回归真题第12期——递推数列中的归纳与放缩

现如今各地名校模拟考试题，天马行空，如果不知道复习方向，不妨做做浙江的高考真题。这是一道2017年浙江高考数学压轴级数列题，整体难度偏高，综合了数学归纳法、函数构造、不等式放缩三大核心方法，是典型的"递推数列 + 分析技巧"组合题。结构层层递进（正性→单调→二次型不等式→指数上下界）和如今新高有异曲同工之妙。

1.【来源】2017年浙江高考数学

已知数列  满足：，．

证明：当  时，

(I)

(II)

(III)

解析

(I) 证明： 

用数学归纳法证明 ．

• 当  时，．
• 假设  时，，那么  时，若 ，则 
  

（因为当  时 ），矛盾，故 ．

因此 ，所以

（因 ），故 

(II) 证明 

由  得

记函数 ，则

故  在  上单调递增，．

因此 ，即

(III) 证明 

下界： 因为 ，故

即 ．递推得

上界： 由 (II) 得 ，两边除以 （正数）：

递推得

故 ，即 （； 时  成立）．

综上，．

该题的第一问很明显可以通过画蛛网爬虫图来观察数列的变化规律，类似于下面两个视频中的做法