半角模型是八年级我们遇到的第一个几何模型，作为动点模型，也是八年级几何压轴题常见考点。今天这篇文章，把半角模型一次讲透：怎么认出它、截长和补短怎么选、有哪些能直接用的结论。
一、什么是半角模型
定义：过等腰三角形顶角的顶点引两条射线，使两条射线的夹角等于顶角的一半，这样的图形结构就叫半角模型。
判断一道题是不是半角模型，只盯两个特征：
1.大角内部有一个小角，小角恰好是大角的一半。最常见的组合是90°夹45°、120°夹60°，一般形式就是2α夹α。
2.大角的两边相等。也就是「共端点、等线段」——两条相等线段从同一个顶点出发。
两个特征同时满足，基本就可以确定是半角模型了。
常见的半角模型有：
•正方形中的90°夹45°：正方形ABCD，E、F分别在BC、CD上，∠EAF=45°。这是考查频率最高的一款。
•等边三角形背景下的120°夹60°：△ABC是等边三角形，△DBC是以D为顶点、∠BDC= 120°的等腰三角形（DB=DC），∠EDF= 60°。
这类题目的问题设置也很有规律，基本逃不出四种：
•求证线段的和差关系（如EF=BE+DF）；
•求证某个三角形的周长是定值；
•求角度，或证明角平分关系；
•求面积关系、线段最值。
解题通法：判断半角位置，进行截长补短。半角模型的核心特征是共端点、等线段，通过两次SAS全等进行证明：
构造图形：判断半角和大角是內夹还是外夹，内夹用补短，外夹用截长；
第一次全等：证明截长补短后后的新三角形与原三角形全等（SAS）；
第二次全等：证明拼成的新三角形与原半角所夹的三角形全等（SAS）；
得出结论：用全等的对应边相等，完成线段或角度的转化。
一句话总结：看到「等线段夹半角」，特别是看到45°、60°出现在正方形或等边三角形背景里，先怀疑是半角模型。
二、截长与补短
半角模型最让人头疼的地方，是点会「跑」。点E在BC上动、点F在CD上动，一旦动到延长线上，结论的符号就变了。这时候靠的就是分类：截长，还是补短。
判断标准很简单：看半角和大角的位置关系。
情形一：半角在大角内部→ 补短（内夹）
例1. 如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD边上的点，∠EAF=45°,证明：EF=BE+DF.
我们推广至一般条件：
四边形ABCD中，∠BAD=2α，∠EAF=α，AB=AD，∠BCD+ ∠BAD =180°，E在BC上，F在CD上（半角完全含在大角里面）。
辅助线：延长FD至点G，使DG =BE，连接AG。
把短的补上去，让BE和DF拼成一条完整的线段GF。推导分两步：
•第一步：△ADG≌△ABE（SAS）。其中∠ADG =∠B是由「对角互补」推出来的；
•第二步：利用半角导夹角，∠GAF=∠EAF =α，再证△AEF≌△AGF（SAS），得EF = GF。
结论：EF=GF =DG + DF=BE + DF。
情形二：半角一部分在大角外部→ 截长（外夹）
点E或F跑到了延长线上，半角「探出」了大角，这时两条短线段拼不到一起了，要反过来——从长线段上截去一段。
例2.如图，在正方形ABCD中，若E在CB延长线上，F在DC延长线上，∠EAF=45°。证明：DF-BE=EF
推广至一般条件：
辅助线：F在BC的延长线方向，在AB上截取DG =CF，连接DG。
两步推导：
•△ADG≌△CDF（SAS）；
•再证△DGE≌△DFE（SAS），得EF = GE。
结论：EF= GE =AE − AG =AE − CF。
总之，口诀就八个字：
内夹补短，外夹截长。
不管哪种情形，骨架都是同一套：先一次SAS把「等线段」用起来，再用半角导出夹角相等，第二次SAS完成线段转化。变的只是辅助线的方向和最后的加减号。
三、常见结论清单
以最经典的正方形半角模型为例（正方形ABCD，E、F分别在BC、CD上，∠EAF=45°，AH⊥EF于H，AE、AF分别交对角线BD于M、N），下面这些结论都值得背下来：
1.线段和：EF=BE+DF；
2.周长定值：△CEF的周长=CE + CF + EF=BC + CD= 2 倍边长；
3.角平分：AE平分∠BEF，AF平分∠DFE；
4.距离定值：AH=AB，即点A到EF的距离等于正方形边长；
5.全等：△AEB≌△AEH，△AFD≌△AFH；
6.面积：S△ABE+ S△ADF =S△AEF；
7.勾股关系：MN²= BM²+DN²；
8.最值：当BE=DF（即AE=AF）时，EF取得最小值，S△AEF取得最小值，S△CEF取得最大值。
Tip：结论可以帮你快速选填、验证答案，但大题里必须先证再用。证明过程就是第二部分的两次SAS，写熟一遍，所有结论都是它的推论。
半角模型之所以是压轴题常客，是因为它把初中几何最核心的思想浓缩在了一个图里：用截取线段把分散的条件集中，用全等完成线段的转化。
模型会变，背景会变，点会跑出去，但套路不变——先认特征（等线段夹半角），再定策略（截长补短），最后两次SAS收口。
独数一帜教育---专注初高中数理化培优辅导
• 泉城创培｜七中创培独立培优
• 徐州各校科技特长生招考专项辅导
• 中分段理科强化，针对性提升• 低分段理科大幅度提分。
• 小升初、中考政策与报名专业指导
◆ 咨询电话
15996989911 葛老师 微信同号
15862249107 刘老师 微信同号
◆ 联系地址
贾汪区光航城商业区1-201独数一帜
扫描二维码
咨询抢先知
= END =
