2024 年吉林省中考数学 · 第 26 题（原卷编号 26）
程序框图 · 分段函数与区间最值
待定系数法 · 分段函数图象 · 单调区间 · 方程无解 · 最值不随参数变
一道从程序框图出发的函数综合题，四问一条主线：先读懂框图，把 x 分成两段；再用待定系数法求出 k、a、b；接着画准图象，抓住 (0, 3) 与 (1, 2) 这两个关键点；最后依次解决单调区间、方程无解、以及「最值都不随参数 m 变化」这三件事。每一步都能在图上找到落脚点 —— 这就是最典型的数形结合。
题目
小明利用一次函数和二次函数知识，设计了一个计算程序，其程序框图如图(1)所示。输入 x 的值为 -2 时，输出 y 的值为 1；输入 x 的值为 2 时，输出 y 的值为 3；输入 x 的值为 3 时，输出 y 的值为 6。
（1）直接写出 k，a，b 的值。
（2）小明在平面直角坐标系中画出了关于 x 的函数图象，如图(2)。
Ⅰ. 当 y 随 x 的增大而增大时，求 x 的取值范围。
Ⅱ. 若关于 x 的方程 ax² + bx + 3 - t = 0（t 为实数），在 0 < x < 4 时无解，求 t 的取值范围。
Ⅲ. 若在函数图象上有点 P，Q（P 与 Q 不重合），P 的横坐标为 m，Q 的横坐标为 -m + 1。小明对 P，Q 之间（含 P，Q 两点）的图象进行研究，当图象对应函数的最大值与最小值均不随 m 的变化而变化，直接写出 m 的取值范围。
题面重排版 （左：程序框图图(1) 右：函数图象图(2)）
结论速查
（1）k = 1，a = 1，b = -2；即 y = x + 3（x < 0），y = x² - 2x + 3（x ≥ 0）。
（2）Ⅰ x ≤ 0 或 x ≥ 1；
（2）Ⅱ t < 2 或 t ≥ 11；
（2）Ⅲ -1 ≤ m ≤ 0 或 1 ≤ m ≤ 2。
框图里只有一个判断：x 小于 0 吗。于是 x 被分成两段 —— x < 0 走 y = kx + 3，x ≥ 0 走 y = ax² + bx + 3。
求 k：三组数据里只有 x = -2 小于 0，所以只能用这一组。代入 y = kx + 3 得 -2k + 3 = 1，两边减 3 得 -2k = -2，两边除以 -2 得 k = 1。左段就是 y = x + 3。
求 a、b：x = 2 与 x = 3 都大于 0，两组都走右段，正好够定两个未知数。
x = 2：4a + 2b + 3 = 3，即 2a + b = 0；
x = 3：9a + 3b + 3 = 6，即 3a + b = 1。
两式相减得 a = 1，代回得 b = -2。验算：x = 2 时 4 - 4 + 3 = 3，x = 3 时 9 - 6 + 3 = 6，都与题设一致。
∴ k = 1，a = 1，b = -2。整个函数是分段函数：x < 0 时 y = x + 3，x ≥ 0 时 y = x² - 2x + 3。
图 1 框图把 x 分成两段：x < 0 走一次函数，x ≥ 0 走二次函数
图 2 x = -2 走左段，解得 k = 1
图 3 x = 2、x = 3 走右段，解得 a = 1、b = -2
先画图象。x < 0 时 y = x + 3，是一条从左下往右上走的射线；x ≥ 0 时 y = x² - 2x + 3 = (x - 1)² + 2，开口向上，对称轴是直线 x = 1。
两段在 x = 0 处的函数值都是 3，所以图象是连着的、不断的。两个关键点由此而定：最高点 (0, 3)、最低点 (1, 2)。
左段：一次项系数 1 > 0，所以在 x ≤ 0 上 y 随 x 增大而增大。x = 0 也要并进来 —— 两段在 0 处算出来都是 3，左段一直升到 (0, 3)。
右段：开口向上，对称轴 x = 1，所以 0 到 1 之间递减、x ≥ 1 递增。
∴ 当 y 随 x 增大而增大时，x 的取值范围是 x ≤ 0 或 x ≥ 1。
（x = 1 是最低点，左边递减右边递增，所以递增段从 x = 1 起算。）
图 4 左段射线、右段抛物线，两段在 x = 0 处相接
图 5 递增的两段：x ≤ 0 与 x ≥ 1
方程 ax² + bx + 3 - t = 0 代入 a = 1、b = -2，就是 x² - 2x + 3 = t。「在 0 < x < 4 时无解」，等价于在 0 < x < 4 这段图象上取不到函数值 t。所以先求这段函数值的范围。
最小值：抛物线顶点在 x = 1，函数值是 2。这是 0 < x < 4 上的最小值，而且取得到。
最大值：x 越接近 4 函数值越大，到 x = 4 时等于 11；但 x = 4 取不到，所以 11 也取不到。
∴ 0 < x < 4 时，函数值总在 2 与 11 之间：2 能取到，11 取不到。
要让方程无解，t 就不能落在这个范围里：t < 2 或 t ≥ 11。
图 6 函数值落在 2 与 11 之间，t 在这个范围之外方程才无解
P 的横坐标是 m，Q 的横坐标是 -m + 1。两者相加：m + (-m + 1) = 1，与 m 无关。所以不管 m 怎么变，P、Q 的横坐标之和恒为 1，两点始终关于直线 x = 1/2 对称。
要研究的是横坐标从这两者中较小的一个到较大的一个之间的那段图象。记 d = |m - 1/2|，这段图象的横坐标范围就是 1/2 - d 到 1/2 + d —— 一个关于 x = 1/2 对称的区间，长度随 m 变、位置不动。
让最小值不变：图象上的全局最低点是 (1, 2)，所以区间必须盖住 x = 1，即右端 1/2 + d ≥ 1。
让最大值不变：在函数值不超过 3 的范围内，最高点就是 (0, 3)。所以区间要够到 3（左端 ≤ 0），又不能越过 x = 2 —— 一越过 2，函数值就超过 3 了，最大值会跟着 m 变（右端 ≤ 2）。
三个条件合起来：1/2 + d ≥ 1、1/2 - d ≤ 0、1/2 + d ≤ 2，即 1/2 ≤ d ≤ 3/2。
∴ |m - 1/2| ≥ 1/2 得 m ≤ 0 或 m ≥ 1；|m - 1/2| ≤ 3/2 得 -1 ≤ m ≤ 2。
∴ m 的取值范围是 -1 ≤ m ≤ 0 或 1 ≤ m ≤ 2。
图 7 P、Q 的横坐标之和恒为 1，两点关于直线 x = 1/2 对称
图 8 区间要盖住 0 到 1，右端不超过 2 —— 两端恰好卡在 x = -1 与 x = 2
图 9 一条曲线，四个小问都绕着 (0, 3) 与 (1, 2) 这两个点转
（1）k = 1，a = 1，b = -2；
（2）Ⅰ x ≤ 0 或 x ≥ 1；
（2）Ⅱ t < 2 或 t ≥ 11；
（2）Ⅲ -1 ≤ m ≤ 0 或 1 ≤ m ≤ 2。
一句话总结
读懂框图分好段 → 待定系数定解析式 → 画准图象找关键点 → 把「最值不随参数变」翻译成「区间必须恰好卡住 (0, 3) 与 (1, 2) 两点」。
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