昨天在数学村的群里，看到张朝阳老师给出的一道题，题目很短：

正方形 ABCD 边长为 4，以 B 为圆心、2 为半径的圆上有个动点 P，求 √2·PC − PD 的最大值。

这道题有意思的在于——同一个孩子，不同年级撞上它，能走的路完全不一样。下面四条路，我按年级从低到高排，您可以对照看看自家娃现在站在哪一级。

第一把梯子：旋转全等（初一初二）

低年级的孩子没有相似，更没有托勒密。但他有正方形，有 45°。

看到系数 √2，就该想到等腰直角三角形；再结合"正方形"这个线索，很自然想到旋转型全等：把 △BPC 绕点 C 顺时针转 90°，B 落到 D，P 落到 E。这一转，PC 变成了 EC，而 △PCE 恰好是等腰直角三角形——√2·PC = PE 就这么构造出来了。

于是 √2·PC − PD = PE − PD，两段共端点的线段一减，"三角形两边之差小于第三边"直接收工：PE − PD ≤ DE，而 DE = PB = 2。答案 2 就出来了。

这条路的门槛，是"看到 √2 想到 45°"的直觉。你不妨追问孩子：为什么转 90°？为什么绕 C 不绕 B？这个"为什么"，比答案值钱。

第二把梯子：旋转缩放（初三）

学了相似之后，思路可以更狠一点：不光旋转，还缩放。

注意 BC : BD = 1 : √2，把 △BPC 绕 B 旋转并放大 √2 倍，C 正好落到 D，P 落到 P′。这一下 √2·PC = DP′，问题照样变成两条线段相减，DP′ − DP ≤ PP′ = BP = 2。

和上一条路对比一下：工具从"全等"升级成"相似"，但骨架完全一样——把带系数的那段，变成一条真实的线段。这就是一题多解里最有味道的地方：方法在变，想法没变。

第三把梯子：阿氏圆（初三）

很多老师的第一反应是阿氏圆。它其实不神秘，就是"相似缩放"的套路化版本：

由 BP : BC = 1 : 2，在 BC 上取 BE = 1，造 △BEP ∽ △BPC，得 PC = 2PE；在 BD 上截 BF = √2，则 BP² = BF·BD，得 PD = 2√2·PF。两个定点 E、F 一出现，问题化归为 2√2(PE − PF) ≤ 2√2·EF = 2。

课内相似学扎实的孩子，这条路完全走得通——它根本不算课外魔法，只是把"造相似"这件事练成了条件反射。

课外的一把快刀：托勒密不等式

竞赛背景的孩子还有更快的刀。四边形 PBCD 中用托勒密不等式：PB·CD + BC·PD ≥ BD·PC，代入 2、4、4√2，两行就出 √2·PC − PD ≤ 2。这个工具课本不教，但初二见过一次，初三见到最值题就不会慌。

一道题，四把梯子

同一道题，四个位置：旋转全等（初一初二）、旋转缩放与阿氏圆（初三）、托勒密（课外拓展），答案都是 2，看到的风景一层比一层高。

所以别急着问孩子"做出来了没"。更有价值的问题是：你用的是哪条路？还有别的路吗？能答上这两个问题的孩子，不管现在几年级，都已经在往上爬了。

最后留一个开放问题，不给答案：如果把"最大值"改成"最小值"，四条路还都走得通吗？

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