今天继续 1987 到 2026 整整 40 年的数一真题逐题详解计划！每道题都会给出完整的步骤拆解，遇到质量高、思路灵活的好题，还会附上一题多解，帮你把一道题吃透成一类题。更新频率两天一更，剩下的日子里也不会断更，会穿插更新「好题分享」系列。
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今天分享的是2024年数一真题的精讲，本套题目的点评放在文末了。
unsetunset第1题unsetunset
已知函数 ，则 ?
(A) 为奇函数， 为偶函数
(B) 为偶函数， 为奇函数
(C) 与 均为奇函数
(D) 与 均为周期函数
考察变限积分和复合函数的奇偶性，选 C。
关于变限积分的奇偶性，唯一需要注意的是当内层函数偶函数，只有当变限积分的下限是 0 的时候才有整体是奇函数这一结论，本题并未涉及。
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设 均为连续函数， 为曲面 的上侧，则 ?
(A)
(B)
(C)
(D)
转换投影法，和 2020 年数一第 18 题考点一致。选 A。
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已知幂级数 的和函数为 ，则 ?
(A)
(B)
(C)
(D)
选 A，两种做法。最直接的想法自然是将 展开成关于 的幂级数，从而得到 的通式代入计算。
第二种方法，直接对幂级数求导，分别赋值凑出要求的幂级数。
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设函数 在区间 内有定义，，则 ?
(A) 当 时，
(B) 当 时，
(C) 当 时，
(D) 当 时，
选 B。排除 AC 后可根据选项的强弱关系排除 D 选项。
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在空间直角坐标系 中，三个平面 位置关系如图所示，记 ，若
则 ?
(A)
(B)
(C)
(D)
选 B。由图可知方程组有无穷组解，和 02 年数一第 9 题基本一致。
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设向量
若 线性相关，且其中任意两个向量均线性无关，则 ?
(A)
(B)
(C)
(D)
选 D。直接列变换即可（显然 ，于是可以排除 ABC 三个选项……非常抽象的选项设计，命题人大放水）。
常规做法根据 相关得到子阵的行列式必为 0，从而求出 或 ，而 显然排除。再根据第 1,2,4 行发现 ，从而求出 .
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阶矩阵 的秩为 ，非零向量 满足 ，任意向量 ，使得 ，且 ，则下列结论正确的是 ?
(A) 的迹为
(B) 的迹为
(C) 的迹为
(D) 的迹为
基础题，过程如图，选 A。
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设随机变量 与 独立， 服从 的正态分布， 服从 的正态分布，若 ，则 ?
(A)
(B)
(C)
(D)
选 B。标准化即可。
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设随机变量 的概率密度为
在 的条件下， 在区间 上服从均匀分布，则 ?
(A)
(B)
(C)
(D)
选 D。非常好的一道概率小题。根据重期望公式 可以对协方差进行化简：
剩下的就纯计算了，无难度。
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设随机变量 、 相互独立，且均服从参数为 的指数分布，令 ，则下列随机变量与 同分布的是 ?
(A)
(B)
(C)
(D)
选 D，独立同分布的指数分布之差服从 分别，概率密度函数为 ；然后题目又对随机变量加了个绝对值，那么根据对称性，概率密度函数就变成了 ，显然服从指数分布，即与 同分布。
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若 ，则 ?
送分题。
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有二阶连续导数，，，则 ?
简单计算题。
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若函数 ，，则极限 ?
热门考点傅里叶级数，直接套公式即可。
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微分方程 ，满足条件 的解为 ?
同济课后题。换不换元皆可，打包分离变量。
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设实矩阵 ，若对任意实向量 ， 都成立，则 的取值范围是 ?
内积空间下的柯西不等式，条件为 半正定，从而得到 。
当然非数的同学对上面这个结论肯定不熟悉，因此考虑合同变化。将 合同至 ，直接代入得到关于 的一个二次不等式，直接解出 。
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随机试验每次成功的概率为 ，现进行三次独立重复实验，已知至少成功一次的条件下全部成功概率为 ，则 ?
二项分布基础题。
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已知平面区域 ，计算
要对基础的积分公式足够熟练，比如下面这三个：
具体过程如下：
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设 ，曲面 在 处的切平面为 ， 与三个坐标面所围有界区域在 面的投影为
(1) 求 的方程
(2) 求 在 上的最大值和最小值.
基础题，注意所有的边界情况别忘记讨论了。
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设 二阶可导，，，证明：
(1) 当 时 ；
(2) .
给了第一问，所有本题几乎没有任何难度。
第一问， 和 出信息较多，因此将 在这两点处泰勒展开即可。
第二问，对第一问得到的不等式积分即可。
事实上，第二问右侧的最佳系数为 ，具体证明看清疏公众号即可，写得很详细，推文如下：我是上古神族?-考研数学一压轴题最优系数严格证明.
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已知有向曲线 为球面 与平面 的交线，从 轴正向往 轴负向看去为逆时针方向，计算曲线积分
直接斯托克斯即可，至于曲面面积的计算属于高中立体几何的知识。
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已知数列 满足 ，且
记 ，写出满足 的矩阵 ，并求 及 .
可以满秩分解做，但是计算量并不比直接使用 定理来得小，所以我就直接使用后者了。
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设总体 服从 上的均匀分布，其中 为未知参数， 为来自总体 简单随机样本，.
(1) 求 ，使得 为 的无偏估计；
(2) 记 ，求 使得 最小.
第一问，08 年数一第 7 题的结论，结合无偏性的定义即可解决。
第二问，一元函数极值问题。
以上就是对于2024年数一真题的全部解答，质量和难度都很高的一套真题。选择题难度主要集中在概率部分，第9题和第10题如果想不到好的处理方法计算量是非常大的；填空题难点在第15题，也是有背景的一道题，正文提供的第二种方法已经是常规方法中计算量偏小的了，但是计算量还是比较大；大题部分，由于整套试卷难度偏大，所以命题人在中值定理大题（第19题）放水了，给出了第一问；第20题如果方法选的不好的话计算量也是非常大的；第21题，这个计算量相比于16年算99次方那个题还是小不少的；其余题目都比较基础，但计算量整体比往年真题要高。
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