2024年新课标Ⅰ卷数学第13题，适合复习导数与切线时练一遍。它的计算不长，真正要辨清的是：题目给出了第一条曲线的切点，却没有说两条曲线在同一个点相切。把这两层信息混在一起，后面的导数即使算对，也可能从一开始就设错对象。
原题：若曲线 y＝eˣ＋x 在点（0，1）处的切线也是曲线 y＝ln（x＋1）＋a 的切线，则 a＝________。
先自己试着做，再看讲解。本文使用往年真题复习，不能由这道题推断2027年的命题安排。
第一条切线已经能够完全确定
设第一条曲线对应函数为 f（x）＝eˣ＋x。求导得到 f′（x）＝eˣ＋1，把给出的横坐标零代进去，切线斜率是二。题目同时给了切点的纵坐标一，所以不只知道方向，也知道这条直线经过哪里。
使用点斜式，得到 y－1＝2（x－0），也就是 y＝2x＋1。到这里应当把直线方程写下来，而不是只在草稿上留下一个“斜率二”。因为题目说的是同一条切线，直线的方向和位置都要保留下来。
两条平行直线可以有相同斜率，却未必是同一条线。比如在本题中，无论对第二条曲线作怎样的竖直平移，它在相同横坐标处的导数都不会因为常数项改变。只计算导数，还不足以把参数定出来。原题给的切点位置，正是下一步需要用的信息。
据2024年新课标Ⅰ卷数学第13题条件整理
第二个切点另设，先保证它存在
设第二条曲线的函数为 g（x）＝ln（x＋1）＋a，切点横坐标为 t。对数有定义要求，必须先有 t＞－1。第二个切点的完整坐标是（t，ln（t＋1）＋a），不能直接写成题目给出的（0，1）。
对第二个函数求导，得到 g′（x）＝1／（x＋1）。它的切线要和刚才的直线重合，斜率当然也得是二。因此有 1／（t＋1）＝2，解出 t＝－1／2。这个数满足 t＞－1，因而不是一个落在函数定义域外的无效结果。
为什么求导时没有出现参数？因为常数项求导为零。参数控制这条对数曲线整体上下移动，斜率条件先找到哪个横坐标可能与已知直线相切，下一步再确定曲线应当放在什么高度。这样看，前后两次计算各自解决的问题就很清楚了。
此时还没有求出答案。只知道第二个切点横坐标，若立刻结束，就相当于仅验证了两条切线方向相同。要让它们成为同一条直线，还需要把这个切点落到 y＝2x＋1 上。
用切点在直线上，确定参数
把 t＝－1／2 代入已知切线，得到纵坐标为零。另一方面，这个点属于第二条曲线，它的纵坐标还应等于 ln（1／2）＋a。于是 ln（1／2）＋a＝0，而 ln（1／2）＝－ln2，得到 a＝ln2。
这一步同时使用了两个身份：切点既在曲线上，也在切线上。写成一个等式并不是凭空“多列一个条件”，而是让同一个点的两种纵坐标表达相等。遇到式子不知如何连接时，把点的两个身份写在旁边，比背一个笼统的公切线公式更容易检查。
求出参数后，再把两处切点分开看。第一处是（0，1），第二处是（－1／2，0）；它们都在直线 y＝2x＋1 上。两个不同点属于同一条直线，并没有任何矛盾。同样，两条不同曲线完全可以在不同位置与同一条直线相切。
根据核对后的解答绘制：两处切点与同一直线
也可以从直线的截距核对
如果习惯先写一般切线式，可以把第二条曲线在横坐标 t 处的切线写成：y＝g′（t）（x－t）＋g（t）。当斜率已经确定为二时，展开就得到 y＝2x＋g（t）－2t。这里的常数部分是这条切线与纵轴交点的纵坐标，也就是截距。它必须与已知切线的截距一相等。
因此，还可以列 g（t）－2t＝1。代入刚才求得的切点横坐标，仍然得到 g（t）＝0，从而算出同一个参数。这不是新增另一条复杂公式，而是把“切点在直线上”改写成“两条直线截距相同”。两种写法选择一种完成即可，复查时则能相互对照。
注意，不能只把两个函数表达式相等就认定相切。函数值相等只能找到交点，曲线可能穿过直线，也可能与它相切。原题要求的是切线，因而导数相等所表达的斜率条件不可省。求交点与求切点的差别，就落在这一处额外条件上。
两种容易漏掉的检查
一种可能错法是让第二条曲线也经过（0，1），由此算出参数一。可是经过某个点只说明相交，并不自动说明相切。再算第二条曲线在零处的导数，会得到一，与已知直线的斜率二不同，这个假设不能满足原题。
另一种可能错法是求出 t 后，顺手写 a＝－t。原题并没有这样的关系。切点横坐标来自导数，参数来自函数值与直线位置，两者不能因为都出现在同一页草稿上就互相替代。把每个未知数的含义写清，有助于阻止这类未经条件支持的运算。
最后做一次直接验算：取 a＝ln2，第二条曲线在 x＝－1／2 处的函数值为零、导数为二。其切线为 y－0＝2（x＋1／2），整理后恰好是 y＝2x＋1，与第一条曲线所得方程一致。位置、斜率、定义域都核对上，答案才真正闭合。
合上解析再做这道原题时，可以暂时不看最后那个常数，只问自己：第一条直线怎样确定，第二个切点为什么要另设，哪一步保证不是仅仅平行。如果三句话都能落到相应算式上，这道题里最值得带走的内容就已经掌握了。
原题与参考材料
2024年新课标Ⅰ卷数学第13题。原题由无忧考网完整试卷公开预览第4页核对；与中国教育在线2024年6月12日所载解析第7页逐项对照，参考结果为 a＝ln2。该解析是平台所载参考解答，非本文认定的考试机构官方评分标准。2026年10月8日访问，讲解为独立推导。
https://www.51test.net/show/11089755.html
https://gaokao.eol.cn/shiti/sx/202406/t20240612_2616030_6.shtml
