：向上平移 k 个单位 ⇒ 末尾 +k；向下 ⇒ 末尾 −k。
一句话："左加右减"说的是括号里的符号，"上加下减"说的是末尾的符号。
关键前提：平移只改位置，不改形状和开口方向，所以 a 从头到尾不动。

🔑 平移题的保险做法：盯顶点，别盯式子
例：y=2(x−1)²+3 向右平移 2 个单位 ⇒ 顶点从 (1,3) 变成 (3,3) ⇒ 新式子 y=2(x−3)²+3。
先算新顶点，再套回 y=a(x−h)²+k，比在式子里改符号稳得多。

4. 五点作图法：以顶点为中心对称取点
① 先定顶点 (h, k)，在坐标系里点出来；
② 在顶点左右各取两个 x（如 h±1、h±2），算出对应 y；
③ 因为抛物线关于 x=h 对称，左右对称位置的两个点纵坐标相同，算一边就够；
④ 用平滑曲线连起来，两端自然外伸。
口诀：顶点先落笔，左右对称取，五点定骨架，平滑连成弧。

5. 反过来：由顶点写解析式
已知顶点 (h, k)，直接设 y=a(x−h)²+k，只剩一个 a 未知；再代入图象上任意一个已知点，解出 a 即可。
这类"顶点式待定系数"是本节最高频的解答题，比设一般式少解两个未知数。

二、题型精讲

题型一读图：顶点、对称轴、开口、最值一次报全
对于二次函数 y=−2(x+3)²+5，写出它的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大值（或最小值），并求它与 y 轴的交点。

💡 思路：先改写成标准样子 y=−2(x−(−3))²+5。
a=−2＜0 ⇒ 开口向下；h=−3 ⇒ 对称轴 x=−3、顶点 (−3, 5)；开口向下 ⇒ 顶点是最高点 ⇒ x=−3 时取最大值 5。
与 y 轴交点：令 x=0，y=−2×(0+3)²+5=−18+5=−13 ⇒ 交点 (0, −13)。
把 y 轴交点放在最后算，先读性质、再代值，顺序不乱。

题型二平移：正向与逆向都要会
(1) 把 y=3(x−2)²+1 向左平移 3 个单位、再向下平移 2 个单位，求所得抛物线的解析式；
(2) 把 y=½x² 经过怎样的平移，可以得到 y=½(x+4)²−3？

💡 思路：(1) 盯顶点：原顶点 (2, 1) → 左移 3 得 (−1, 1) → 下移 2 得 (−1, −1)；a 不变 ⇒ y=3(x+1)²−1。
(2) 反向读：y=½(x+4)²−3 的顶点是 (−4, −3)，从 (0,0) 过去就是向左 4 个单位、向下 3 个单位。
逆向平移题不要硬推式子，直接把两个顶点摆出来对比。

题型三由顶点和一点求解析式
已知抛物线的顶点为 (−1, 2)，且经过点 (1, −6)，求它的解析式。

💡 思路：有顶点 ⇒ 设顶点式 y=a(x+1)²+2（注意 h=−1，括号里是 x+1）。
代入 (1, −6)：−6=a(1+1)²+2=4a+2 ⇒ 4a=−8 ⇒ a=−2。
所以 y=−2(x+1)²+2。
验算：把 x=−1 代入得 2 ✓，把 x=1 代入得 −8+2=−6 ✓。解完花 5 秒验一个点，能挡住绝大多数符号错误。

三、考点速查表

四、12 题精练

基础过关（第 1~8 题）

1. 抛物线 y=2(x−3)²+1 的顶点坐标是（　）
   A. (3, 1)　B. (−3, 1)　C. (3, −1)　D. (1, 3)
2. 抛物线 y=−(x+2)²−5 的对称轴是（　）
   A. 直线 x=2　B. 直线 x=−2　C. 直线 x=5　D. 直线 x=−5
3. 二次函数 y=(x−1)²+4 的最小值是______。
4. 将抛物线 y=x² 向右平移 2 个单位，再向下平移 3 个单位，所得抛物线的解析式是（　）
   A. y=(x+2)²−3　B. y=(x−2)²−3　C. y=(x−2)²+3　D. y=(x+2)²+3
5. 抛物线 y=−3(x−1)²+2 的开口方向是______，顶点坐标是______。
6. 若抛物线 y=a(x−2)²+3 经过点 (0, 11)，则 a=______。
7. 已知二次函数 y=2(x+1)²−3，当 x______时，y 随 x 的增大而增大。
8. 抛物线 y=(x−4)² 与 x 轴的交点坐标是______。

能力提升（第 9~12 题）

1. 将抛物线 y=−2(x+1)²+3 先向左平移 2 个单位，再向下平移 1 个单位，所得抛物线的解析式是______。
2. 已知抛物线 y=a(x−h)²+k 的顶点是 (2, −1)，且开口大小与 y=3x² 相同、方向相反，则它的解析式是______。
3. 已知二次函数 y=−(x−2)²+5。(1) 写出它的顶点坐标和对称轴；(2) 当 −1≤x≤3 时，求 y 的最大值和最小值。
4. 已知抛物线的顶点为 (1, −4)，且经过点 (3, 0)。(1) 求它的解析式；(2) 求它与 x 轴的另一个交点坐标。

五、逐题解析

1. A
   。y=2(x−3)²+1 已是顶点式，h=3、k=1 ⇒ 顶点 (3, 1)。括号里是"减 3"，所以横坐标是 3，不是 −3。
2. B
   。y=−(x+2)²−5=(x−(−2))² 的形式 ⇒ h=−2 ⇒ 对称轴是直线 x=−2。括号里是加号，横坐标取负，这是本题唯一考点。
3. 4
   。a=1＞0，开口向上，顶点 (1, 4) 是最低点 ⇒ x=1 时取最小值 4。最小值等于顶点纵坐标 k，不是 0。
4. B
   。右移 2 ⇒ 括号里 x−2；下移 3 ⇒ 末尾 −3 ⇒ y=(x−2)²−3。"左加右减"针对括号里的 x，向右走用减号。
5. 向下；(1, 2)
   。a=−3＜0 ⇒ 开口向下；h=1、k=2 ⇒ 顶点 (1, 2)，此时是最高点。
6. a=2
   。点 (0, 11) 在图象上 ⇒ 代入：11=a(0−2)²+3=4a+3 ⇒ 4a=8 ⇒ a=2。注意 (0−2)²=4，别写成 −4。
7. x＞−1
   。a=2＞0 ⇒ 开口向上，对称轴 x=−1 ⇒ 对称轴右侧 y 随 x 增大而增大，即 x＞−1。分界线是 h=−1，不是 0。
8. (4, 0)
   。与 x 轴相交 ⇒ 令 y=0：(x−4)²=0 ⇒ x=4 ⇒ 交点 (4, 0)。这个点正好是顶点落在 x 轴上的情形。
9. y=−2(x+3)²+2
   。盯顶点：原顶点 (−1, 3) → 左移 2 得 (−3, 3) → 下移 1 得 (−3, 2)；a 不变 ⇒ y=−2(x+3)²+2。左移是顶点横坐标变小，别把括号里的符号改反。
10. y=−3(x−2)²−1
    。"形状相同" ⇒ |a|=3；"方向相反" ⇒ a 与 3 反号 ⇒ a=−3；顶点 (2, −1) ⇒ y=−3(x−2)²−1。先定 a，再套顶点，两步就完。
11. (1) 顶点 (2, 5)，对称轴 x=2；(2) 最大值 5，最小值 −4
    。
    (1) 直接读：h=2、k=5 ⇒ 顶点 (2, 5)，对称轴 x=2。
    (2) a=−1＜0 开口向下，顶点是最高点，且 x=2 落在 [−1, 3] 内 ⇒ 最大值 f(2)=5；
    两端比一比：x=−1 ⇒ y=−(−3)²+5=−9+5=−4；x=3 ⇒ y=−(1)²+5=4 ⇒ 最小值 −4。
    区间最值必须检查顶点是否在区间内，再拿两端点补位。
12. (1) y=(x−1)²−4（即 y=x²−2x−3）；(2) (−1, 0)
    。
    (1) 有顶点 ⇒ 设 y=a(x−1)²−4，代入 (3, 0)：0=a(3−1)²−4=4a−4 ⇒ a=1 ⇒ y=(x−1)²−4，展开为 y=x²−2x−3。
    (2) 法一：令 y=0，x²−2x−3=0 ⇒ (x−3)(x+1)=0 ⇒ x=3 或 −1 ⇒ 另一交点 (−1, 0)。
    法二（更快）：对称轴 x=1，已知一交点 x=3，由对称性另一交点 x=2×1−3=−1。"两根关于对称轴对称"这条性质，比解方程快得多。

六、方法卡：顶点式"四读一移"

① 读开口：看 a 的符号（正上负下），看 |a| 比宽窄；
② 读顶点：把式子改成 (x−h) 的样子，(h, k) 直接抄，注意加号取负；
③ 读对称轴：直线 x=h，增减性的分界线就是它；
④ 读最值：x=h 时 y=k，a＞0 是最小、a＜0 是最大；
⑤ 做平移：只盯顶点走——左加右减、上加下减，算完新顶点再套回式子，a 始终不变。
补充一条逆向技能：已知顶点设顶点式，只留一个 a，代一个点就能定下来。

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