第4天·2023新高考I卷·导数与极值点偏移

四季读书网 2026-10-13 05:25:44 17 0

来源：2023年新课标全国I卷·第22题（压轴题改编）

　　考点：导数与函数零点、极值点偏移、对称化构造

　　分值：12分

　　建议用时：15-18分钟

　　难度：⭐⭐⭐⭐⭐

　　题目

　　已知函数f(x)=xe^(-x)。

　　（1）求f(x)的单调区间和极值；

　　（2）若方程f(x)=m（0<m<1/e）有两个不同的实数根x₁、x₂（x₁<x₂），证明：x₁+x₂>2。

　　手写区

　　（请先独立完成，再往下翻看解析）

　　解析

　　第（1）问：求单调区间和极值

　　第一步：写定义域

　　f(x)=x·e^(-x)，定义域为R。

　　第二步：求导

　　f'(x)=1·e^(-x)+x·e^(-x)·(-1)=e^(-x)(1-x)。

　　因为e^(-x)>0恒成立，所以f'(x)的符号由(1-x)决定。

　　第三步：分析单调性

　　当x<1时，1-x>0，f'(x)>0，f(x)递增。

　　当x>1时，1-x<0，f'(x)<0，f(x)递减。

　　所以f(x)在(-∞, 1)上单调递增，在(1,+∞)上单调递减。

　　第四步：求极值

　　极大值点x=1，极大值f(1)=1·e^(-1)=1/e。

　　无极小值。

　　第（2）问：证明x₁+x₂>2

　　第一步：明确极值点偏移的方向

　　f(x)在x=1处取得极大值，f(x)=m有两个根x₁<1<x₂。

　　要证x₁+x₂>2，即证x₂>2-x₁。

　　因为f(x)在(1,+∞)上递减，所以x₂>2-x₁等价于f(x₂)<f(2-x₁)。

　　又因为f(x₁)=f(x₂)，所以需要证明f(x₁)<f(2-x₁)。

　　即证f(x)>f(2-x)对x∈(0, 1)成立。

　　第二步：构造对称函数

　　令F(x)=f(x)-f(2-x)，x∈(0, 1)。

　　F(x)=x·e^(-x)-(2-x)·e^(-(2-x))。

　　第三步：判断F(x)的符号

　　F(1)=f(1)-f(1)=0。

　　F'(x)=f'(x)+f'(2-x)（因为f(2-x)的导数为-f'(2-x)，前面有减号）

　　f'(x)=e^(-x)(1-x)

　　f'(2-x)=e^(-(2-x))(1-(2-x))=e^(x-2)(x-1)

　　所以F'(x)=e^(-x)(1-x)+e^(x-2)(x-1)=(1-x)[e^(-x)-e^(x-2)]。

　　当x∈(0, 1)时，1-x>0。

　　比较e^(-x)和e^(x-2)：因为-x>x-2（即0>2x-2，x<1），所以e^(-x)>e^(x-2)。

　　因此e^(-x)-e^(x-2)>0，所以F'(x)>0。

　　F(x)在(0, 1)上单调递增。

　　又因为F(1)=0，所以当x∈(0, 1)时，F(x)<F(1)=0。

　　即f(x)<f(2-x)。

　　第四步：推出结论

　　由f(x)<f(2-x)对x∈(0, 1)成立。

　　令x=x₁（因为0<x₁<1），得f(x₁)<f(2-x₁)。

　　因为f(x₁)=f(x₂)，所以f(x₂)<f(2-x₁)。

　　因为f(x)在(1,+∞)上递减，且x₂>1，2-x₁>1（因为x₁<1），

　　所以由f(x₂)<f(2-x₁)推出x₂>2-x₁。

　　即x₁+x₂>2，得证。

　　易错点提醒

　　第一个坑：构造方向搞反。

　　要证x₁+x₂>2，需要构造F(x)=f(x)-f(2-x)，并证明F(x)<0（对x∈(0,1)）。

　　如果构造反了（比如f(2-x)-f(x)），得到的结论会相反。

　　第二个坑：F'(x)的导数算错。

　　F(x)=f(x)-f(2-x)，求导时注意f(2-x)的导数是-f'(2-x)，前面有减号，所以F'(x)=f'(x)+f'(2-x)，不是f'(x)-f'(2-x)。

　　第三个坑：忘记验证F(1)=0。

　　F(1)=f(1)-f(1)=0，这是判断F(x)符号的关键。如果漏掉，就无法推出F(x)<0。

　　第四个坑：最后一步单调性方向搞反。

　　f(x)在(1,+∞)上递减，所以f(x₂)<f(2-x₁)推出x₂>2-x₁。递减函数中，函数值越小，自变量越大。

　　真题规律总结

　　2023新高考I卷的压轴题是“极值点偏移”的经典考法。这类题的核心是：构造对称函数，判断符号，利用单调性推出不等式。

　　关键得分点：第（1）问的求导和极值；第（2）问的构造对称函数、判断导数符号、利用单调性推出结论。

　　备考建议：极值点偏移是导数压轴的常客，必须掌握“构造对称函数”的标准流程。判断偏移方向的方法：要证x₁+x₂>2x₀，就构造f(x)-f(2x₀-x)，看符号是正还是负。

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