初三培优篇 | 二次函数的图象与性质（一）：配方·待定系数·平移对称（12题精练）

初中数学 · 人教版九上 26.2（培优） · 培优篇（第 50 期）

📌 本讲导读基础篇只研究了"最干净"的 y=ax²，培优篇要把二次函数的五种形式一次性打通：配方把一般式变成顶点式、待定系数法把三个条件变成解、平移对称把图象搬来搬去。这三件事是后面二次函数所有综合题的地基，练熟了就相当于拿到了"看图说性质"的通用钥匙。

一、知识清单

1. 五种形式的图象性质一览表（平移家族）

规律：看顶点式最快——y=a(x−h)²+k 里，(h, k) 直接就是顶点；一般式的顶点坐标靠"配方"或公式求。

2. 解析式的三种形式与互化① 一般式：y=ax²+bx+c（a≠0）；② 顶点式：y=a(x−h)²+k，直接显示顶点 (h, k) 和对称轴 x=h；③ 交点式：y=a(x−x₁)(x−x₂)，其中 x₁、x₂ 是图象与 x 轴交点的横坐标（只有抛物线与 x 轴有交点时才能用）。三者可以互化：一般式 ⇄ 顶点式靠配方；一般式 ⇄ 交点式靠因式分解。

3. 配方法化顶点式（四步固定动作）以 y=ax²+bx+c 为例（a≠0）：① 提取二次项系数 a，得 y=a(x²+ (b/a)x) + c；② 括号里配上 (b/(2a))²，同时减去同一个数：y=a[(x+b/(2a))² − b²/(4a²)] + c；③ 把括号外的 a 乘回去：y=a(x+b/(2a))² − b²/(4a) + c；④ 整理常数项：y=a(x+b/(2a))² + (4ac−b²)/(4a)。小技巧：先算 对称轴 x=−b/(2a)，再把 x 代入原式求顶点纵坐标，往往比整套配方更快。

4. 平移：左加右减，上加下减（八个字）把抛物线 y=a(x−h)²+k 平移：① 左右平移：h 值"正右移、负左移"——但要小心，括号里是 x−h，向左平移 m 个单位是把 x 换成 x+m；② 上下平移：k 值"正上移、负下移"，直接在末尾加或减 m。一般式的平移规律：沿 y 轴平移 m 就是整体 +m；沿 x 轴左移 m 就是 y=a(x+m)²+b(x+m)+c。平移不改变 a，所以形状和开口不变。

5. 对称变换：三类常用翻折① 关于 x 轴对称：把 y 换成 −y ⇒ y=−(原式)，开口方向反过来，顶点纵坐标变号；② 关于 y 轴对称：把 x 换成 −x ⇒ 对称轴变号；③ 关于原点对称（中心对称）：x、y 同时变号；④ 关于直线 x=h 翻折：开口方向和大小不变，只需把顶点横坐标"对称"过去。记法：x 轴对称变纵、y 轴对称变横、原点对称全变。

二、题型精讲

题型一配方法化顶点式 + 判断顶点象限将二次函数 y=2x²−8x+5 化为顶点式，并判断其顶点在第几象限。

💡 思路：y=2(x²−4x)+5=2[(x−2)²−4]+5=2(x−2)²−8+5=2(x−2)²−3，顶点为 (2, −3)。横坐标 2＞0、纵坐标 −3＜0 ⇒ 顶点在第四象限。更快的方法：对称轴 x=−b/(2a)=8/4=2，把 x=2 代入得 y=8−16+5=−3，顶点 (2,−3)，一步到位。

题型二待定系数法：交点式更省事已知抛物线与 x 轴交于点 (−1, 0)、(3, 0)，且经过点 (0, −3)，求它的解析式。

💡 思路：与 x 轴交点的横坐标已知 ⇒ 直接设交点式 y=a(x+1)(x−3)。代入 (0, −3)：−3=a(0+1)(0−3)=−3a ⇒ a=1。所以 y=(x+1)(x−3)=x²−2x−3。对比一下：若设一般式 y=ax²+bx+c，要把三个点分别代入解三元方程组，麻烦得多。"已知两根 → 设交点式"是待定系数法的第一反应。

题型三平移 + 对称的组合变换把抛物线 y=−2(x−1)²+3 先向右平移 2 个单位，再向下平移 1 个单位，得到抛物线 C；求 C 的解析式，再求 C 关于 x 轴对称的抛物线。

💡 思路：① 右移 2 ⇒ 括号内 x−1 变 x−3（顶点横坐标 1→3）；下移 1 ⇒ 顶点纵坐标 3→2。得 C：y=−2(x−3)²+2。② C 关于 x 轴对称 ⇒ y 变 −y ⇒ −y=−2(x−3)²+2 ⇒ y=2(x−3)²−2（开口由向下翻成向上，顶点 (3,2) 变 (3,−2)）。关键：平移盯顶点，对称盯开口与顶点，顶点走对了，式子自然就出来了。

三、考点速查表

四、12 题精练

基础过关（第 1~6 题）

1. 抛物线 y=−3x²+6x−1 的顶点坐标是（　）A. (1, 2)　B. (−1, 2)　C. (1, −1)　D. (1, −4)
2. 将二次函数 y=x²−4x+3 化为 y=a(x−h)²+k 的形式，结果是（　）A. y=(x−2)²−1　B. y=(x−2)²+1　C. y=(x+2)²−1　D. y=(x−2)²−7
3. 抛物线 y=2x²−4x+5 的对称轴是直线______，顶点坐标是______。
4. 抛物线与 x 轴交于点 (−2, 0)、(4, 0)，且经过点 (1, −9)，则该抛物线的解析式为______。
5. 把抛物线 y=½x² 向左平移 3 个单位，再向上平移 2 个单位，所得抛物线的解析式是（　）A. y=½(x+3)²+2　B. y=½(x−3)²+2　C. y=½(x+3)²−2　D. y=½(x−3)²−2
6. 将抛物线 y=−(x+1)²+4 关于 x 轴作轴对称变换，所得抛物线的解析式是（　）A. y=(x+1)²−4　B. y=−(x−1)²+4　C. y=(x−1)²−4　D. y=(x+1)²+4

能力提升（第 7~12 题）

1. 二次函数 y=ax²+bx+c 的图象经过点 (1, 0)、(3, 0)，则该抛物线的对称轴是直线______。
2. 已知二次函数 y=x²−2x+m 的最小值为 3，则 m=______。
3. 已知二次函数 y=ax²+bx+c（a＞0）的图象经过点 (−1, 0) 和 (3, 0)，则当 y＜0 时，x 的取值范围是______。
4. 已知抛物线 y=x²−2mx+1 的顶点在 x 轴上，则 m=______。
5. 已知抛物线 y=x²+(m−2)x+3 的对称轴是直线 x=1，求 m 的值，并求此时函数的最小值。
6. 已知二次函数 y=x²−2x−3。(1) 求它与 x 轴的交点坐标；(2) 当 −1≤x≤4 时，求 y 的最大值与最小值。

五、逐题解析

1. A
   。配方：y=−3(x²−2x)−1=−3[(x−1)²−1]−1=−3(x−1)²+3−1=−3(x−1)²+2，顶点 (1, 2)。也可用公式：x=−b/(2a)=−6/(−6)=1，代回得 y=−3+6−1=2，同样得 (1,2)。
2. A
   。y=x²−4x+3=(x²−4x+4)−4+3=(x−2)²−1。配方的本质是"加了几就减几"——加了 4，就要在括号外减去 4，别漏。
3. x=1；(1, 3)
   。y=2(x²−2x)+5=2[(x−1)²−1]+5=2(x−1)²+3 ⇒ 对称轴 x=1、顶点 (1,3)。对称轴公式：x=−b/(2a)=4/4=1 ✓。
4. y=x²−2x−8
   。与 x 轴交于 −2、4 ⇒ 设交点式 y=a(x+2)(x−4)；代入 (1, −9)：−9=a(3)(−3)=−9a ⇒ a=1 ⇒ y=(x+2)(x−4)=x²−2x−8。回代验证 (1,−9)：1−2−8=−9 ✓。
5. A
   。左移 3 ⇒ x 换成 x+3；上移 2 ⇒ 末尾 +2 ⇒ y=½(x+3)²+2。记死"左加右减"是针对括号里的 x 说的：向左走，括号里是加号。
6. A
   。关于 x 轴对称 ⇒ y→−y：把式子整体取相反数，−(原式) = −[−(x+1)²+4] ⇒ y=(x+1)²−4。验证顶点：原顶点 (−1, 4)，关于 x 轴翻折后应为 (−1, −4)，而 y=(x+1)²−4 的顶点正是 (−1, −4) ✓，开口也由向下翻成向上。
7. x=2
   。抛物线与 x 轴交于 1、3 两点，由对称性，对称轴是两交点的"中点"：x=(1+3)/2=2。这是一个超好用的结论：两根的中点就是对称轴。
8. m=4
   。配方：y=(x−1)²−1+m，最小值是 m−1=3 ⇒ m=4。"最小值为 k"就是顶点纵坐标等于 k，先配方再令纵坐标相等即可。
9. −1＜x＜3
   。a＞0 ⇒ 开口向上，图象"画出来"是 U 形：两根之间在 x 轴下方（y＜0），两根之外在上方（y＞0）。所以 y＜0 对应的范围是 −1＜x＜3。口诀：开口向上，两根之间 y 为负。
10. m=±1
    。配方：y=(x−m)²+1−m²，顶点 (m, 1−m²)。顶点在 x 轴上 ⇒ 纵坐标 1−m²=0 ⇒ m²=1 ⇒ m=±1。两个值都要保留，题目没有其他限制条件。
11. m=0；最小值为 2
    。对称轴 x=−(m−2)/2=1 ⇒ −m+2=2 ⇒ m=0；此时 y=x²−2x+3=(x−1)²+2，开口向上，所以当 x=1 时取最小值 2。提醒：由对称轴求 m 后，一定要回到原式配方确认开口方向，再回答"最小还是最大"。
12. (1) (−1, 0)、(3, 0)；(2) 最大值 5，最小值 −4
    。(1) 令 y=0：x²−2x−3=0 ⇒ (x−3)(x+1)=0 ⇒ x₁=3、x₂=−1，交点 (−1,0)、(3,0)。(2) 配方：y=(x−1)²−4，开口向上，对称轴 x=1 落在区间 [−1, 4] 内 ⇒ x=1 时取最小值 −4；两端比较：x=−1 ⇒ y=1+2−3=0，x=4 ⇒ y=16−8−3=5 ⇒ 最大值 5。区间最值的标准流程：先看顶点是否在区间内，再比两端点，别想当然地拿顶点当最值。

六、方法卡：二次函数图象性质题"三先三后"

① 先配方，后读数：拿到一般式先化顶点式，顶点、对称轴、最值一次全出来；② 先看形式，后设解析式：已知顶点用顶点式、已知两根用交点式、其他用一般式——设对形式能省一半计算；③ 先盯顶点，后做变换：平移、对称一律把顶点跟到底，再检查开口方向（只有"关于 x 轴翻折"才反号）。补充两条速记：对称轴 x=−b/(2a)；两根中点即对称轴。

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