【真题】2026年数一考研真题详解!

今天继续 1987 到 2026 整整 40 年的数一真题逐题详解计划！每道题都会给出完整的步骤拆解，遇到质量高、思路灵活的好题，还会附上一题多解，帮你把一道题吃透成一类题。更新频率两天一更，剩下的日子里也不会断更，会穿插更新「好题分享」系列。

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今天分享的是2026年数一真题的精讲，本套题目的点评放在文末了。

时间真快，已经进行到40年真题计划的最后一期了，很开心我能坚持下来 有很多朋友在后台私信表示解析帮助很大，我也很开心能帮助到大家，希望能给大家带来更多优质内容！！！

unsetunset第1题unsetunset

设函数  由方程 （ 是非  常数），则 ?

(A) 

(B) 

(C) 

(D) 

简单计算题，选 A。

unsetunset第2题unsetunset

幂级数  的收敛域是 ?

(A) 

(B) 

(C) 

(D) 

数分例题，说实话对于非数有点超纲。选 D。

考察上根据选项验证也能做出来。

unsetunset第3题unsetunset

设函数  在区间  上有定义，则 ?

(A) 当  在  单调递减，在  单调递增时， 是极小值

(B) 当  是极小值时， 在  单调递减，在  单调递增

(C) 当  的图形在  是凹的时， 在  单调递增

(D)  在  单调递增时， 的图形在  是凹的

又是对凹凸性的考察，选 C。AB 选项显然是错的，对于 C 和 D 根据强弱关系显然蒙 C。具体证明如下，利用凹函数的定义即可。

unsetunset第4题unsetunset

已知有界区域  由曲面  与  围成，函数  连续，则  ?

(A) 

(B) 

(C) 

(D) 

送分题，考察球坐标系和柱面坐标系。选 C。

unsetunset第5题unsetunset

单位矩阵经过若干次互换两行得到的矩阵称为置换矩阵，设  为  阶置换矩阵， 为  的伴随矩阵，则 ?

(A)  为置换矩阵

(B)  为置换矩阵

(C) 

(D) 

选 B，用初等矩阵翻译题目条件即可。

unsetunset第6题unsetunset

设 ， 为  阶矩阵， 是  维列向量，若  的列向量组可由  的列向量组表示，则 ?

(A) 当  有解时， 有解

(B) 当  有解时， 有解

(C) 当  有解时， 有解

(D) 当  有解时， 有解

结论题，选 A。分块即可；注意 B 和 D 选项的相关结论是针对齐次方程组的，所以 BD 上来就可以排除。

unsetunset第7题unsetunset

设二次型 . 若方程  表示的曲面为圆柱面，则 ?

(A) ，且  的规范型为 .

(B) ，且  在正交变换下的标准型为 .

(C) ，且  的规范型为 .

(D) ，且  在正交变换下的标准型为 .

选 B，基础题。

unsetunset第8题unsetunset

设随机变量 ，令 ，则  的最小值点和最小值分别为 ?

(A) 

(B) 

(C) 

(D) 

高中题，选 C。

unsetunset第9题unsetunset

设连续型随机变量  的分布函数为 ，随机变量  的分布函数为 ， 的数学期望为 ，方差为 ，若  的数学期望和方差分别为  和 ，则 ?

(A) 

(B) 

(C) 

(D) 

选 A，根据分布函数的定义得到  和  同分布，即  和  同分布，从而解决。

unsetunset第10题unsetunset

设随机变量  的概率分布为 ，则对于正整数 、 有 ?

(A) 

(B) 

(C) 

(D) 

选 D，本质考察几何分布的记忆性，所以只能从 B 和 D 中选择；又因为本题是两个几何分布相加，记忆性“增强”，因此不满足常规的记忆性，故排除 B，选 D。在考场上直接做如上思考 10 秒就能选出答案。

具体证明如下，最后的放缩理解成权重即可，没必要作差比大小在那算半天。

unsetunset第11题unsetunset

设向量 ，，令 ，则  ?

套公式即可。

unsetunset第12题unsetunset

 ?

通分后泰勒 OR 等价无穷小。

unsetunset第13题unsetunset

设函数  由参数方程

确定，则  ?

参数方程求导。

unsetunset第14题unsetunset

设 ?

分部积分。

unsetunset第15题unsetunset

设矩阵

记  为 3 阶矩阵  的实特征值中的最大值，若 $m(A)<m(b)$，则 $a$="" 的取值范围为="" ?<="" p="">

 和  的表达式很容易得到，于是本题的难点就是解  这个不等式，属于中学知识。

unsetunset第16题unsetunset

设随机变量  服从参数为  的泊松分布，随机变量  服从参数为  的泊松分布， 与  相互独立，则  ?

根据协方差为 0 化简即可。

unsetunset第17题unsetunset

求  的极值.

基础题。

unsetunset第18题unsetunset

设  在  内具有 3 阶连续导数，且存在可微函数  使

(1) 证明：， 为常数；

(2) 设 ，求  的表达式.

第一问为验证类证明题，难度不大。根据题目给出的全微分可知满足恰当条件（或者根据二阶混合偏导连续可交换求导次序亦可），从而得到商式求导结构，积分还原即可。

第二问，求解第一问得到的微分方程即可，很基础。

unsetunset第19题unsetunset

设有向曲线  为椭圆  上沿逆时针方向从点  到点  的部分，计算曲线积分

补线加格林。

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设可导函数  严格单调递增且满足 ，记 .

(1) 证明 ；

(2) 令 ，证明：存在  使 .

非常简单的中值定理证明题。

unsetunset第21题unsetunset

已知向量组

记 ，.

(1) 证明： 是  的极大线性无关组.

(2) 求矩阵  使得 ，并求 .

第一问和第二问的前半句话都在引导做满秩分解。

第一问，初等行变换即可。

第二问，满秩分解（CR 分解）后转换为一个二阶方阵的高次幂问题，直接归纳或者拆分出一个幂零矩阵都可以。

unsetunset第22题unsetunset

假设某种元件寿命服从指数分布，其均值  是未知参数，为估计 ，取  个这种元件同时做寿命实验，试验直到出现  个元件失效时停止.

(1) 若 ，失效元件寿命记为 ，

(1.1) 求  的概率密度；

(1.2) 确定 ，使  是  的无偏估计，并求 ；

(2) 已知  个失效元件寿命值分别为 ，且 ，似然函数为

求  的最大似然估计值.

第一问考察阅读理解， 时的失效元件寿命即为首个失效的元件的寿命，也就是所有元件寿命的最小值；从而将问题转化为“独立指数变量取最小值，结果仍然服从指数分布，其参数等于各个之和”这一结论。

第二问，送分送到家了。

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