初三上期中必考专题4:相似圆综合题集

圆和相似经常被放进同一道题里。

这种题里，圆通常负责"给角"——同弧所对的圆周角相等、直径所对的圆周角是直角、圆内接四边形对角互补；相似负责把长度串起来。而相似则可以“给边”，通过相似关系给到边之间的关系。而这些题目也往往出现在压轴题里。

所以我们把杭州、宁波、温州等地各校的期中、期末、月考卷，加上少量浙江省内联考模拟卷与外省优质模拟题里的「圆 + 相似」综合题都找了一遍，最后留下 28 道，按图形结构分成 8 个考点。

【考点一】圆内接四边形与四点共圆

圆内接四边形对角互补、外角等于内对角；由弧相等得弦相等；再用圆周角把条件"搬"进三角形里证相似。

2025•上城区校级三模

【考点二】垂径定理与垂直弦

垂直于弦的直径平分弦、也平分弦所对的弧；连半径、作弦心距，把弦长拆成两半，再用勾股定理或相似算长度。

2025•浙江二模

【考点三】弧的中点与等弧

弧的中点 ⇒ 两段弧相等 ⇒ 所对的弦相等、圆周角相等；圆心与弧的中点连线，垂直平分这条弧所对的弦。

2024 秋•西湖区校级期中

【考点四】角平分线

圆里的角平分线常和圆周角定理联动——等角 ⇔ 等弧 ⇔ 等弦，再配上公共角或对顶角，就能找出一对相似三角形。

来看这题

【考点五】动点与最值

设一条随动点变化的线段为 x，按动点的活动范围写出 x 的取值范围；用相似把要求的线段写成含 x 的式子，二次式配方求最值。

【考点六】三角形的外接圆

外接圆的圆心到三个顶点距离相等，是三边垂直平分线的交点；直角三角形的外接圆圆心是斜边中点，斜边就是直径；看见外接圆先找直径，再用"直径所对的圆周角是直角"造直角三角形。

【考点七】圆内相交弦

圆内两条弦相交，主动连辅助线，用同弧（等弧）所对的圆周角相等得到两组等角，进而得到一对相似三角形和成比例的线段。

【考点八】直径与半圆

AB 是直径（或半圆的直径）时，圆上任意一点 C 都满足 ∠ACB＝90°；据此构造直角三角形，用勾股定理或相似计算。半圆背景还常用"半径都相等"得到等腰三角形与等角。

2025•温州模拟