(1) 三次函数的单调性、极值点：
（2) 三次函数的零点、根与系数的关系：
(3) 三次函数的对称性：
（4) 三次函数的切线条数：
文章来源：
四季读书网
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高考数学三次函数结论大归纳
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高考数学三次函数结论大归纳本次总结是在之前自己屡次总结的基础上，又进行了一次全网大总结，公益分享给大家，供有需要的人学习，请勿进行商业用途！虽然说我文章几乎全是公益的吧，放心吧，以后还会坚持公益分享的，哈哈都是题外话了，接下来就让我们开始步入正题： 已知三次函数f(x)=ax³+bx²+cx+d(a≠0)，其导函数f'(x)=3ax²+2bx+c，记Δ=4(b²-3ac)为三次函数导函数的判别式. ①当a>0,Δ≤0时，f'(x）≥0恒成立，f(x)单调递增，没有极值点； ②当a>0,Δ>0时，f'(x)=0的两个根x₁,x₂(x₁ 当a<0时有类似情形，综上可以得到下表. 基于上述讨论结果，我们发现三次函数f(x)至少有一个零点，至多有三个零点，结合零点存在性定理可以得到如下结论. ①函数f(x)有一个零点等价于Δ≤0或Δ>0且f（x₁）·f(x₂)>0； ②函数f(x)有两个不同零点等价于Δ>0且f(x₁）·f(x₂)=0； ③函数f(x)有三个不同零点等价于Δ>0且f(x₁）·f(x₂)<0； 特别地，若函数f(x)有三个不同零点，记为α,β，γ(α<β<γ)，则函数可表示为f(x)=a(x-α)(x-β)(x-γ)，且α+β+γ=-b/a，αβ+αγ+βγ=c/a，αβγ=-d/a. 定理：若函数y=f(x)是可导函数，其导数为y=f'(x). ①函数y=f(x)的图像关于点(m,n)对称的充要条件是y=f'(x)的图像关于直线x=m对称. ②函数y=f(x)的图像直线x=m对称的充要条件是y=f'(x)的图像关于点(m,0)对称.基于以上结论，因为三次函数f(x)的导函数f'(x)=3ax²+2bx+c的对称轴为x₀=-b/3a，所以f(x)的对称中心为(-b/3a,f(-b/3a）.记三次函数y=f(x)的对称中心为(m,n)，则函数解析式可化成f(x)=A(x-m)³+B(x-m)+n的形式. 过三次函数f(x)的对称中心作切线l，则坐标平面被切线l和函数y=f(x)对应的曲线分为I、II、III、IV四个区域，则有以下结论. ①过区域I、III内的点作曲线f(x)的切线，有且仅有三条. ②过区域II、IV内的点作曲线f(x)的切线，有且仅有一条. ③过曲线f(x)的对称中心作曲线f(x)的切线，有且仅有一条；过曲线f(x)上的任意一点（不是对称中心），过切线l上的任意一点（不是对称中心）作曲线f(x)的切线，有且仅有两条. 最后我们再来聊一些相关的高考真题！作为结尾： 高考对三次函数模型的考查，大多依托三次函数的各类性质展开，以三次函数为载体，考查导数在研究函数性质方面的综合应用。下面我们结合几道例题，简要分析高考里三次函数的考查方向与命题特点： 本题依托三次函数图像特征与零点性质来命题，解析过程展示了利用导数研究函数零点的通用解题思路.如果熟练掌握三次函数的相关结论，能够大幅简化运算，实现快速解题. 回顾前文总结的结论：三次函数f(x)仅有一个零点的充要条件是Δ≤0，或者Δ>0且 f(x₁）·f(x₂)>0 其中x₁,x₂是导函数的两个极值点. 结合本题题意，代入两个极值点可得f(0)·f（2/a)>0，展开化简得到a²>4，解不等式得a<-2或a>2. 由f(0)=1可知，该三次函数图像恒过定点(0,1).接下来分a<0和a>0两种情况，结合三次函数图像走势分类分析. 当a>2时，三次函数首项系数为正，图像先增后减再增.极大值点在x=0处，f(0)=1>0，函数会出现负的零点，不满足零点x₀>0. 当a<-2时，首项系数为负，图像先减后增再减，极大值点在x=0，f(0)=1>0，此时函数仅有唯一零点x₀，且x₀>0，符合题目要求. 综上，只有a<-2满足条件.
