数与代数式的运算（一）
——九年级中考复习课生成式作业案例
Generative Assignment for Grade 9 Review: Operations with Numbers and Algebraic Expressions (I)
The author says
作者说
抽象能力（包括数感、量感、符号意识）和运算能力是初中阶段重点培养的核心素养。对于九年级的学困生而言，数感及量感有提高，但符号意识及代数式的运算仍然是薄弱环节，具体表现在不理解字母的归属及不知道如何更好地去处理与字母有关的运算问题.数学的学习具备“以简驭繁”的原则，《义务教育数学课程标准（2022年版）》指出：“数与式”是代数的基本语言，初中阶段关注用字母表述代数式，以及代数式的运算，字母可以像数一样进行运算和推理.因此，对于代数式的学习，紧抓“数式通性”，引导学生明白字母本质上和数字一样，按照处理数字的方式解决代数式的有关问题.
Design notes
作业设计说明
数学的学习具有整体性、连贯性和一致性。在作业内容的设置上方面，在单元整体设计的视角下，利用类比的思维引导学生进行代数式的知识建构，以清晰的逻辑培养学生对单元知识的结构化认知.
计算是数学学习的童子功，代数式的运算是代数式学习的重点。数字的计算是从单位1开始的，逐步到分数的几分之一，小数的0.1，0.01等等，由数式通性类比得到代数式运算中重要的与单位1具有同等地位的表示数的字母 a，b，c，进而到合并同类项中相同的计算单位。对于代数式的运算，类似于对数字的研究，按照从简单到复杂的顺序，先研究整式的运算，再研究分式的运算.
整式的加减运算，本质上就是合并同类项和去括号。类似于数的运算，整式也有乘除运算，从单项式乘以单项式到单项式乘以多项式，最后到多项式乘以多项式。在单项式乘以多项式的过程中，强调乘法分配律的理解及运用.
整个过程设计，遵从学生的认知发展，环环相扣，重在以简单的方式加深学生对知识的理解.
下面阐述九年级复习课数与代数式的运算（一）生成式作业
一、立足基础，整合知识
▲ 由数字到字母、由积到和、由整式到分式的知识结构
二、深化关联，能力提升
下面从观察、表达、运算到应用，层层深入地展开本次复习的练习设计.
观察下面几组算式：
……
你可以发现什么呢？
思考你可以用字母表示乘法分配律吗？
▲ 字母可以和数一样参与运算，称之为“数式通性”
列代数式：
(1) 某班有团员 m 名，分成两个小队，第一小队 12 名，则第二小队有名.
(2) 某班学生总数为 x，其中男生人数占学生总数的0.4倍数，则男生人数为.
(3) 一批零件有 m 个，乙先加工 n 个零件后（m>n），剩下的任务由甲再做 5 天完成，则甲平均每天加工的零件数为个.
多项式含有六项，请写出这六项：
运算：
(1) 计算：
(2) 合并同类项：
(3) 先化简，再求值：
某电器商销售一种微波炉和一种电磁炉，微波炉每台定价 800 元，电磁炉每台定价 200 元.商场周年庆时决定开展促销活动，活动期间向顾客提供两种优惠方案.
方案一买一台微波炉送一台电磁炉；
方案二微波炉和电磁炉都按照定价的 90％ 付款.
现某顾客要向该电器商购买微波炉 10 台，电磁炉 x 台（x>10）.
(1) 如果该顾客按方案一购买，那么需付款元；如果该顾客按照方案二购买，那么需付款元.（用含 x 的式子表示）
(2) 如果 x=30，通过计算说明此时按照哪种方案购买较为划算;
(3) 如果 x=30 时，你能给出一种更为划算的方案吗？试写出你的购买方案，并计算需要多少钱？
三、追本溯今，拓展延伸
从数学发展的历史来看，代数起源于对方程的研究．古希腊时期的数学家丢番图最早研究方程，也最早引入符号表示数．他用特殊的符号 ζ（希腊字母 σ 放在词尾的写法）表示未知数，用专门的符号表示乘幂和减号，基于符号研究解方程．例如，把方程
左边的整式表示为
.后来，阿拉伯时期的花拉子米虽然研究的方程更一般、更接近近代初等代数，但是他更多的是用几何方法研究解方程，在代数符号的使用上比丢番图退步．代数的系统符号化工作由法国数学家韦达（F. Vieta, 1540—1603年）提出，并由法国数学家笛卡儿（R. Descartes, 1596—1650年）完善．这种代数的系统符号化，得到了数学家的普遍认同，为代数、微积分乃至现代数学的研究带来了极大的方便，促进了数学的发展．
古希腊的欧几里得（约公元前330-公元前275）由于不会使用字母表示数，其在《几何原本》中表述“如果将几个偶数相加，那么它们的和是偶数”时，只能用极其冗长繁杂的原始定义加上文字语言来循环说明.现在，我们可以用字母来表示这些偶数，并说明任意个偶数的和是偶数.如果我们把第一个偶数表示为，第二个偶数表示为，第三个偶数表示为，那么第 n 个偶数可以表示为 ，它们的和用式子表示就是 .运用乘法的分配律可知，请说明这些数的和一定是 2 的倍数.你是否再一次感受到字母表示数的简洁之美？
四、综合与实践探究
请你仔细阅读小明的数学日记，并按要求完成相应任务．
数学日记
*年*月*日 晴
整式加减拆穿数字魔术
今天课间，同桌给我表演了一个数字魔术．他让我任意想一个两位数，然后按下列步骤进行运算：①用十位数字乘 2，然后加 5；②将第①步的结果乘 5，再加个位数字；③将第②步的结果减去 15．我只要报出最后的得数，他就能立刻猜出我原来想的数！我试了“37”：
．我报了 47，同桌立刻猜出了我想的数是 37，他是如何猜出的呢？我用学过的整式知识一算，立刻就明白了玄机．如果用a,b分别表示一个两位数的十位数字和个位数字，那么第①步的运算结果为2a+5；第②步的运算结果为；第③步的运算结果为10a+b+10，因此只要用最后的运算结果减 10，就是所想的数！魔术中的“干扰项”在整式的加减运算中被完全抵消了．这根本不是读心术，而是一个巧妙的数学设计！
任务：
(1) 上述材料中，小明第②步的运算结果为
(2) 小明受此启发，设计了一个猜三位数的魔术规则：想一个三位数，依次进行以下运算：①将百位数字乘5，然后加 2，再将所得的和乘 20；②将十位数字加 5，然后乘 10；③将个位数字加 10；④将这三步的结果相加，报出最后的计算结果就能知道你所想的三位数．请你利用整式的加减揭秘此魔术．
(3) 由以上过程，你是否感受到用字母表示数的神奇之处？你是否也想拥有读心术呢？请设计一个“读心术”游戏，并和同学们一起玩.
“
字母可以像数一样进行运算和推理
—— 数式通性 · 以简驭繁 ——
以上就是本期《九年级中考复习课生成式作业——数与代数式的运算（一）》的全部内容.
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